Самсонов С.В. Что я думаю о веревке

Хочу предложить мои мысли по статье А.И.Слободянюка «Заметки о веревке» (№ 1, 2000 г., с. 75).

Итак, нам дано два уравнения:

 (1) и  (2)

Перед нами стоит вопрос: Какое из них верно? Однако этот вопрос не совсем точен, так как звучать он должен следующим образом: Какое уравнение из двух уравнений максимально приближено к реальности? Ведь при выводе обоих уравнений было допущено округление — считалось, что обе силы натяжения: и T₁, и Т₂ (см. рис. в № 1, 2000 г.) направлены вдоль одной линии, однако эти силы направлены так, как показано на рисунке 1.

Рис. 1

И даже при маленьком участке длиной Δl  , ведь иначе при T₂ > T₁и  выделенный участок должен двигаться вправо.

Итак, округление не дало единого правильного ответа, поэтому попробуем разрешить данную проблему точными методами.

Запишем условие равновесия в проекции на ось Y

                                    (3)

И на ось X:

                                            (4)

Возведем уравнение (4) в квадрат:

 или

Теперь, учитывая, что Δm очень мало и, следовательно, , а  (конечно же, совсем без округления тоже не обойтись), получим:

 или

Откуда, учитывая уравнение (3), получим:

Теперь обозначим α₁ просто α и учтем, что  Тогда:

То есть правильное все-таки первое уравнение!!!

Можно это доказать и качественно. Для этого посмотрим на рисунок 2.

Рис. 2

На нем линия OO₁— направление выделенного участка.  и  — силы, которые реально действуют на этот участок. Если же считать что , то надо считать, что эти силы действуют вдоль направления участка, то есть мы при округлении заменяем реальные силы на силы  и , причем  и .

Итак, первый случай — мы проецируем все силы на направление участка. При этом нас интересует разность проекций реальных сил  и  — ОВ и O₁B₁.

Считая, что  и, следовательно, считая, что силы  и  действуют вдоль направления участка, мы увеличиваем ОВ и O₁B₁ на ВN и В₁N₁ соответственно. Но так как мы увеличиваем обе проекции, их разность при этом не изменяется.

Теперь рассмотрим второй случай, — мы проецируем все силы на ось Y. Теперь нас интересует разность проекций реальных сил  и  на ось Y — ОС и О₁C₁.

Считая, что , и, следовательно, считая, что силы  и  действуют вдоль направления участка, мы уменьшаем большую проекцию О₁C₁ и увеличиваем меньшую проекцию ОС. Следовательно, разность проекций О₁C₁ – ОС значительно уменьшается.

Теперь понятно, почему второй способ дает неправильный ответ.

А сейчас поговорим еще о том, почему уравнение (1) похоже на формулу для гидростатического давления (а оно действительно похоже).

Рассмотрим принцип работы идеального блока (см. рис. 3).

Рис. 3

Пусть на одном конце веревки висит груз весом , а мы тянем за другой конец с силой . Значит, на груз вверх действует такая же по модулю сила . Найдем механическое напряжение веревки σ₁ около наших рук и σ₂ около груза:

то есть

Но механическое напряжение имеет смысл продольного давления в веревке! То есть давление (продольное), оказываемое на конец веревки, без изменения передается в другую часть веревки, причем независимо от того, какую форму имеет веревка (при этом сечение веревки должно быть одинаковым). А это есть не что иное, как закон Паскаля (правда, в применении к веревке). И было бы даже удивительно, если бы формула (1) не была похожа на формулу для гидростатического давления.

В соответствии с вышесказанным можно привести еще одно решение первоначальной задачи. На кусочек массой Δm (см. рис. 4) действует сила тяжести, проекция которой на направление нити равна:

Рис. 4

А так как  то

Следовательно, этот кусочек действует на некоторое сечение С с силой . Просуммировав действие таких кусочков от точки А до точки В, получим:

.

Мы опять-таки получили формулу (1)!!!