Последние сообщения

Страницы: [1] 2 3 ... 10
1
Бесплатный новый вопрос / Re: Закон Гука
« Последний ответ от Денис 14 Сентябрь 2019, 18:32 »
Спасибо! Больше никто не отзовётся?  ::)
2
Платный новый вопрос / Диэлектрический шар радиусом
« Последний ответ от Антон Огурцевич 12 Сентябрь 2019, 22:48 »
Диэлектрический шар радиусом R = 2 см, вещество которого имеет диэлектрическую проницаемость ε1 = 2,5, помещён в однородное электрическое поле напряжённостью Е0 = 990 В/м. Диэлектрическая проницаемость внешней среды ε2 = 7. Рассчитать проекции вектора напряжённости Еθ, Еρ в точке М с координатами θ = 30°; ρ = 1 см. Сделать чертёж. Показать направление вектора E- в указанной точке. Сделать рисунок.
3
Решение.
Определим напряженность электрического поля на расстоянии r1 от оси цилиндра, точка находится внутри цилиндра (r1 < R).
 Объёмную плотность энергии цилиндра определим по формуле:
\[ \rho =\frac{q}{V}(1),V=\pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h(2),q=\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h(3). \]
Напряженность поля равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса определяется по формулам
\[ \begin{align}
  & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=2\cdot \pi \cdot r\cdot h,E=\frac{q}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot \pi \cdot {{r}^{2}}\cdot h}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}(4). \\
 & {{E}_{1}}=\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot 1,5\cdot {{10}^{-2}}}{2\cdot 4\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=0,142\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]
ε – диэлектрическая проницаемость рассматриваемой области, ε0 = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Определим напряженность электрического поля на расстоянии r2 от оси цилиндра, точка находится вне цилиндра (r2 > R).
\[ \begin{align}
  & q=\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h, \\
 & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=2\cdot \pi \cdot r\cdot h,E=\frac{q}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot \pi \cdot {{R}^{2}}\cdot h}{2\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r\cdot h},E=\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}(4). \\
 & {{E}_{2}}=\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{(6\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{2\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}\cdot 10\cdot {{10}^{-2}}}=1,36\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]
Определим потенциал электрического поля на расстоянии r1 от оси цилиндра, точка находится внутри цилиндра (r1 < R). Потенциал на оси цилиндра равен 0.
\[  \begin{align}
  & {{\varphi }_{1}}=-\int\limits_{0}^{{{r}_{1}}}{Edr=-}\int\limits_{0}^{{{r}_{1}}}{\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|_{0}^{{{r}_{1}}}}=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{r_{1}^{2}}{2}. \\
 & {{\varphi }_{1}}=-\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}}{2\cdot 4\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{1,5\cdot {{10}^{-2}}}{2})=-0,07\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align} \]
Потенциал на поверхности цилиндра равен
\[ {{\varphi }_{R}}=-\int\limits_{0}^{R}{Edr=-}\int\limits_{0}^{R}{\frac{\rho \cdot r}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}dr=-\frac{\rho }{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \left. \frac{{{r}^{1+1}}}{1+1} \right|_{0}^{R}}=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}. \]
Определим потенциал электрического поля на расстоянии r2 от оси цилиндра, точка находится вне цилиндра (r2 > R).
\[
\begin{align}
  & {{\varphi }_{2}}=\varphi (R)-\int\limits_{R}^{{{r}_{2}}}{Edr=}-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\int\limits_{R}^{{{r}_{2}}}{\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot r}dr=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}}\cdot \ln \frac{{{r}_{2}}}{R}. \\
 & {{\varphi }_{2}}=-\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{4\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (1+2\cdot \ln \frac{{{r}_{2}}}{R}). \\
 & {{\varphi }_{2}}=-\frac{6,7\cdot {{10}^{-4}}\cdot {{(6\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{4\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (1+2\cdot ln\frac{10\cdot {{10}^{-2}}}{6\cdot {{10}^{-2}}})=-0,138\cdot {{10}^{6}}. \\
\end{align}
 \]
Определим разность потенциалов между этими точками
φ1 – φ2 = -0,07∙106 + 0,138∙106 = 0,068∙106 В.
Ответ: 0,142 МВ/м, 1,36 МВ/м, 0,068 МВ.
4
2. Объёмная плотность заряда равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра радиусом R = 6 см, изготовленного из диэлектрика с проницаемостью ε = 4, равна ρ = 6,7∙10-4 Кл/м3. Найти напряжённость E электрического поля в точках, находящихся на расстояниях r1 = 1,5 см и r2 = 10 см от оси цилиндра. Найти разность потенциалов между этими точками. Сделать рисунок.
5
Решение.
1). Напряженность внутри первой сферы равна нулю, энергия внутри первой сферы равна нулю.
W1 = 0.
2). Определим энергию электростатического поля, заключённого между сферами
Объемную плотность энергии можно определить по формулам:
\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]
ε – диэлектрическая проницаемость рассматриваемой области, ε0 = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.
dV = 4∙π∙r2∙dr      (3).
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:
\[ \begin{align}
  & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}},E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr, \\
 & dW=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr(5). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
  & {{W}_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}}). \\
 & {{W}_{2}}=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 5\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{2-1}{2\cdot 1})=0,01125. \\
\end{align} \]
3). Определим энергию электростатического поля, заключённую в окружающем сферы пространстве
\[ \begin{align}
  & {{W}_{3}}=\int\limits_{{{R}_{2}}}^{\infty }{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{2}}}^{\infty }=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{R}_{2}}}. \\
 & {{W}_{3}}=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \frac{1}{2}=0,05623. \\
\end{align} \]
Определим энергию электрического поля, созданного сферами во всём пространстве
W = W1 + W2 + W3. W = 0 + 0,01125 + 0,05623 = 0,06748.
Ответ: 0,06748 Дж.
6
Решение.
По условию задачи предметы небольшие, их можно принять за точечные заряды.
Запишем закон Кулона и определим произведение модулей зарядов
\[ {{F}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}},\left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|=\frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{k}(1).
 \]
Предмет А отдаляют от предмета В, определим силу отталкивания после смещения
\[ \begin{align}
  & {{r}_{2}}=r+\Delta r\,(2),{{F}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{r_{2}^{2}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{(r+\Delta r)}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k}{{{(r+\Delta r)}^{2}}}\cdot \frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{k},{{F}_{2}}=\frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{{{(r+\Delta r)}^{2}}}(3). \\
 & {{F}_{2}}=\frac{4\cdot {{10}^{-5}}\cdot {{(4\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{{{(4\cdot {{10}^{-2}}+3\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}=1,3\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align} \]
Предмет А приближают к предмету В, определим силу отталкивания после смещения
\[ \begin{align}
  & {{r}_{3}}=r-\Delta r(2),{{F}_{3}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{r_{3}^{2}},{{F}_{3}}=\frac{k\cdot \left| {{q}_{1}} \right|\cdot \left| {{q}_{2}} \right|}{{{(r-\Delta r)}^{2}}},{{F}_{3}}=\frac{k}{{{(r-\Delta r)}^{2}}}\cdot \frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{k},{{F}_{3}}=\frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{{{(r-\Delta r)}^{2}}}(3). \\
 & {{F}_{3}}=\frac{4\cdot {{10}^{-5}}\cdot {{(4\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{{{(4\cdot {{10}^{-2}}-3\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}=64\cdot {{10}^{-5}}. \\
\end{align} \]
Максимальная сила отталкивания 64∙10-5 Н, минимальная 1,3∙10-5 Н.
7
9. Две концентрические проводящие сферы несут одинаковый заряд q = 5∙10-6 Кл. Сферы находятся в вакууме, а пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью ε = 5. Радиусы сфер R1 = 1 м и R2 = 2 м. Найти энергию электрического поля, созданного сферами во всём пространстве. Сделать рисунок.

8
Движение заряда / Re: Протон, ускоренный разностью потенциалов
« Последний ответ от Сергей 05 Сентябрь 2019, 22:16 »
Решение.
Для решения задачи необходимы m – масса протона, m = 1,67∙10-27 кг, q – заряд протона, q = 1,6∙10-19 Кл.
Протон, ускоренный разностью потенциалов, определим скорость протона:
\[ \begin{align}
  & q\cdot U=A,\ A=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}-\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2},\ {{\upsilon }_{1}}=0,\ A=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2},\ q\cdot U=\frac{m\cdot \upsilon _{{}}^{2}}{2}\ ,\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{2\cdot q\cdot U}{m}\ \ \ (1), \\
 & \upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot q\cdot U}{m}}\ \ \ (2). \\
\end{align} \]
Определим радиус протона. На протон действует сила Лоренца, и сила Лоренца является центростремительной силой:
\[ \begin{align}
  & {{F}_{L}}=q\cdot B\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha ,\ \sin \alpha =1,\ {{F}_{L}}=m\cdot a,\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R},\ q\cdot B\cdot \upsilon =\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}, \\
 & R=\frac{m\cdot \upsilon }{q\cdot B},\ R=\frac{m}{q\cdot B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot q\cdot U}{m},}\ R=\frac{1}{B}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot m\cdot U}{q}}\ \ (3). \\
 & R=\frac{1}{2\cdot {{10}^{-3}}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 1,67\cdot {{10}^{-27}}\cdot 500}{1,6\cdot {{10}^{-19}}}}=1,61. \\
\end{align} \]
Ответ: R = 1,61 м.
9
Решение.
Сила взаимодействия токов, которые текут по двум параллельным длинным проводникам на единицу длины проводов определяется по формуле:
\[ F=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot R}\ \ \ (1). \]
μ0 = 4∙π∙10-7 Н/А2 – магнитная постоянная.
Запишем формулу для определения работы по перемещению одного проводника с током в магнитном поле, создаваемого другим проводником с током:
\[ \begin{align}
  & A=\int\limits_{{{d}_{1}}}^{{{d}_{2}}}{\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi \cdot R}}dR=\frac{{{\mu }_{0}}\cdot {{I}_{1}}\cdot {{I}_{2}}}{2\cdot \pi }\cdot ln\frac{{{d}_{2}}}{{{d}_{1}}}(2). \\
 & A=\frac{4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot 20\cdot 30}{2\cdot 3,14}\cdot \ln \frac{0,2}{0,1}=83\cdot {{10}^{-6}}. \\
\end{align} \]
А = 83∙10-6 Дж/м.
Токи в проводниках текут в одну сторону, проводники притягиваются, работа отрицательная.
10
3.02. Два небольших наэлектризованных предмета А и В находятся на расстоянии 4 см и отталкиваются друг от друга с силой в 4∙10-5 Н. Предмет А смещают на 3 см от начального положения. Чему равна максимальная и минимальная сила взаимодействия между предметами. Сделать рисунок.
Страницы: [1] 2 3 ... 10