Последние сообщения

Страницы: 1 2 [3] 4 5 ... 10
21
Столкновение тел / Re: Определить отношение масс
« Последний ответ от Сергей 15 Июнь 2019, 10:21 »
Решение.
Удар шаров упругий. При этом выполняются: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Запишем закон сохранения импульса.
\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}={{m}_{1}}\cdot {{\vec{u}}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{u}}_{2}}(1). \]
Покажем рисунок. Если построить сумму этих векторов, то получим треугольник импульсов. Тогда по теореме косинусов получаем
\[ m_{1}^{2}\cdot \upsilon _{1}^{2}=m_{1}^{2}\cdot u_{1}^{2}+m_{2}^{2}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{m}_{1}}\cdot {{u}_{1}}\cdot {{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha .\ \ \ (2). \]
Из закона сохранения энергии получаем
\[  \frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}=\frac{{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}}{2}+\frac{{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}}{2},{{m}_{1}}\cdot \upsilon _{1}^{2}={{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}+{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}\ \ (3). \]
Решим систему уравнений (3) и (2)). Из (2) найдем квадрат скорости υ1 и подставим в (3), выразим отношение m2/m1:
\[ \begin{align}
  & \upsilon _{1}^{2}=u_{1}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha ,{{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{m}_{2}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha ={{m}_{1}}\cdot u_{1}^{2}+{{m}_{2}}\cdot u_{2}^{2}, \\
 & \ u_{1}^{2}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha =u_{1}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot u_{2}^{2},\  \\
 & \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}}\cdot u_{2}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot (2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha -u_{2}^{2})=0, \\
 & \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}\cdot u_{2}^{2}+2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha -u_{2}^{2}=0,\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{u_{2}^{2}-2\cdot {{u}_{1}}\cdot {{u}_{2}}\cdot \cos \alpha }{u_{2}^{2}}. \\
 & \frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{{{35}^{2}}-2\cdot 25\cdot 35\cdot \cos 85{}^\circ }{{{35}^{2}}}=\frac{{{35}^{2}}-2\cdot 25\cdot 35\cdot 0,0872}{{{35}^{2}}}=0,875. \\
\end{align} \]
22
Столкновение тел / Определить отношение масс
« Последний ответ от Антон Огурцевич 14 Июнь 2019, 14:05 »
52. Частица массы m1, летящая со скоростью v1, испытывает упругое нецентральное столкновение с покоящейся частицей массы m2. После столкновения частицы разлетаются под углом α со скоростями u1 и u2. Определить отношение m2/m1, если α = 85°; u1 = 25 км/с; u2 = 35 км/с. Сделать рисунок.
23
Полная цепь / Re: Два источника ЭДС
« Последний ответ от Сергей 14 Июнь 2019, 13:53 »
Решение. Покажем схему соединения, укажем предполагаемые направления токов в сопротивлениях (рис).
Для цепи применим правила Кирхгофа:
Первое правило – сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, выходящих из узла.
Второе правило – в любом замкнутом контуре сложной цепи сумма действующих ЭДС равна сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура, причем электродвижущие силы берем со знаком плюс, если они повышают потенциал по направлению обхода (переходим от минуса к плюсу), и со знаком минус если понижают. Падение напряжения считаем положительным, если направление токов, проходящих через сопротивление, совпадает с направлением обхода, и со знаком минус, если понижают.
 Для силы токов справедливы условия:
\[ \begin{align}
  & {{I}_{1}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}+{{I}_{5}}(1),{{I}_{6}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}-{{I}_{2}}(2),{{I}_{6}}={{I}_{1}}-{{I}_{2}}(3), \\
 & {{I}_{2}}=0,{{I}_{6}}={{I}_{1}}, \\
 & {{I}_{1}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}+{{I}_{5}}(4),{{I}_{1}}={{I}_{4}}+{{I}_{3}}(5). \\
\end{align} \]
Запишем уравнения согласно второго правила Кирхгофа:
\[ \begin{align}
  & {{E}_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{5}}\cdot {{R}_{5}}(6),{{E}_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{4}}\cdot {{R}_{4}}+{{I}_{1}}\cdot {{R}_{6}}(7), \\
 & {{E}_{1}}-{{E}_{2}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}+{{I}_{2}}\cdot {{R}_{2}},{{E}_{1}}-{{E}_{2}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}}+{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}(8\,), \\
 & {{I}_{4}}\cdot {{R}_{4}}-{{I}_{3}}\cdot {{R}_{3}}=0,{{I}_{4}}\cdot 40-{{I}_{3}}\cdot 40=0,{{I}_{4}}={{I}_{3}}\,(9). \\
\end{align}
 \]
Решим полученные уравнения, определим сопротивление R6 и силы токов в каждом резисторе
\[ \begin{align}
  & (9)\to (5){{I}_{1}}=2\cdot {{I}_{3}}(10), \\
 & (10)\to (4)2\cdot {{I}_{3}}=2\cdot {{I}_{3}}+{{I}_{5}},{{I}_{5}}=0(11), \\
 & (11)\to (6){{E}_{1}}={{I}_{1}}\cdot {{R}_{1}},{{I}_{1}}=\frac{{{E}_{1}}}{{{R}_{1}}},{{I}_{1}}=\frac{100}{40}=2,5. \\
 & (8)\,100-35=2,5\cdot 40+{{I}_{3}}\cdot 40,{{I}_{3}}=\frac{100-35-100}{40}=-0,875. \\
 & (7)100=2,5\cdot 40-0,875\cdot 40+2,5\cdot {{R}_{6}},{{R}_{6}}=\frac{0,875\cdot 40}{2,5}=14. \\
\end{align} \]
Токи в сопротивлениях R3 и R4 текут в противоположных направлениях, указанных на рисунке.
Ответ: R6 = 14 Ом, I1 = 2,5 А, I2 = 0, I3 = 0,875 А, I4 = 0,875 А, I5 = 0, I6 = 2,5 А.
24
Решение.
Объемную плотность энергии можно определить по формуле:
\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]
Е – напряженность электрического поля шара, ε0 = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.
dV = 4∙π∙r2∙dr      (3).
1). Определим энергию электрического поля внутри шара.
Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса в нашем случае (r < R): 
\[ \begin{align}
  & E=\frac{q\cdot r}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{3}}},(r<R)(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{(q\cdot r)}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{q}^{2}}\cdot {{r}^{4}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\cdot dr. \\
 & W=\int\limits_{0}^{R}{\frac{{{q}^{2}}\cdot {{r}^{4}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{5}}}{5} \right|_{0}^{R}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{R}^{6}}}\cdot (\frac{{{R}^{5}}}{5}-0)=\frac{{{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
 & W=\frac{{{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
\end{align}
 \]
2). Определим энергию электрического поля вне шара.
Напряженность поля шара, вычисленная с помощью теоремы Остроградского –Гаусса в нашем случае (r > R): 
\[ \begin{align}
  & E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}},(r>R)(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr. \\
 & W=\int\limits_{R}^{\infty }{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{R}^{\infty }=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{R}-\frac{1}{\infty })=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
 & W=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
\end{align}
 \]
3). Определим изменение полной энергии поля при делении заряженного шара на два равных заряженных шара.
Определим полную энергию поля шара до деления
\[ {{W}_{1}}=\frac{{{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}+\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}=\frac{6\cdot {{q}^{2}}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \]
Шар разделили на два равных шара, определим радиус каждого шара
\[ {{V}_{1}}=2\cdot {{V}_{2}},\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}=2\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{r}^{3}},{{r}^{3}}=\frac{{{R}^{3}}}{2},r=\frac{R}{\sqrt[3]{2}}. \]
Определим полную энергию поля двух шаров после деления и изменение энергии
\[
\begin{align}
  & {{W}_{2}}=2\cdot \frac{6\cdot {{q}^{2}}\cdot \sqrt[3]{2}}{40\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}=\frac{3\cdot {{q}^{2}}\cdot 2\cdot \sqrt[3]{2}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}.\Delta W={{W}_{2}}-{{W}_{1}}.\Delta W=\frac{3\cdot {{q}^{2}}\cdot 2\cdot \sqrt[3]{2}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}-\frac{3\cdot {{q}^{2}}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}, \\
 & \Delta W=\frac{3\cdot {{q}^{2}}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}\cdot (2\cdot \sqrt[3]{2}-1). \\
 & \Delta W=1,52\cdot \frac{3\cdot {{q}^{2}}}{20\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot R}. \\
\end{align}
 \]

25
Полная цепь / Два источника ЭДС
« Последний ответ от Антон Огурцевич 12 Июнь 2019, 14:11 »
Задача 1.49. В цепи (рис. 1.27) Е1 = 100 В, E2 = 35 В, а сопротивление R1 = R2 = R3 = R4 = 40 Ом, R5 = 30 Ом. Определить, при каком значении сопротивления R6 ток в ветви с источником ЭДС E2 будет равен нулю. Найти все токи. Сделать рисунок.
26
8. Заряд q равномерно распределён по объёму шара с радиусом R. Определить: а) энергию электрического поля внутри шара; б) энергию поля вне шара; в) изменение полной энергии поля при делении заряженного шара на два равных заряженных шара. Сделать рисунок.
27
Термодинамика / Re: Один киломоль одноатомного газа
« Последний ответ от Сергей 07 Июнь 2019, 17:16 »
Решение.
Покажем рисунок. Определим температуру Т2, при изохорном процессе выполняется условие:
\[ \frac{{{p}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{2\cdot {{p}_{1}}}{{{T}_{1}}},{{T}_{2}}={{T}_{1}}\cdot \frac{{{p}_{1}}}{2\cdot {{p}_{1}}},{{T}_{2}}=\frac{{{T}_{1}}}{2},{{T}_{2}}=\frac{273+27}{2},{{T}_{2}}=150. \]
Работа, совершённая этим газом при переходе его из начального состояния в конечное определяется по формуле:
А = А12 + А23.
А12 = 0, так как процесс 1→2 – изохорный. Процесс 2→3 – изобарный. Работа газа при изобарном процессе определяется по формуле:
\[
\begin{align}
  & {{A}_{23}}=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}}),{{A}_{23}}={{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (300-150)=1246,5\cdot {{10}^{3}}. \\
 & A=0+1246,5\cdot {{10}^{3}}=1246,5\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align}
 \]
Приращение внутренней энергии газа при переходе его из начального состояния в конечное определяется по формуле:
\[ \begin{align}
  & \Delta U=\Delta {{U}_{12}}+\Delta {{U}_{23}}.\Delta {{U}_{12}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),\Delta {{U}_{12}}=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot {{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (150-300)=-1869,75\cdot {{10}^{3}}. \\
 & \Delta {{U}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{2}}),\Delta {{U}_{23}}=\frac{3}{2}\cdot 1\cdot {{10}^{3}}\cdot 8,31\cdot (300-150)=1869,75\cdot {{10}^{3}}. \\
 & \Delta U=-1869,75\cdot {{10}^{3}}+1869,75\cdot {{10}^{3}}=0. \\
\end{align} \]
Количество теплоты при переходе его из начального состояния в конечное определяется по формуле:
\[ \begin{align}
  & Q={{Q}_{12}}+{{Q}_{23}},{{Q}_{12}}=\Delta {{U}_{12}}+{{A}_{12}},\Delta {{U}_{12}}=-1869,75\cdot {{10}^{3}}, \\
 & {{A}_{12}}=0,{{Q}_{12}}=-1869,75\cdot {{10}^{3}}+0,{{Q}_{12}}=-1869,75\cdot {{10}^{3}}. \\
 & {{Q}_{23}}=\Delta {{U}_{23}}+{{A}_{23}},\Delta {{U}_{23}}=1869,75\cdot {{10}^{3}},{{A}_{23}}=1246,5\cdot {{10}^{3}}, \\
 & {{Q}_{23}}=1869,75\cdot {{10}^{3}}+1246,5\cdot {{10}^{3}},{{Q}_{23}}=3116,25\cdot {{10}^{3}}. \\
 & Q=-1869,75\cdot {{10}^{3}}+3116,25\cdot {{10}^{3}}=1246,5\cdot {{10}^{3}}. \\
\end{align} \]
Ответ: 1246,5∙103  Дж, 1246,5∙103  Дж, 0.
28
51) Один киломоль одноатомного газа, находящегося при температуре 27°С, охлаждается изохорически, вследствие чего его давление уменьшается в два раза. Затем газ изобарически расширяется так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной. Изобразить процесс на диаграмме «давление – объём». Вычислить количество теплоты, поглощённой газом, произведённую им работу и приращение внутренней энергии газа. Сделать рисунок.
29
Динамика твердых тел / Re: Найти ускорение груза
« Последний ответ от Сергей 05 Июнь 2019, 13:52 »
Решение. По условию задачи известны радиусы ступеней блока R и 2∙R , радиус блока 3∙R. Покажем силы которые действуют на груз А и ускорение с которым он движется. Выразим силу натяжения нити, на которой находится груз
\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},m\cdot \vec{g}+{{{\vec{F}}}_{H1}}=m\cdot \bar{a}. \\
 & Oy:m\cdot g-{{F}_{H1}}=m\cdot a,{{F}_{H1}}=m\cdot g-m\cdot a(1). \\
\end{align}
 \]
Запишем уравнение вращательного движения блока
\[ J\cdot \vec{\varepsilon }={{\vec{M}}_{0}}+{{\vec{M}}_{1}}+{{\vec{M}}_{2}}\,(2). \]
М0 – момент силы тяжести блока, М1 – момент силы натяжения груза, М2 – момент силы натяжения блока, ε – угловое ускорение вращения блока.
\[ \varepsilon =\frac{a}{R+2\cdot R},\varepsilon =\frac{a}{3\cdot R}(3). \]
За ось вращения примем прямую проходящую через точку О, М2 =0. Моменты сил, которые вращают, блок против часовой стрелки берем со знаком плюс.
Момент инерции блока относительно точки О определим по теореме Штейнера
\[ \begin{align}
  & J=I+{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}}(4).(I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{a}{3\cdot R}=-{{m}_{0}}\cdot g\cdot R+{{F}_{H1}}\cdot (R+2\cdot R), \\
 & (I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{a}{3\cdot R}=-{{m}_{0}}\cdot g\cdot R+m\cdot (g-a)\cdot 3\cdot R,(I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{a}{3\cdot R}=-{{m}_{0}}\cdot g\cdot R+m\cdot g\cdot 3\cdot R-m\cdot a\cdot 3\cdot R. \\
 & (I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{a}{3\cdot R}+m\cdot a\cdot 3\cdot R=-{{m}_{0}}\cdot g\cdot R+m\cdot g\cdot 3\cdot R,a\cdot (\frac{(I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}})}{3\cdot R}+m\cdot 3\cdot R)=g\cdot R\cdot (-{{m}_{0}}+3\cdot m), \\
 & a\cdot (\frac{I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}}+m\cdot 9\cdot {{R}^{2}}}{3\cdot R})=g\cdot R\cdot (-{{m}_{0}}+3\cdot m),\,a\cdot (I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}}+m\cdot 3\cdot {{R}^{2}})=3\cdot g\cdot {{R}^{2}}\cdot (-{{m}_{0}}+3\cdot m), \\
 & a=\frac{3\cdot g\cdot {{R}^{2}}\cdot (-{{m}_{0}}+3\cdot m)}{I\text{ }+\text{ }{{m}_{0}}\cdot {{R}^{2}}+m\cdot 9\cdot {{R}^{2}}}. \\
\end{align}
 \]
30
Решение.
Покажем рисунок. На проводник действует сила тяжести и сила Ампера. Направление силы Ампера определим по правилу левой руки. Для решения задачи используем второй закон Ньютона
\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},m\cdot \vec{g}+{{{\vec{F}}}_{A}}=m\cdot \vec{a}. \\
 & Oy:\,m\cdot g-{{F}_{A}}=m\cdot a(1). \\
 & m=\rho \cdot V(2),V=S\cdot l(3),{{F}_{A}}=I\cdot B\cdot l\cdot \sin \alpha (4),\,\alpha =\frac{\pi }{2},\sin \alpha =1, \\
 & \rho \cdot S\cdot l\cdot g-I\cdot B\cdot l=\rho \cdot S\cdot l\cdot a,\rho \cdot S\cdot g-I\cdot B=\rho \cdot S\cdot a, \\
 & I\cdot B=\rho \cdot S\cdot g-\rho \cdot S\cdot a,B=\frac{\rho \cdot S\cdot (g-a)}{I}(5). \\
 & B=\frac{8,9\cdot {{10}^{3}}\cdot 2\cdot {{10}^{-6}}\cdot (9,8-9,6)}{10}=0,356\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]
Ответ: 0,356 мТл.
Страницы: 1 2 [3] 4 5 ... 10