Автор Тема: Угловая скорость цилиндра с мелкими частицами  (Прочитано 5861 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

23siriusc

  • Гость
Помогите решить пожалуйста
С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг своей оси горизонтально расположенный цилиндр, чтобы мелкие частицы внутри цилиндра не соскальзывали с его поверхности? Коэффициент трения между поверхностью цилиндра и частицами равен 1, внутренний радиус цилиндра R.
№2.1.67 "Задачи по физике" под ред. О.Я.Савченко
« Последнее редактирование: 13 Июль 2011, 19:33 от alsak »

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Перейдем в неинерциальную систему отсчета (НИСО), связанную с цилиндром, вращающимся с угловой скоростью ω. В этой системе на любую неподвижную мелкую частицу будут действовать сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения покоя (Ft) и сила инерции (Fi = m⋅ac = m⋅ω2R) (сила, возникающая при переходе в НИСО). Рассмотрим два случая: 1) частица находится в нижней половине цилиндра (рис. 1), 2) частица находится в верхней половине цилиндра (рис. 2).
Запишем проекции второго закона Ньютона для первого случая:

0Y: 0 = N – m⋅ω2Rm⋅g⋅cos α или N = m⋅(ω2R + g⋅cos α),

0X: 0 = Ft – m⋅g⋅sin α,

где Ft < μ⋅N = μ⋅m⋅(ω2R + g⋅cos α) (частицы не должны скользить). Тогда

m⋅g⋅sin α = Ft < μ⋅m⋅(ω2R + g⋅cos α),
 
\[ \omega ^{2} >\frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sin \alpha }{\mu } -\cos \alpha \right).\;\;\; (1) \]

Если решить систему проекций уравнений и неравенств для второго случая, то получим:
 
\[ \omega ^{2} > \frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sin \beta }{\mu } +\cos \beta \right).\;\;\; (2) \]

Если учесть, что β = 180° – α, то мы опять получим уравнение (1). Найдем, при каком угле α, правая часть неравенства (1) принимает максимальное значение (учтем при этом, что по условию μ = 1):
 
\[ \left(\frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sin \alpha }{\mu } -\cos \alpha \right)\right)^{{'} } = \frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\cos \alpha }{\mu } +\sin \alpha \right)=0, \]

\[ \frac{\cos \alpha }{\mu } =-\sin \alpha , \;\;\; tg\alpha =-\frac{1}{\mu } =-1, \;\;\; \alpha =135{}^\circ . \]

Подставим полученное значение и μ = 1 в неравенство (1):
 
\[ \omega >\sqrt{\frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} \right)} = \sqrt{\frac{g}{R} \cdot \sqrt{2} }. \]


23siriusc

  • Гость
спасибо большое. Все никак не могу понять почему β = 180° – α?

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
См. рис.