Перейдем в неинерциальную систему отсчета (НИСО), связанную с цилиндром, вращающимся с угловой скоростью ω. В этой системе на любую неподвижную мелкую частицу будут действовать сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения покоя (Ft) и сила инерции (Fi = m⋅ac = m⋅ω2⋅R) (сила, возникающая при переходе в НИСО). Рассмотрим два случая: 1) частица находится в нижней половине цилиндра (рис. 1), 2) частица находится в верхней половине цилиндра (рис. 2).
Запишем проекции второго закона Ньютона для первого случая:
0Y: 0 = N – m⋅ω2⋅R – m⋅g⋅cos α или N = m⋅(ω2⋅R + g⋅cos α),
0X: 0 = Ft – m⋅g⋅sin α,
где Ft < μ⋅N = μ⋅m⋅(ω2⋅R + g⋅cos α) (частицы не должны скользить). Тогда
m⋅g⋅sin α = Ft < μ⋅m⋅(ω2⋅R + g⋅cos α),
\[ \omega ^{2} >\frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sin \alpha }{\mu } -\cos \alpha \right).\;\;\; (1) \]
Если решить систему проекций уравнений и неравенств для второго случая, то получим:
\[ \omega ^{2} > \frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sin \beta }{\mu } +\cos \beta \right).\;\;\; (2) \]
Если учесть, что β = 180° – α, то мы опять получим уравнение (1). Найдем, при каком угле α, правая часть неравенства (1) принимает максимальное значение (учтем при этом, что по условию μ = 1):
\[ \left(\frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sin \alpha }{\mu } -\cos \alpha \right)\right)^{{'} } = \frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\cos \alpha }{\mu } +\sin \alpha \right)=0, \]
\[ \frac{\cos \alpha }{\mu } =-\sin \alpha , \;\;\; tg\alpha =-\frac{1}{\mu } =-1, \;\;\; \alpha =135{}^\circ . \]
Подставим полученное значение и μ = 1 в неравенство (1):
\[ \omega >\sqrt{\frac{g}{R} \cdot \left(\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} \right)} = \sqrt{\frac{g}{R} \cdot \sqrt{2} }. \]