Автор Тема: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.  (Прочитано 36304 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

  451 452 453 454 455 456 457 458 459
460 461 462 463 464 465 466 467 468 469
470 471 472 473 474 475 476 477 478 479
480 481 482 483 484 485 486 487    
« Последнее редактирование: 17 Март 2018, 19:06 от alsak »

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
479. Идеальный газ в количестве ν = 5 моль, имевший начальную температуру Τ1 = 300 К, изобарно расширился, совершив работу А = 12,5⋅103 Дж. Во сколько раз при этом увеличился объем газа?

Решение. Обозначим начальный объем газа — V1, конечный объем — V2, давление — p. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V2V1).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева при этом процессе следует, что

p⋅(V2V1) = ν⋅R⋅(T2T1).
Тогда
\[ A=\nu \cdot R \cdot \left(T_{2}-T_{1} \right), \;\;\; T_{2} =\frac{A}{\nu \cdot R} +T_{1}. \;\;\; (1) \]
Запишем уравнение изобарного процесса и учтем уравнения (1):
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{T_{2} }{T_{1}} =\frac{A}{\nu \cdot R\cdot T_{1}} +1, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =2. \]
« Последнее редактирование: 21 Сентябрь 2011, 19:17 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
471. Вычислить работу, которую совершит газ при изобарном нагревании от t1 = 20 °С до t2 = 100 °С, если он находится в вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом подвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 20 см2 и массой m = 5 кг. Первоначальный объем газа V1 = 5⋅10–3 м3, атмосферное давление p0 = 1⋅105 Па. Трением пренебречь.

Решение. Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V2V1),

где p = p0 + m⋅g/S — давление газа под поршнем массой m.
Найдем объем V2 (объем газа, который будет при температуре t2). Для этого запишем уравнение изобарного процесса:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \; \; \; V_{2} =\frac{T_{2} \cdot V_{1} }{T_{1}}. \]
В итоге получаем
\[ A=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{T_{2} \cdot V_{1}}{T_{1}} -V_{1} \right)=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right)\cdot V_{1}, \]
A = 171 Дж.
« Последнее редактирование: 24 Сентябрь 2011, 07:41 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
472. В вертикальном цилиндре вместимостью V1 = 2 л под тяжелым поршнем находится газ при температуре Τ = 300 К. Масса поршня m = 50 кг, его площадь S = 50 см2. Температуру газа повысили на ΔT = 100 К. Найти изменение внутренней энергии газа, если его теплоемкость С = 5 Дж/К. Атмосферное давление р0 = 1⋅105 Па. Трение поршня о стенки не учитывать. Принять g = 10 м/с2.

Решение. Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U=\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
но неизвестно какой газ (одноатомный, двухатомный), находится под поршнем, поэтому неизвестно значение i. неизвестно и количестов вещества, следовательно, использовать эту формулу нельзя.
Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A. (1)

Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V2V1),

где p = p0 + m⋅g/S — давление газа под поршнем массой m.
Найдем объем V2 (объем газа, который будет при температуре T2 = T1 + ΔT). Для этого запишем уравнение изобарного процесса:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} }, \; \; \; V_{2} =\frac{T_{2} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{\left(T_{1} +\Delta T\right)\cdot V_{1} }{T_{1}}. \]
Тогда
\[ A=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{\left(T_{1} +\Delta T\right)\cdot V_{1} }{T_{1} } -V_{1} \right)=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{\Delta T\cdot V_{1} }{T_{1}}. \;\;\; (2) \]

Так как известна теплоемкость газа, то количество теплоты Q, полученное газом при нагревании, будет равно

Q = C⋅ΔT. (3)

Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1) и найдем изменение внутренней энергии газа ΔU:
\[ \Delta U=Q-A=C\cdot \Delta T-\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{\Delta T\cdot V_{1}}{T_{1}} =\left(C-\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{V_{1}}{T_{1}} \right)\cdot \Delta T, \]
ΔU = 367 Дж.
« Последнее редактирование: 24 Сентябрь 2011, 07:41 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
470. Идеальный газ, количество вещества которого ν = 0,5 моль, из состояния с температурой Τ1 = 100 К расширяется изобарно, а затем изохорно переходит в состояние с начальной температурой. Во сколько раз изменится при этом объем газа, если для перевода газа из начального состояния в конечное к нему подвели количество теплоты Q = 831 Дж? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Рассмотрим каждый из процессов отдельно.
1 процесс: изобарное расширение. При изобарном процессе работа газа A1 равна:

A1 = p⋅ΔV = p⋅(V2V1).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V2V1) = ν⋅R⋅(T2T1).
Поэтому
A1 = ν⋅R⋅(T2T1).

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Тогда
\[ Q_{1} =\Delta U_{1} +A_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{i+2}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right), \]
где T2 > T1. Поэтому Q1 > 0.

2 процесс: изохорное охлаждение. При изохорном процессе работа газа A2 равна:

A2 = 0.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{1} -T_{2} \right)=-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]

Тогда
\[ Q_{2} =\Delta U_{2} +A_{2} =-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right), \]
где Q2 < 0.

Общее количество теплоты, затраченное на перевод газа из начального состояния в конечное, равно
\[ Q=Q_{1} +Q_{2} =\frac{i+2}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Найдем температуру T2:
\[ T_{2} =\frac{Q}{\nu \cdot R} +T_{1}. \;\;\; (1)  \]

Запишем уравнение изобарного процесса (во втором процессе объем газа не изменяется) и учтем уравнения (1):
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{T_{2} }{T_{1} } =\frac{Q}{\nu \cdot R\cdot T_{1} } +1, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =3. \]

Примечание. Здесь приводится решение не совсем той задачи, которую предлагает Савченко Н.Е. По условию Q — это количество теплоты, которое подвели к газу. А так как подведенное количество теплоты больше нуля, то Q = Q1. Количество теплоты Q2 (Q2 < 0) — это отданная назад газом теплота. И тогда в задаче не хватает данных (например, одноатомный это газ, двухатомный?).

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
473. Для нагревания некоторого количества идеального газа с молярной массой Μ = 28⋅10–3 кг/моль на ΔT = 14 К при постоянном давлении потребовалось количество теплоты Q1 = 10 Дж. Чтобы охладить газ до исходной температуры при постоянном объеме, необходимо отнять от него количество теплоты Q2 = 8,0 Дж. Найти массу газа. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Рассмотрим каждый из процессов отдельно.
1 процесс: изобарное нагревание. При изобарном процессе работа газа A1 равна:

A1 = p⋅ΔV = p⋅(V2V1),

где V1 — объем газа до нагревания, V2 — объем газа после нагревания. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V2V1) = ν⋅R⋅(T2T1),

где T1 — температура газа до нагревания, T2 — температура газа после нагревания. Поэтому

A1 = ν⋅R⋅(T2T1) = ν⋅R⋅ΔT.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
Тогда
\[ Q_{1} =\Delta U_{1} +A_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T.\; \; \; (1) \]

2 процесс: изохорное охлаждение. При изохорном процессе работа газа A2 равна:

A2 = 0.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{1} -T_{2} \right)=-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T \].
Тогда
\[ Q_{2} =\Delta U_{2} +A_{2} =-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
В условии Q2 задано по модулю (без учета знака), поэтому
\[ Q_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T.\; \; \; (2) \]

Решим систему уравнений (1) - (2) и учтем, что ν = m/M. Например,
\[ Q_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T=Q_{2} +\nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
\[ \nu =\frac{Q_{1} -Q_{2} }{R\cdot \Delta T}, \; \; \; m=\nu \cdot M=\frac{Q_{1} -Q_{2} }{R\cdot \Delta T} \cdot M, \]
m = 4,8⋅10–4 кг.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
478. В цилиндрическом сосуде под легким подвижным поршнем находится ν = 1,5 моль идеального одноатомного газа при температуре t1 = 27 °С. Какое количество теплоты надо подвести к газу, чтобы его объем увеличился в n = 3 раза? Трением поршня о стенки сосуда пренебречь. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V2V1),

где V1 — объем газа до расширения, V2 — объем газа после расширения. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V2V1) = ν⋅R⋅(T2T1).

Поэтому

A = ν⋅R⋅(T2T1).

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Тогда
\[ Q=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]

Найдем температуру T2. Для этого запишем уравнение изобарного процесса и учтем, что по условию V2 = n⋅V1:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{V_{2} }{V_{1} } \cdot T_{1} =n\cdot T_{1}. \]
В итоге получаем, что
\[ Q=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(n\cdot T_{1} -T_{1} \right)=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \left(n-1\right), \]
Q = 1,9⋅104 Дж.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
482. Процессы, происходящие в цилиндре теплового двигателя с идеальным газом, изображены на диаграмме p - V (рис. 1). Известно, что Т2 = 500 К, Т3 = 450 К, Т4 = 300 К. Найти, на сколько кельвин температура в точке 1 отличается от температуры в точке 3.

Решение. Процессы 1-2 и 3-4 изобарные и V4 = V1, V3 = V2. Тогда
\[ \frac{V_{1} }{T_{1}} =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \; \; \; \frac{V_{1}}{V_{2}} =\frac{T_{1} }{T_{2}}. \; \; \; (1) \]
\[ \frac{V_{3} }{T_{3} } =\frac{V_{4} }{T_{4} } ,\; \; \; \frac{V_{4} }{V_{3} } =\frac{V_{1} }{V_{2} } =\frac{T_{4}}{T_{3}}. \; \; \; (2) \]

Решим систему двух уравнений. Например,
\[ \frac{T_{1}}{T_{2}} =\frac{T_{4}}{T_{3}}, \;\; \; T_{1} =\frac{T_{4} }{T_{3}} \cdot T_{2}, \; \; \; T_{1} -T_{3} =\frac{T_{4} }{T_{3}} \cdot T_{2} -T_{3}, \]
T1T3 = – 117 К. В точке 1 температура меньше на 117 К, чем в точке 3.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
484. Идеальная тепловая машина, работающая при нормальных условиях окружающего воздуха, который для нее является холодильником, поднимает груз массой m = 400 кг. Рабочее тело машины получает от нагревателя с температурой t1 = 200 °С количество теплоты Q1 = 80 кДж. На какую максимальную высоту поднимает груз эта тепловая машина? Трением пренебречь.

Решение. Температура воздуха при нормальных условиях t2 = 0 °C. КПД идеальной тепловой машины равен
\[ \eta =\frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{A}{Q_{1}}, \]
где A = ΔW = m⋅g⋅Δh — полезная работа двигателя, Δh — высота, на которую нужно поднять груз. Эта высота будет максимальной, если тело на данной высоте не будет двигаться (т.е. работа пойдет на изменение только потенциальной энергии). В итоге получаем:
\[ \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{m\cdot g\cdot \Delta h}{Q_{1}}, \;\;\; \Delta h=\frac{\left(T_{1} -T_{2} \right)\cdot Q_{1} }{m\cdot g\cdot T_{1}}, \]
Δh = 8,5 м.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
486. Температура газов, образующихся при сгорании топлива в цилиндрах двигателя автомобиля, t1 = 827 °С, температура выхлопных газов t2 = 97 °С. Сколько километров проедет с постоянной скоростью автомобиль, имеющий в баке V = 40 л топлива, если удельная теплота сгорания топлива q = 46⋅106 Дж/кг, плотность топлива ρ = 710 кг/м3, а сила сопротивления движению F остается постоянной и по модулю равной 1,7⋅103 Н? Двигатель считать идеальной тепловой машиной, работающей с максимально возможным КПД.

Решение. КПД двигателя равен
\[ \eta =\frac{A}{Q_{{\rm 1}} } =\frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1}}, \]
где A = Ft⋅Δr — полезная работа двигателя, Ft — сила тяги автомобиля и Ft = F, т.к. автомобиль движется равномерно (запишите второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось), Q1 — количество теплоты, получаемое двигателем от нагревателя, и равное Q1 = q⋅m, m = ρ⋅V — масса топлива. Тогда
\[ \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{F\cdot \Delta r}{q\cdot m} =\frac{F\cdot \Delta r}{q\cdot \rho \cdot V}, \;\;\; \Delta r=\frac{q\cdot \rho \cdot V}{F} \cdot \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1}}, \]
Δr = 5,1⋅105 м.