Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => : alsak 01 May 2011, 08:28

: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 01 May 2011, 08:28

Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

	451 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,7255.0.html)	452 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg31289.html#msg31289)	453 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22946.html#msg22946)	454 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg31349.html#msg31349)	455 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg31379.html#msg31379)	456 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg31449.html#msg31449)	457 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg31639.html#msg31639)	458 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22956.html#msg22956)	459 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg31689.html#msg31689)
460 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg32039.html#msg32039)	461 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39353.html#msg39353)	462 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39354.html#msg39354)	463 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg23266.html#msg23266)	464 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg23296.html#msg23296)	465 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39355.html#msg39355)	466 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39356.html#msg39356)	467 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39357.html#msg39357)	468 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg38603.html#msg38603)	469 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39358.html#msg39358)
470 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22666.html#msg22666)	471 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22626.html#msg22626)	472 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22656.html#msg22656)	473 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22676.html#msg22676)	474 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39359.html#msg39359)	475 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39360.html#msg39360)	476 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39361.html#msg39361)	477 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39362.html#msg39362)	478 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22686.html#msg22686)	479 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22586.html#msg22586)
480 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39363.html#msg39363)	481 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39369.html#msg39369)	482 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22786.html#msg22786)	483 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39370.html#msg39370)	484 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22796.html#msg22796)	485 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39371.html#msg39371)	486 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg22816.html#msg22816)	487 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4746.msg39372.html#msg39372)

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 21 September 2011, 19:14

479. Идеальный газ в количестве ν = 5 моль, имевший начальную температуру Τ₁ = 300 К, изобарно расширился, совершив работу А = 12,5⋅10³ Дж. Во сколько раз при этом увеличился объем газа?

Решение. Обозначим начальный объем газа — V₁, конечный объем — V₂, давление — p. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V1).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева при этом процессе следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Тогда
\[ A=\nu \cdot R \cdot \left(T_{2}-T_{1} \right), \;\;\; T_{2} =\frac{A}{\nu \cdot R} +T_{1}. \;\;\; (1) \]
Запишем уравнение изобарного процесса и учтем уравнения (1):
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{T_{2} }{T_{1}} =\frac{A}{\nu \cdot R\cdot T_{1}} +1, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =2. \]

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 22 September 2011, 18:24

471. Вычислить работу, которую совершит газ при изобарном нагревании от t₁ = 20 °С до t₂ = 100 °С, если он находится в вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом подвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 20 см² и массой m = 5 кг. Первоначальный объем газа V₁ = 5⋅10^–3 м³, атмосферное давление p₀ = 1⋅10⁵ Па. Трением пренебречь.

Решение. Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где p = p₀ + m⋅g/S — давление газа под поршнем массой m.
Найдем объем V₂ (объем газа, который будет при температуре t₂). Для этого запишем уравнение изобарного процесса:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \; \; \; V_{2} =\frac{T_{2} \cdot V_{1} }{T_{1}}. \]
В итоге получаем
\[ A=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{T_{2} \cdot V_{1}}{T_{1}} -V_{1} \right)=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right)\cdot V_{1}, \]
A = 171 Дж.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 23 September 2011, 06:48

472. В вертикальном цилиндре вместимостью V₁ = 2 л под тяжелым поршнем находится газ при температуре Τ = 300 К. Масса поршня m = 50 кг, его площадь S = 50 см². Температуру газа повысили на ΔT = 100 К. Найти изменение внутренней энергии газа, если его теплоемкость С = 5 Дж/К. Атмосферное давление р₀ = 1⋅10⁵ Па. Трение поршня о стенки не учитывать. Принять g = 10 м/с².

Решение. Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U=\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
но неизвестно какой газ (одноатомный, двухатомный), находится под поршнем, поэтому неизвестно значение i. неизвестно и количестов вещества, следовательно, использовать эту формулу нельзя.
Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A. (1)

Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где p = p₀ + m⋅g/S — давление газа под поршнем массой m.
Найдем объем V₂ (объем газа, который будет при температуре T₂ = T₁ + ΔT). Для этого запишем уравнение изобарного процесса:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} }, \; \; \; V_{2} =\frac{T_{2} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{\left(T_{1} +\Delta T\right)\cdot V_{1} }{T_{1}}. \]
Тогда
\[ A=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \left(\frac{\left(T_{1} +\Delta T\right)\cdot V_{1} }{T_{1} } -V_{1} \right)=\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{\Delta T\cdot V_{1} }{T_{1}}. \;\;\; (2) \]

Так как известна теплоемкость газа, то количество теплоты Q, полученное газом при нагревании, будет равно

Q = C⋅ΔT. (3)

Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1) и найдем изменение внутренней энергии газа ΔU:
\[ \Delta U=Q-A=C\cdot \Delta T-\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{\Delta T\cdot V_{1}}{T_{1}} =\left(C-\left(p_{0} +\frac{m\cdot g}{S} \right)\cdot \frac{V_{1}}{T_{1}} \right)\cdot \Delta T, \]
ΔU = 367 Дж.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 23 September 2011, 18:45

470. Идеальный газ, количество вещества которого ν = 0,5 моль, из состояния с температурой Τ₁ = 100 К расширяется изобарно, а затем изохорно переходит в состояние с начальной температурой. Во сколько раз изменится при этом объем газа, если для перевода газа из начального состояния в конечное к нему подвели количество теплоты Q = 831 Дж? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Рассмотрим каждый из процессов отдельно.
1 процесс: изобарное расширение. При изобарном процессе работа газа A₁ равна:

A₁ = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁).

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Поэтому

A₁ = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Тогда
\[ Q_{1} =\Delta U_{1} +A_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{i+2}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right), \]
где T₂ > T₁. Поэтому Q₁ > 0.

2 процесс: изохорное охлаждение. При изохорном процессе работа газа A₂ равна:

A₂ = 0.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{1} -T_{2} \right)=-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]

Тогда
\[ Q_{2} =\Delta U_{2} +A_{2} =-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right), \]
где Q₂ < 0.

Общее количество теплоты, затраченное на перевод газа из начального состояния в конечное, равно
\[ Q=Q_{1} +Q_{2} =\frac{i+2}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Найдем температуру T₂:
\[ T_{2} =\frac{Q}{\nu \cdot R} +T_{1}. \;\;\; (1)  \]

Запишем уравнение изобарного процесса (во втором процессе объем газа не изменяется) и учтем уравнения (1):
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{T_{2} }{T_{1} } =\frac{Q}{\nu \cdot R\cdot T_{1} } +1, \;\;\; \frac{V_{2} }{V_{1} } =3. \]

Примечание. Здесь приводится решение не совсем той задачи, которую предлагает Савченко Н.Е. По условию Q — это количество теплоты, которое подвели к газу. А так как подведенное количество теплоты больше нуля, то Q = Q₁. Количество теплоты Q₂ (Q₂ < 0) — это отданная назад газом теплота. И тогда в задаче не хватает данных (например, одноатомный это газ, двухатомный?).

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 24 September 2011, 07:29

473. Для нагревания некоторого количества идеального газа с молярной массой Μ = 28⋅10^–3 кг/моль на ΔT = 14 К при постоянном давлении потребовалось количество теплоты Q₁ = 10 Дж. Чтобы охладить газ до исходной температуры при постоянном объеме, необходимо отнять от него количество теплоты Q₂ = 8,0 Дж. Найти массу газа. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Рассмотрим каждый из процессов отдельно.
1 процесс: изобарное нагревание. При изобарном процессе работа газа A₁ равна:

A₁ = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где V₁ — объем газа до нагревания, V₂ — объем газа после нагревания. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁),

где T₁ — температура газа до нагревания, T₂ — температура газа после нагревания. Поэтому

A₁ = ν⋅R⋅(T₂ – T₁) = ν⋅R⋅ΔT.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
Тогда
\[ Q_{1} =\Delta U_{1} +A_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T.\; \; \; (1) \]

2 процесс: изохорное охлаждение. При изохорном процессе работа газа A₂ равна:

A₂ = 0.

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{1} -T_{2} \right)=-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T \].
Тогда
\[ Q_{2} =\Delta U_{2} +A_{2} =-\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T. \]
В условии Q₂ задано по модулю (без учета знака), поэтому
\[ Q_{2} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T.\; \; \; (2) \]

Решим систему уравнений (1) - (2) и учтем, что ν = m/M. Например,
\[ Q_{1} =\frac{i}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T+\nu \cdot R\cdot \Delta T=Q_{2} +\nu \cdot R\cdot \Delta T, \]
\[ \nu =\frac{Q_{1} -Q_{2} }{R\cdot \Delta T}, \; \; \; m=\nu \cdot M=\frac{Q_{1} -Q_{2} }{R\cdot \Delta T} \cdot M, \]
m = 4,8⋅10^–4 кг.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 24 September 2011, 08:01

478. В цилиндрическом сосуде под легким подвижным поршнем находится ν = 1,5 моль идеального одноатомного газа при температуре t₁ = 27 °С. Какое количество теплоты надо подвести к газу, чтобы его объем увеличился в n = 3 раза? Трением поршня о стенки сосуда пренебречь. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Воспользуемся первым началом термодинамики: количество теплоты, изменение внутренней энергии газа и работа газа связаны соотношением

Q = ΔU + A.

Процесс в цилиндре с поршнем без трения является изобарным. При изобарном процессе работа газа A равна:

A = p⋅ΔV = p⋅(V₂ – V₁),

где V₁ — объем газа до расширения, V₂ — объем газа после расширения. Из уравнения Клапейрона-Менделеева для этого процесса следует, что

p⋅(V₂ – V₁) = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Поэтому

A = ν⋅R⋅(T₂ – T₁).

Изменение внутренней энергии идеального газа
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Тогда
\[ Q=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)+\nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]

Найдем температуру T₂. Для этого запишем уравнение изобарного процесса и учтем, что по условию V₂ = n⋅V₁:
\[ \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{T_{2} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{V_{2} }{V_{1} } \cdot T_{1} =n\cdot T_{1}. \]
В итоге получаем, что
\[ Q=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \left(n\cdot T_{1} -T_{1} \right)=\frac{5}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot T_{1} \cdot \left(n-1\right), \]
Q = 1,9⋅10⁴ Дж.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 26 September 2011, 18:47

482. Процессы, происходящие в цилиндре теплового двигателя с идеальным газом, изображены на диаграмме p - V (рис. 1). Известно, что Т₂ = 500 К, Т₃ = 450 К, Т₄ = 300 К. Найти, на сколько кельвин температура в точке 1 отличается от температуры в точке 3.

Решение. Процессы 1-2 и 3-4 изобарные и V₄ = V₁, V₃ = V₂. Тогда
\[ \frac{V_{1} }{T_{1}} =\frac{V_{2} }{T_{2}}, \; \; \; \frac{V_{1}}{V_{2}} =\frac{T_{1} }{T_{2}}. \; \; \; (1) \]
\[ \frac{V_{3} }{T_{3} } =\frac{V_{4} }{T_{4} } ,\; \; \; \frac{V_{4} }{V_{3} } =\frac{V_{1} }{V_{2} } =\frac{T_{4}}{T_{3}}. \; \; \; (2) \]

Решим систему двух уравнений. Например,
\[ \frac{T_{1}}{T_{2}} =\frac{T_{4}}{T_{3}}, \;\; \; T_{1} =\frac{T_{4} }{T_{3}} \cdot T_{2}, \; \; \; T_{1} -T_{3} =\frac{T_{4} }{T_{3}} \cdot T_{2} -T_{3}, \]
T₁ – T₃ = – 117 К. В точке 1 температура меньше на 117 К, чем в точке 3.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 27 September 2011, 17:35

484. Идеальная тепловая машина, работающая при нормальных условиях окружающего воздуха, который для нее является холодильником, поднимает груз массой m = 400 кг. Рабочее тело машины получает от нагревателя с температурой t₁ = 200 °С количество теплоты Q₁ = 80 кДж. На какую максимальную высоту поднимает груз эта тепловая машина? Трением пренебречь.

Решение. Температура воздуха при нормальных условиях t₂ = 0 °C. КПД идеальной тепловой машины равен
\[ \eta =\frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{A}{Q_{1}}, \]
где A = ΔW = m⋅g⋅Δh — полезная работа двигателя, Δh — высота, на которую нужно поднять груз. Эта высота будет максимальной, если тело на данной высоте не будет двигаться (т.е. работа пойдет на изменение только потенциальной энергии). В итоге получаем:
\[ \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{m\cdot g\cdot \Delta h}{Q_{1}}, \;\;\; \Delta h=\frac{\left(T_{1} -T_{2} \right)\cdot Q_{1} }{m\cdot g\cdot T_{1}}, \]
Δh = 8,5 м.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 27 September 2011, 17:58

486. Температура газов, образующихся при сгорании топлива в цилиндрах двигателя автомобиля, t₁ = 827 °С, температура выхлопных газов t₂ = 97 °С. Сколько километров проедет с постоянной скоростью автомобиль, имеющий в баке V = 40 л топлива, если удельная теплота сгорания топлива q = 46⋅10⁶ Дж/кг, плотность топлива ρ = 710 кг/м³, а сила сопротивления движению F остается постоянной и по модулю равной 1,7⋅10³ Н? Двигатель считать идеальной тепловой машиной, работающей с максимально возможным КПД.

Решение. КПД двигателя равен
\[ \eta =\frac{A}{Q_{{\rm 1}} } =\frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1}}, \]
где A = F_t⋅Δr — полезная работа двигателя, F_t — сила тяги автомобиля и F_t = F, т.к. автомобиль движется равномерно (запишите второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось), Q₁ — количество теплоты, получаемое двигателем от нагревателя, и равное Q₁ = q⋅m, m = ρ⋅V — масса топлива. Тогда
\[ \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1} } =\frac{F\cdot \Delta r}{q\cdot m} =\frac{F\cdot \Delta r}{q\cdot \rho \cdot V}, \;\;\; \Delta r=\frac{q\cdot \rho \cdot V}{F} \cdot \frac{T_{1} -T_{2} }{T_{1}}, \]
Δr = 5,1⋅10⁵ м.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 02 October 2011, 09:19

453. Нагретую железную болванку поставили на лед, имеющий температуру t₁ = 0 °С. В результате охлаждения болванки до 0 °С под ней расплавилось m₁ = 460 г льда. Какова была температура нагретой болванки, если ее масса m₂ = 3,3 кг? Удельная теплоемкость железа c = 460 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (лед при температуре t₁ = 0 ºС и железной болванки при температуре t₂). Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0,

где Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) –количество теплоты, которое отдает железная болванка (Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло).
Лед взят при температуре плавления t₁ = 0 ºС и конечная температура равна 0 °С, поэтому лед будет только плавится и Q₁ = m₁⋅λ. Тогда
\[ m_{1} \cdot \lambda + c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right) = 0, \;\;\; t_{2} =\frac{m_{1} \cdot \lambda }{c\cdot m_{2} } +t_{1}, \]
t₂ = 100 °C.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 02 October 2011, 10:00

458. С какой скоростью должна удариться о преграду свинцовая пуля, чтобы она расплавилась, если до удара температура пули была Τ = 373 К? При ударе на нагревание пули идет η = 0,60 ее энергии. Температура плавления свинца Т₂ = 600 К, его удельная теплоемкость с = 130 Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления λ = 30⋅10³ Дж/кг.

Решение. Свинец плавится при температуре T₂ > T, поэтому свинец необходимо вначале нагреть от температуры T до T₂, а затем только его можно будет расплавить. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q = Q₁ + Q₂,

где Q₁ = c⋅m⋅(T₂ – T), Q₂ = m⋅λ.

Пуля перед ударом имела механическую энергию, равную
\[ W=\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} \]
(потенциальную энергию считаем равной нулю). По условию на нагревание пошла только часть η всей механической энергии пули. Тогда
\[ Q=\eta \cdot W, \;\;\; c\cdot m\cdot \left(T_{2} -T\right)+m\cdot \lambda =\eta \cdot \frac{m\cdot \upsilon ^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon =\sqrt{\frac{2c\cdot \left(T_{2} -T\right)+\lambda }{\eta }}, \]
υ = 385 м/с.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 03 October 2011, 19:24

463. Найти массу льда, имеющего температуру t = –10 °С, который можно растопить за τ = 10 мин с помощью электрического нагревателя, работающего при токе силой I = 3 А от сети с напряжением U = 220 В? КПД нагревателя η = 80%. Удельная теплоемкость льда с = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Лед взят при температуре t = –10 °С, плавится он при температуре t₀ = 0 °С, поэтому его вначале нужно нагреть, а затем только он будет плавиться. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q = Q₁ + Q₂, (1)

где Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t), Q₂ = m⋅λ.
Эту энергию лед получит от электрического нагревателя, работа которого равна

A = U⋅I⋅τ. (2)

КПД нагревателя
 
\[ \eta =\frac{A_{n} }{A_{3}}, \]
где η = 0,80, A_n = Q — полезная работа, A₃ = A — затраченная работа. С учетом уравнений (1) и (2) получаем:
 
\[ \eta =\frac{m\cdot \left(c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda \right)}{U\cdot I\cdot \tau }, \; \; \; m=\; \frac{\eta \cdot U\cdot I\cdot \tau }{c\cdot \left(t_{0} -t\right)+\lambda }, \]

m = 0,9 кг.
Примечание. В условию нужно добавить: «Температура плавления льда равна 0 °С».

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 04 October 2011, 18:30

464. В кастрюлю налили холодной воды при температуре t₁ = 10 °С и поставили ее на электроплиту. Через время τ₁ = 5,0 мин вода закипела. Через сколько времени после начала кипения вода полностью испарится? Удельная теплоемкость воды с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота парообразования воды r = 2,26⋅10⁶ Дж/кг. Кипение происходит в открытой кастрюле при нормальном давлении.

Решение. Пусть P — мощность электроплитки.
Чтобы вода закипела, ее нужно нагреть от температуры t₁ = 10 °С до температуры кипения t₀ = 100 °С. При этом понадобится количество теплоты, равное

Q₁ = c⋅m⋅(t₀ – t₁) = P⋅τ₁. (1)

Количество теплоты, необходимое для полного испарения, равно

Q₂ = m⋅r = P⋅τ₂. (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[ \frac{m\cdot r}{c\cdot m\cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)} =\frac{P\cdot \tau _{2} }{P\cdot \tau _{1}}, \;\;\;
\frac{r}{c\cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)} =\frac{\tau _{2}}{\tau _{1}}, \;\;\;
\tau _{2} = \frac{r \cdot \tau _{1}}{c \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}, \]
τ₂ = 30 мин.

Примечание. В условию нужно добавить: «Температура кипения воды равна 100 °С».

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 31 December 2011, 12:32

452. В сосуд, содержащий m₁ = 2,35 кг воды при температуре Τ₁ = 293 К, опускают кусок олова, нагретого до температуры Т₂ = 503 К. Температура воды в сосуде повысилась на ΔT = 15 К. Вычислить массу олова. Испарением воды пренебречь. Удельная теплоемкость воды c₁ = 4,19 ⋅10³ Дж/(кг⋅К), олова c₂ = 2,5⋅10² Дж/(кг⋅К).

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре T₂). При этом вода нагревается и получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):

Q₁ = c₁⋅m₁⋅ΔT,

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло.
Так как температура плавления олова T_пл = 505 К, и T₂ < T_пл, то олово находится в твердом состоянии. Олово охлаждает и отдает количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = c₂⋅m₂⋅(T₃ – T₂),

где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₂ — масса олова, T₃ = T₁ + ΔT — конечная температура олова.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

c₁⋅m₁⋅ΔT + c₂⋅m₂⋅(T₃ – T₂) = 0.

Тогда
\[ m_{2} =-\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{3} -T_{2} \right)} =\frac{c_{1} \cdot m_{1} \cdot \Delta T}{c_{2} \cdot \left(T_{2} -T_{1} -\Delta T\right)}, \]
m₂ = 3 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления олова.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 02 January 2012, 10:13

454. При нормальном атмосферном давлении некоторую массу воды нагревают до температуры кипения, пропуская через нее пар при температуре t₁ = 100 °С. Во сколько раз увеличится масса воды, когда она достигнет температуры кипения? Начальная температура воды t₂ = 20 °С, ее удельная теплоемкость и удельная теплота парообразования — соответственно с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), r = 22,6⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (пар при температуре t₁ и вода при температуре t₂). Пар находится при температуре кипения t₁, поэтому при передаче теплоты воде пар сразу начнет конденсироваться. Так как конечная температура смеси вода-пар так же равна температуре кипения t₁, то пар охлаждаться не будет. При этом выделится количество теплоты Q₁ равное

Q₁ = m₁⋅r,

где Q₁ < 0, т.к. тело отдает тепло, m₁ — масса сконденсировавшегося пара.

Вода будет нагреваться от температуры t₂ до t₁ и получает при этом количество теплоты Q₂ равное

Q₂ = c⋅m₂⋅(t₁ – t₂),

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло, m₂ — масса воды.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

c⋅m₂⋅(t₁ – t₂) – m₁⋅r = 0

или
\[ m_{1} \cdot r=c\cdot m_{2} \cdot \left(t_{1} -t_{2} \right), \; \; \; \frac{m_{1} }{m_{2} } =\frac{c\cdot \left(t_{1} -t_{2} \right)}{r}. \; \; \; (1) \]

При нагревании воды массой m₂ до температуры t₁ сконденсируется пар массой m₁, и поэтому масса воды станет равной

m = m₁ + m₂.

Тогда увеличение массы воды, с учетом уравнения (1), будет равно
\[ \frac{m}{m_{2} } =\frac{m_{1} +m_{2} }{m_{2} } =\frac{m_{1} }{m_{2} } +1=\frac{c\cdot \left(t_{1} -t_{2} \right)}{r} +1, \; \; \; \frac{m}{m_{2} } =1,15. \]
Примечание. В условие надо добавить температуру кипения воды при нормальном давлении.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 03 January 2012, 12:30

455. В калориметр налито m₁ = 2,0 кг воды при температуре t₁ = 6,0 °С и положен кусок льда массой m₂ = 2,0 кг, температура которого t₂ = –20 °С. Каково будет содержимое калориметра после установления теплового равновесия? Теплоемкостью калориметра и теплообменом с внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость воды с₁ = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К), льда с₂ = 2,1⋅10³ Дж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре t₁ и лед при температуре t₂). В задаче неизвестна конечная температура смеси, поэтому мы не можем сразу определить все фазовые переходы. Можем только утверждать, что вода будет охлаждаться, а лед нагреваться.
Определим, сколько максимально энергии Q_1max может выделится при охлаждении воды от температуры t₁ до t₀ = 0 °С (температуры замерзания воды) (Q_1max < 0, т.к. тело отдает тепло), и сколько максимально энергии Q_2max необходимо для нагревания льда от температуры t₂ до t₀ = 0 °С (температуры плавления льда):

Q_1max = с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁),   Q_2max = с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂),

Q_1max = –5,03⋅10⁴ Дж, Q_2max = 8,40⋅10⁴ Дж.
Так как |Q_1max| < Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении воды не хватает, для того, чтобы нагреть лед до температуры плавления t₀. Следовательно, вода охладиться до температуры t₀ и начнет замерзать.

Определим, достаточно ли энергии выделит вода при полном замерзании (кристаллизации) Q_3max, чтобы нагреть лед до температуры t₀.

Q_3max = –m₁⋅λ,

Q_3max = –6,6⋅10⁵ Дж, Q_1max + Q_3max = -7,10⋅10⁵ Дж.
Так как |Q_1max + Q_3max| > Q_2max, то энергии, которая выделится при охлаждении и замерзании воды, достаточно, чтобы нагреть лед до температуры t₀. Следовательно, температура смеси будет равна t₀ = 0 °С.
В итоге получаем, что вода будет охлаждаться до температуры t₀ и часть ее (массой m₃) замерзнет. При этом вода выделит количество теплоты Q₁ равное:

Q₁ = с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁) – m₃⋅λ.

Лед будет только нагреваться до температуры t₀ и получит количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂).

Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

с₁⋅m₁⋅(t₀ – t₁) – m₃⋅λ + с₂⋅m₂⋅(t₀ – t₂) = 0.

\[ m_{3} =\frac{c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(t_{0} -t_{2} \right)+c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(t_{0} -t_{1} \right)}{\lambda }, \]
m₃ = 0,10 кг.
В калориметре будет вода массой
m₁ – m₃ = 1,9 кг,
И лед, массой
m₂ + m₃ = 2,1 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления льда.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 03 January 2012, 17:38

456. В смесь, состоящую из льда массой m₁ = 5 кг и воды массой m₂ = 4 кг при температуре t₁ = 0 °С, впускают водяной пар массой m₃ = 0,5 кг при температуре t₂ = 100 °С. Определить температуру смеси t и массу m₄ растаявшего льда. Удельная теплота плавления льда λ = 3,3⋅10⁵ Дж/кг. Удельная теплоемкость воды с = 4,19⋅10³ Дж/(кг⋅К). Удельная теплота парообразования воды r = 22,6⋅10⁵ Дж/кг.

Решение. Происходит теплообмен между тремя телами (лед и вода при температуре t₁, пар при температуре t₂). В задаче неизвестна конечная температура смеси, поэтому мы не можем сразу определить все процессы. Можем только утверждать, что лед начнет таять (так как t₁ — температура плавления льда), а пар конденсировать (так как t₂ — температура конденсации пара).
Определим, сколько максимально энергии Q_1max необходимо для плавления всего льда, и сколько максимально энергии Q_2max может выделится при конденсации всего пара (Q_2max < 0, т.к. тело отдает тепло):

Q_1max = m₁⋅λ,   Q_2max = –m₃⋅r,

Q_1max = 1,65⋅10⁶ Дж, Q_2max = –1,13⋅10⁶ Дж.
Так как Q_1max > |Q_2max|, то энергии, которая выделится при конденсации пара не хватает, для того, чтобы расплавить весь лед. Следовательно, пар весь сконденсируется и начнет охлаждаться.

Определим, сколько максимально энергии Q_3max может выделится при охлаждении всего сконденсировавшего пара (воды) от температуры t₂ до t₁ (Q_3max < 0, т.к. тело отдает тепло):

Q_3max = c⋅m₃⋅(t₁ – t₂),

Q_3max = –2,10⋅10⁵ Дж, Q_2max + Q_3max = –1,34⋅10⁶ Дж.
Так как |Q_2max + Q_3max| < Q_1max, то энергии, которая выделится при конденсации и охлаждении пара до температуры t₁, недостаточно, чтобы расплавить весь лед. Следовательно, температура смеси будет равна t₁ = 0 °С.

В итоге получаем, что пар будет конденсировать и охлаждаться до температуры t₁. При этом пар выделит количество теплоты Q₁ равное:

Q₁ = Q_2max + Q_3max = –1,34⋅10⁶ Дж.

При этом растает только часть льда (массой m₄) и получит количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = m₄⋅λ.

Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

\[ Q_{1} +m_{4} \cdot \lambda =0,\; \; \; m_{4} =-\frac{Q_{1} }{\lambda }, \]
m₄ = 4,1 кг.
Примечание. В условие надо добавить температуру плавления льда и температуру конденсации пара.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 05 January 2012, 12:48

457. В калориметр, в котором находится вода массой m₁ при температуре T₁, вливают расплавленный металл, масса которого m₂, а температура равна температуре плавления Т_n. При этом температура воды в калориметре повышается до T₂, а часть воды выкипает. Определить массу выкипевшей воды. Удельная теплоемкость воды с₁, удельная теплоемкость металла c₂, удельная теплота плавления металла λ, удельная теплота парообразования воды r, температура кипения воды Т_k.

Решение. Происходит теплообмен между двумя телами (вода при температуре T₁ и олово при температуре Т_n). При этом вода нагревается до температуры T₂, а часть воды (массой m₃) нагревается еще от температуры T₂ до температуры кипения Т_k и выкипает (см. примечание). Вся вода получает количество теплоты Q₁ равное (испарением воды пренебречь):

Q₁ = с₁⋅m₁⋅(T₂ – T₁) + с₁⋅m₃⋅(Т_k – T₂) + m₃⋅r,

где Q₁ > 0, т.к. тело получает тепло.
Так как расплавленный металл находится при температуре плавления T_n, то он начнет кристаллизоваться и охлаждаться. При этом металл отдает количество теплоты Q₂ равное:

Q₂ = –m₂⋅λ + c₂⋅m₂⋅(T₂ – Т_n),

где Q₂ < 0, т.к. тело отдает тепло.
Запишем уравнение теплового баланса для двух тел:

Q₁ + Q₂ = 0 или

с₁⋅m₁⋅(T₂ – T₁) + с₁⋅m₃⋅(Т_k – T₂) + m₃⋅r – m₂⋅λ + c₂⋅m₂⋅(T₂ – Т_n) = 0.

Тогда
\[ m_{3} = \frac{m_{2} \cdot \lambda +c_{2} \cdot m_{2} \cdot \left(T_{n} -T_{2} \right)-c_{1} \cdot m_{1} \cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)}{c_{1} \cdot \left(T_{k} -T_{2} \right)+r}. \]
Примечание. Можно рассмотреть такие процессы: часть воды (массой m₃) нагревается от температуры T₁ до температуры кипения Т_k и выкипает, а остальная часть воды (массой m₁ – m₃) нагревается от температуры T₁ до температуры T₂. После приведения подобных получим тот же результат.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 05 January 2012, 18:12

459. Свинцовая пуля, летящая горизонтально со скоростью υ₀ = 500 м/с, пробивает доску на высоте h = 2,0 м над поверхностью земли, не изменяя направления своей скорости. На каком расстоянии от доски пуля упадет на землю, если при движении через доску она нагревается на ΔT = 200 К? Считать, что вся теплота, выделившаяся при движении через доску, пошла на нагревание пули. Удельная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг⋅К). Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1 случай: пуля движется в доске. Для нагревания свинца ΔT понадобится количество теплоты Q₁ равное

Q₁ = c⋅m⋅ΔT,

где m — масса пули. Пуля имела механические энергии W₀ — перед ударом, W — после удара, где
\[ W_{0} =\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; W=\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} \]
где υ₁ — скорость пули сразу после прохождения доски (нулевую высоту выберем так, чтобы потенциальные энергии пули были равны нулю). Теплота Q, выделившаяся при движении через доску, будет равна работе силы трения, и, по условию, вся пошла на нагревание пули:

Q = Q₁ = W₀ – W или

\[ c\cdot m\cdot \Delta T=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} -\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{1} =\sqrt{\upsilon _{0}^{2} -2c\cdot \Delta T}. \; \; \; (1) \]

2 случай: пуля летит после прохождения доски. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с доской, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y₀ = h, x₀ = 0 (рис. 1). Запишем уравнения координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение пули направлено вертикально вниз, т.е. a_x = 0, g_y = –g.
На ось 0Х:

x = x₀ + υ_1x⋅t = υ₁⋅t.

На оси 0Y:

y = y₀ + υ_1y⋅t + g_y⋅t²/2 = h – g⋅t²/2,

так как υ_1y = 0.
Пусть в некоторый момент времени t = t₁ пуля упала на землю, тогда y = 0, x = l:
\[ l=\upsilon _{1} \cdot t_{1}, \; \; \; 0=h-\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2}. \]
С учетом уравнения (1) получаем:
\[ t_{1} =\sqrt{\frac{2h}{g}}, \;\;\; l=\upsilon _{1} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\left(\upsilon _{0}^{2} -2c\cdot \Delta T\right)\cdot \frac{2h}{g}}, \]
так как υ_1y = 0.
l = 281 м.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: alsak 07 January 2012, 17:19

460. Поезд массой m = 1000 т при торможении с ускорением а = 0,2 м/с² остановился через τ = 100 с. Какое количество теплоты выделилось при торможении?

Решение. 1 способ. Количество теплоты Q, которое выделилось при торможении, можно найти так:

Q = W₀ – W,   (1)

где W₀, W — энергии, которыми обладал поезд вначале торможения и в конце. Если нулевую высоту выбрать так, чтобы потенциальная энергия поезда равнялась нулю, то
\[ W_{0} =\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; W=0. \; \; \; (2) \]
Для нахождения начальной скорости поезда υ0 воспользуемся следующим уравнением:

υ_x = υ_0x + a_x⋅t,

где υ_0x = υ₀, a_x = –a, т.к. при торможении ускорение направлено против скорости (рис. 1). Тогда

υ_x = υ₀ – a⋅t.

Так как поезд через время τ остановился, то при t = τ данное уравнение примет вид:

0 = υ₀ – a⋅τ или υ₀ = a⋅τ.   (3)

После подстановки уравнений (2) и (3) в (1) получаем:
\[ Q=\frac{m\cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \left(a\cdot \tau \right)^{2} }{2}, \; \; \; (4) \]
Q = 2⋅10⁸ Дж.

2 способ. Количество теплоты Q, которое выделилось при торможении, равно работе силы трения A_tr во время торможения (A_tr < 0), т.е.

Q = –A_tr,   (5)

где A_tr = –F_tr⋅Δr, F_tr = m⋅a — из проекции второго закона Ньютона (рис. 2). Перемещение Δr найдем так:
\[ \Delta r_{x} =\upsilon _{x} \cdot t-\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \]
где Δr_x = Δr, υ = 0, a_x = –a, t = τ (рис. 1). После подстановки в уравнение (5), мы получаем тот же ответ (4).

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: restam 04 April 2012, 20:52

Можете решить 468 задачу?

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 06 April 2012, 19:42

468. Определить изменение внутренней энергии газа, взятого в количестве ν = 0,5 моль, при нагревании его при постоянном давлении от температуры T₁ = 300 К до температуры T₂ = 320 К, если газу было сообщено количество теплоты Q = 290 Дж. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(Моль∙К).
Решение: для нахождения изменения внутренней энергии газа воспользуемся первым законом термодинамики:

Q = ΔU + A.

ΔU – искомое изменение, A – работа газа.  При изобарном процессе (p = const) работу идеального газа можно определить следующим образом:

A = p∙ΔV = p∙(V₂ – V₁).

Воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева:
\[ \begin{array}{l} {p\cdot V_{2} =\nu \cdot R\cdot T_{2} ,p\cdot V_{1} =\nu \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {A=\nu \cdot R\cdot T_{2} -\nu \cdot R\cdot T_{1} =\nu \cdot R\cdot (T_{2} -T_{1}).} \end{array} \]
Искомое изменение внутренней энергии:
\[ \Delta U=Q-A=Q-\nu \cdot R\cdot (T_{2} -T_{1}). \]
Ответ: 206,9 Дж = 2∙10² Дж

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:07

461. Рабочий забивает в доску железный гвоздь массой m = 50 г и ударяет при этом n = 5 раз молотком, масса которого M = 0,5 кг. Импульс молотка непосредственно перед ударом p = 6 кг∙м/c. На сколько градусов нагреется гвоздь, если вся выделившаяся при ударах теплота пошла на его нагревание? Удельная теплоёмкость железа c = 0,45 кДж/(кг∙К).
Решение: при ударе молоток обладает импульсом  p = M∙υ  и соответственно кинетической энергией:
\[ K=\frac{M\cdot \upsilon ^{2} }{2} =\frac{\left(M\cdot \upsilon \right)^{2} }{2\cdot M} =\frac{p^{2}}{2\cdot M}. \]
Воспользуемся законом сохранения и превращения энергии: кинетическая энергия молотка при ударе переходит в тепловую энергию, которая, согласно условия задачи, полностью уходит на нагрев гвоздя. Запишем закон и учтём, что удар был не один (ударов n – по условию).
\[ \begin{array}{l} {K_{n} =Q,} \\ {\frac{p^{2} }{2\cdot M} \cdot n=c\cdot m\cdot \Delta T,} \\ {\Delta T=\frac{p^{2} \cdot n}{2\cdot M\cdot m\cdot c}.} \end{array} \]
Ответ: 8 К

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:09

462. Лазер излучает световые импульсы с энергией W = 0,1 Дж. Частота повторения импульсов ν = 10 Гц. КПД лазера, определяемый отношением излучаемой энергии к потребляемой, η=0,01. Какой объём воды нужно прокачать за τ = 1 ч через охлаждающую систему лазера, чтобы вода нагрелась не более чем на Δt = 10 ºС?
Решение: на нагрев воды тратится энергия, которую лазер выделяет при работе в виде тепловой. Она равна разности между потребляемой и излучаемой энергиями. Энергию излучения определим из следующих соображений: лазер излучает ν импульсов в секунду, с энергией W каждый и работает τ секунд.
\[ W_{i} =W\cdot \nu \cdot \tau. \]
Потребляемую энергию определим через КПД:
\[ \eta =\frac{W_{i} }{W_{n} } ,W_{n} =\frac{W_{i} }{\eta}. \]
Тогда выделившаяся тепловая энергия при работе лазера (количество теплоты, уходящее на нагрев воды):
\[ Q=W_{n} -W_{i} =\frac{W_{i} }{\eta } -W_{i} =\left(\frac{1}{\eta } -1\right)\cdot W\cdot \nu \cdot \tau. \]
С другой стороны, количество теплоты определим зная удельную теплоём-кость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К), массу воды, которую определим через плотность воды ρ = 1000 кг/м³ и искомый объём V, и изменение температуры Δt:
\[ Q=c\cdot m\cdot \Delta t=c\cdot \rho \cdot V\cdot \Delta t. \]
Приравняв полученные выражения, найдём объём воды:
\[ V=\left(\frac{1}{\eta } -1\right)\cdot \frac{W\cdot \nu \cdot \tau }{c\cdot \rho \cdot \Delta t}. \]
Ответ: ≈ 8,5 л = 9 л.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:11

465. Определить КПД нагревателя, расходующего m₁ = 0,08 кг керосина на нагревание m₂ = 3,0 кг воды на ΔT = 90 К. Удельная теплота сгорания керосина q = 4,2∙10⁷ Дж/кг, удельная теплоёмкость воды c = 4,19∙10³ Дж/(кг∙К).
Решение: коэффициент полезного действия нагревателя равен отношению количества теплоты, ушедшего на нагрев воды к количеству теплоты, выделившемуся в результате сгорания керосина (т.к. по условию вода только нагревалась).
\[ \eta =\frac{Q_{2} }{Q_{1}}. \]
Количество теплоты, ушедшее на нагрев воды найдём, зная  удельную теплоёмкость воды c, массу воды m₂, и изменение температуры ΔT:
\[ Q_{2} =c\cdot m_{2} \cdot \Delta T. \]
Количество теплоты, выделяемое при сгорании топлива, легко найти, зная массу топлива m₁ и удельную теплоту сгорания q:
\[ Q_{1} =q\cdot m_{1}. \]
Искомый КПД:
\[ \eta =\frac{c\cdot m_{2} \cdot \Delta T}{q\cdot m_{1}}. \]
Ответ: 0,34 или 34%.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:13

466. Для расплавления m = 1000 кг стали используется электропечь мощностью P = 100 кВт. Сколько времени продолжается плавка, если слиток до начала плавления надо нагреть на ΔT = 1500 К?  Удельная теплоёмкость стали c = 500 Дж/(кг∙К), удельная теплота плавления стали  λ = 2,7∙10⁵ Дж/кг.
Решение: в условии нет речи о КПД электропечи, поэтому будем считать его равным 1, т.е. вся выделенная тепловая энергия передаётся стальному слитку. Выделившуюся энергию определим, зная мощность электропечи P, и время её работы t:

Q = P∙t.

Количество теплоты, переданное стали состоит из количества теплоты, ушедшего на нагревание слитка и количества теплоты необходимого для его плавления:
\[ Q=Q_{1} +Q_{2} =c\cdot m\cdot \Delta T+\lambda \cdot m=m\cdot \left(c\cdot \Delta T+\lambda \right). \]
Приравняв, найдём необходимое время работы электропечи:
\[ t=\frac{m\cdot \left(c\cdot \Delta T+\lambda \right)}{P}. \]
Ответ: 10200 с = 2,83 ч = 2 ч 50 мин.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:18

467. Вертикальный цилиндр с тяжёлым поршнем наполнен азотом, масса которого m₁ = 0,1 кг. После увеличения температуры азота на ΔT = 100 К поршень поднялся на высоту h = 0,1 м. Над поршнем всё время сохраняется нормальное атмосферное давление p₀ = 1∙10⁵ Па. Площадь поршня S = 0,02 м². Определить массу поршня. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К), молярная масса азота M  = 28∙10^-3 кг/моль.
Решение: масса азота под поршнем неизменна, поэтому воспользуемся уравнением Клапейрона, записав его для двух состояний:
\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{T_{2}}. \]
Давление азота под поршнем в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 будем считать неизменным – изобарный процесс (будем считать, что процесс нагревания происходит медленно). Конечный объём азота под поршнем:

V₂ = V₁ + ΔV =  V₁ + S∙h.

Конечная температура:

T₂ = T₁ +ΔT.

Тогда из уравнения Клапейрона получим:
\[ \begin{array}{l} {\frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{1} +S\cdot h}{T_{1} +\Delta T} ,} \\ {V_{1} \cdot \left(T_{1} +\Delta T\right)=T_{1} \cdot \left(V_{1} +S\cdot h\right),} \\ {\frac{V_{1} }{T_{1}} =\frac{S\cdot h}{\Delta T}.}\end{array} \]
Давление азота под поршнем складывается из давления над поршнем и давления, обусловленного весом поршня массой m:
\[ p_{1} =p_{2} =p_{0} +\frac{mg}{S}. \]
Теперь воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона-Менделеева), записав его для начального состояния.
\[ \begin{array}{l} {p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {p_{1} \cdot \frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{m_{1} }{M} \cdot R.} \end{array} \]
Учтём выражения, полученные ранее: для давления азота и  отношения объёма к температуре из уравнения Клапейрона, тогда:
\[ \left(p_{0} +\frac{mg}{S} \right)\cdot \frac{S\cdot h}{\Delta T} =\frac{m_{1}}{M}\cdot R. \]
Выразим массу поршня m:
\[ \begin{array}{l} {p_{0} +\frac{mg}{S} =\frac{m_{1} \cdot R\cdot \Delta T}{M\cdot S\cdot h} ,} \\ {m=\frac{1}{g} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot R\cdot \Delta T}{M\cdot h} -p_{0} \cdot S\right).}\end{array} \]
Ответ: 2,8∙10³ кг

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:21

469. Найти внутреннюю энергию одноатомного газа, занимающего объём V = 2 м³ при давлении p = 200 кПа.
Решение: внутренняя энергия идеального одноатомного газа, молярная масса которого M, масса m и температура T определяется по формуле:
\[ U=\frac{3}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]
Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева).
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]
Тогда внутренняя энергия газа:
\[ U=\frac{3}{2} \cdot p\cdot V. \]
Ответ: 6∙10⁵ Дж

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:23

474. Газ, взятый при температуре T = 100 К в количестве ν = 5 моль, сначала нагревают при постоянном объёме так, что термодинамическая температура газа возрастает в n = 3 раза, а затем сжимают при постоянном давлении, доводя температуру до первоначального значения. Какая работа совершена при сжатии? Универсальная газовая постоянная R  = 8,31 Дж/(моль∙К).
Решение: запишем уравнение состояния идеального газа, взятого в количестве  ν молей, для каждого из трёх состояний. Состояние первоначальное:
\[ p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T. \]
Состояние второе, после нагрева до температуры в n раз большей первоначальной, при постоянном объёме:
\[ p_{2} \cdot V_{2} =\nu \cdot R\cdot T_{2} =\nu \cdot R\cdot n\cdot T. \]
Состояние третье, после охлаждения при постоянном давлении до первоначальной температуры:
\[ p_{2} \cdot V_{3} =\nu \cdot R\cdot T_{3} =\nu \cdot R\cdot T. \]
Совершаемая работа по сжатию будет равна работе газа, взятой с противоположным знаком, которую при постоянном давлении легко определить:
\[ \begin{array}{l} {A'=-A=-p\cdot \Delta V=-p_{2} \cdot \left(V_{3} -V_{2} \right)=p_{2} \cdot V_{2} -p_{2} \cdot V_{3} } \\ {A'=\nu \cdot R\cdot n\cdot T-\nu \cdot R\cdot T=\nu \cdot R\cdot T\cdot \left(n-1\right).} \end{array} \]
Ответ: 8310 Дж = 8 кДж.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:27

475. Найти удельную теплоёмкость одноатомного идеального газа в изобарном c_p и изохорном c_v процессах. Молярная масса газа равна М, универсальная газовая постоянная равна R.
Решение: для определения удельных теплоёмкостей газа воспользуемся первым законом термодинамики.
\[ Q=\Delta U+A. \]
Здесь Q – количество теплоты, переданное газу, ΔU – изменение его внутренней энергии, A – работа газа против внешних сил.
Рассмотрим изохорный процесс. Объём газа не меняется, следовательно, газ не совершает работы (A = 0), т.к. газ совершает работу только в процессе изменения своего объёма. Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа зависит от температуры в начальном и конечном состояниях газа, и не зависит от характера процесса. Пусть масса газа равна m, температура газа изменилась на ΔT, газ одноатомный, тогда:
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T. \]
Количество теплоты, полученное газом в изохорном процессе, определим через удельную теплоёмкость, массу и изменение температуры:
\[ Q=c_{v} \cdot m\cdot \Delta T. \]
Тогда, согласно первого начала термодинамики, получим:
\[ \begin{array}{l} {c_{v} \cdot m\cdot \Delta T=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T+0,} \\ {c_{v} =\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{M} .} \end{array} \]
Рассмотрим изобарный процесс. Работу газа при изобарном процессе можно определить, зная его массу, молярную массу и изменение температуры (при выводе формулы, воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева):
\[ \begin{array}{l} {A=p\cdot \Delta V=p\cdot \left(V_{2} -V_{1} \right)=p\cdot V_{2} -p\cdot V_{1} =\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{2} -\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {A=\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Количество теплоты, полученное газом в изобарном процессе, снова определим через удельную теплоёмкость, массу и изменение температуры:
\[ Q=c_{p} \cdot m\cdot \Delta T. \]
Тогда первый закон термодинамики:
\[ \begin{array}{l} {c_{p} \cdot m\cdot \Delta T=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T+\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T,} \\ {c_{p} =\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{M} +\frac{R}{M} =\frac{5}{2} \cdot \frac{R}{M} .} \end{array} \]
Ответ: \( c_{p} =\frac{5}{2} \cdot \frac{R}{M} ,c_{v} =\frac{3}{2} \cdot \frac{R}{M} \)

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:28

476. При изотермическом расширении идеальный газ совершил работу A = 25 Дж. Какое количество теплоты сообщено газу?
Решение: запишем первый закон термодинамики:

Q =ΔU+A.

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа зависит от температуры в начальном и конечном состояниях газа его массы и молярной массы. По условию – процесс изотермический, т.е. температура газа неизменна, изменение температуры равно нулю (ΔT = 0) и следовательно, изменение внутренней энергии, также, равно нулю (ΔU = 0). Тогда:

Q = A.

Ответ: 25 Дж.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:32

477. При адиабатическом сжатии одноатомного идеального газа была совершена работа A = 900 Дж и температура газа увеличилась на ΔT = 24 К. Определить количество вещества этого газа. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К).
Решение: запишем первый закон термодинамики:

ΔU = Q +A.

Здесь A – работа, совершённая над газом внешними силами (дана в условии). Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа зависит от температуры в начальном и конечном состояниях газа его массы и молярной массы. Пусть масса газа равна m, температура газа изменилась на ΔT, газ одноатомный, тогда:
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T. \]
По условию – процесс адиабатический, это процесс без теплообмена т.е. количество теплоты равно нулю (Q = 0). Тогда из первого закона, имеем:
\[ \begin{array}{l} {\Delta U=A,} \\ {\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R\cdot \Delta T=A,} \\ {\nu =\frac{2\cdot A}{3\cdot R\cdot \Delta T} .} \end{array} \]
Ответ: 2 моль.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 14:35

480. Гелий массой m = 10 г нагрели на ΔT = 100 К при постоянном давлении. Определить количество теплоты, переданное газу, изменение внутренней энергии и работу газа при расширении. Молярная масса гелия M = 4∙10^-3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль∙К).
Решение: определим изменение внутренней энергии гелия. Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа (а гелий является одноатомным газом) зависит от изменения температуры, массы газа и его молярной массы.
\[ \Delta U=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T. \]
Работа газа при изобарном процессе можно определить, зная его массу, молярную массу и изменение температуры (при выводе формулы, воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева для двух состояний):
\[ \begin{array}{l} {A=p\cdot \Delta V=p\cdot \left(V_{2} -V_{1} \right)=p\cdot V_{2} -p\cdot V_{1} =\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{2} -\frac{m}{M} \cdot R\cdot T_{1} ,} \\ {A=\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Количество теплоты, переданное газу, определим из первого закона термодинамики:
\[ \begin{array}{l} {Q=\Delta U+A,} \\ {Q=\frac{3}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T+\frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T=\frac{5}{2} \frac{m}{M} \cdot R\cdot \Delta T.} \end{array} \]
Ответ: ΔU = 3 кДж, А = 2 кДж, Q = 5 кДж.

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 19:46

481. Газ, занимающий при давлении p = 1∙10⁵ Па объём V  = 0,1 м³, изобарно расширяется. При этом его термодинамическая температура увеличивается в n = 2 раза, а внутренняя энергия изменяется на ΔU = 26 кДж. Найти массу угля, который необходимо сжечь для этого, если на нагревание газа затрачивается η = 0,2 количества теплоты, выделяющегося при сгорании. Удельная теплота сгорания угля q = 30 МДж/кг.
Решение: изобарный процесс (p = p₁ = p₂ = const). По условию температура газа увеличилась в n раз, т.е. T[sub]2[/sub] = n∙T₁. Воспользуемся уравнением Клапейрона, записав его для двух состояний:
\[ \begin{array}{l} {\frac{p_{1} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{T_{2} } ,\frac{V_{1} }{T_{1} } =\frac{V_{2} }{n\cdot T_{1} } ,} \\ {V_{2} =n\cdot V_{1} =n\cdot V.} \end{array} \]
Для определения количества теплоты, необходимого для нагревания газа, воспользуемся первым законом термодинамики.
\[ Q=\Delta U+A. \]
Здесь Q – количество теплоты, переданное газу, ΔU – изменение его внутренней энергии, A – работа газа против внешних сил. Работу газа при изобарном процессе
\[ A=p\cdot \Delta V=p\cdot \left(V_{2} -V_{1} \right)=p\cdot \left(n\cdot V_{1} -V_{1} \right)=p\cdot V\cdot \left(n-1\right). \]
Тогда количество теплоты, полученное газом:
\[ Q=\Delta U+p\cdot V\cdot \left(n-1\right). \]
По условию на нагрев идет только η теплоты от сгорания угля, т.е.
\[ Q=\eta \cdot Q_{y} =\eta \cdot q\cdot m. \]
Здесь q – удельная теплота сгорания топлива, m  - искомая масса угля. Приравняем полученные выражения для количества теплоты и выразим массу:
\[ \begin{array}{l} {\Delta U+p\cdot V\cdot \left(n-1\right)=\eta \cdot q\cdot m,} \\ {m=\frac{\Delta U+p\cdot V\cdot \left(n-1\right)}{\eta \cdot q}.} \end{array} \]
Ответ: 6∙10^-3 кг

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 19:51

483. На рис. 144 изображён график процесса, проводимого с идеальным газом. Объём газа постоянен. Найти точки, в которых масса газа максимальна и минимальна.
Решение: Объём газа постоянен (V = const). Пусть масса газа неизменна, тогда это изохорный процесс. Из уравнения Клапейрона-Менделеева получим зависимость давления газа от температуры:
\[ \begin{array}{l} {pV=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,} \\ {p=\frac{m\cdot R}{M\cdot V} \cdot T.} \end{array} \]
Здесь R – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса, m – масса газа, T – температура, V – занимаемый объём, p – давление. Получили прямую пропорциональность (в математике, например, функция y=k∙x), с коэффициентом
\[ \begin{array}{l} {c=\frac{m\cdot R}{M\cdot V},} \\ {p=c\cdot T.} \end{array} \]
График этой функции – прямая, исходящая из начала координат. Анализируя величины, входящие в коэффициент пропорциональности, видим, что масса в числителе дроби. Поэтому, чем больше масса газа, тем больше коэффициент пропорциональности, который определяет тангенс угла наклона графика (изохоры) к оси температуры. Т.е. чем больше коэффициент, тем больше угол наклона изохоры к оси температур. Проведём изохоры с наибольшим и наименьшим углами наклона. Точки касания изохор  графика процесса и будут являться точками,  в которых масса газа минимальна и максимальна (см. рис.).

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 20:02

485. Чтобы принять ванну, необходимо нагреть V = 200 л воды от температуры t₁ = 7 ºC до температуры t₂ = 47 ºC. Если такое количество теплоты сообщить идеальной тепловой машине, работающей при температуре нагревателя t₂ и холодильника t₁, то с помощью этой машины можно поднять груз массой m = 4,2∙10⁴ кг на высоту H = 10 м. Определить по этим данным удельную теплоёмкость воды. Плотность воды ρ = 1∙10³ кг/м³. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².
Решение: с одной стороны, количество теплоты, необходимое для нагрева:
\[ Q=c\cdot m_{v} \cdot \Delta t=c\cdot \rho \cdot V\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right). \]
Здесь с – искомая удельная теплоёмкость воды, m_v = ρ∙V – масса воды, T₁ = 280 К, T₂ = 320 К – начальная и конечная температуры воды по Кельвину. 
С другой стороны, количество теплоты, определим из коэффициента полезного действия идеальной тепловой машины:
\[ \begin{array}{l} {\eta =\frac{T_{2} -T_{1} }{T_{2} } =\frac{A}{Q} ,} \\ {Q=A\cdot \frac{T_{2} }{T_{2} -T_{1}}.} \end{array} \]
Полезная работа A тепловой машины заключается в поднятии грузу массой m на высоту H. Тогда работа A равна изменению потенциальной энергии груза, имеем:
\[ \begin{array}{l} {A=m\cdot g\cdot H,} \\ {Q=m\cdot g\cdot H\cdot \frac{T_{2} }{T_{2} -T_{1}}.} \end{array} \]
Приравняв полученные выражения для количества теплоты, выразим удельную теплоёмкость воды:
\[ c=\frac{m\cdot g\cdot H\cdot T_{2} }{\rho \cdot V\cdot \left(T_{2} -T_{1} \right)^{2}}. \]
Ответ: 4200 Дж/(кг∙К).

: Re: Основы термодинамики из сборника задач Савченко Н.Е.
: Kivir 13 August 2012, 20:08

487. При расширении газа тепловая машина совершает работу, при этом объём газа увеличивается от V₁ = 1∙10^-3 м³ до V₂ = 2∙10^-3 м³, а давление линейно убывает от  p₁ = 6∙10⁵ Па до p₂ = 4∙10⁵ Па. Определить изменение внутренней энергии газа при его расширении и КПД тепловой машины, если известно, что количество теплоты, полученное за цикл тепловой машины от нагревателя, Q₁ = 1 кДж, а отданное холодильнику Q₂ = 0,8 кДж.
Решение: изобразим график процесса расширения газа (см. рис.). Изменение внутренней энергии определим из первого закона термодинамики:
\[ \begin{array}{l} {Q=\Delta U+A,} \\ {\Delta U=Q_{1}-A.}\end{array} \]
Т.к. газ расширяется, то именно в этом процессе он получает количество теплоты от нагревателя. Работу газа, в данном случае, удобнее всего определить графически: работа, совершённая газом численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатных осях (p,V) – зависимости давления газа от объёма (в нашем случае – площади трапеции):
\[ A=\frac{\left(p_{1} +p_{2} \right)}{2} \cdot \left(V_{2} -V_{1}\right). \]
Тогда изменение внутренней энергии:
\[ \Delta U=Q_{1} -\frac{\left(p_{1} +p_{2} \right)}{2} \cdot \left(V_{2} -V_{1} \right). \]
Коэффициент полезного действия тепловой машины, которая получает от нагревателя количество теплоты Q₁, а отдаёт холодильнику Q₂ равен
\[ \eta =\frac{Q_{1} -Q_{2} }{Q_{1} } \cdot 100\%. \]
Ответ: ΔU = 500 Дж, η = 20%.