Автор Тема: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.  (Прочитано 32545 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
412. На V-T-диаграмме изображен процесс, который произошел с газом при постоянном давлении и постоянном объеме (рис. 1). Как при этом изменилась масса газа?

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для двух состояний процесса:
\[ p\cdot V=\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p\cdot V=\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} \]

(давление и объем постоянны), T2 = 2T1 (из графика). Тогда
\[ \frac{p\cdot V}{p\cdot V} =\frac{m_{1} \cdot R\cdot T_{1} }{M} \cdot \frac{M}{m_{2} \cdot R\cdot T_{2} } ,\; \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{T_{1} }{T_{2} } =\frac{T_{1} }{2T_{1} } =\frac{1}{2}.  \]

Ответ. Масса уменьшилась в 2 раза.
« Последнее редактирование: 17 Август 2011, 15:13 от alsak »

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
413. В баллоне был некоторый газ. После того как из баллона выпустили часть газа, температура газа уменьшилась в n раз, а давление — в k раз. Какая часть газа выпущена?

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для двух состояний:
\[ p_{1} \cdot V=\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p_{2} \cdot V=\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} \]

(объем баллона не изменился), T1 = n⋅T2, p1 = k⋅p2 (из условия). Тогда
\[ \frac{p_{2} \cdot V}{p_{1} \cdot V} =\frac{m_{2} \cdot R\cdot T_{2}}{M} \cdot \frac{M}{m_{1} \cdot R\cdot T_{1}}, \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{p_{2} \cdot T_{1}}{p_{1} \cdot T_{2}} =\frac{p_{2} \cdot n\cdot T_{2}}{k\cdot p_{2} \cdot T_{2}} = \frac{n}{k}. \]

Часть газа, которая выпущена, равна
\[ \eta =\frac{\Delta m}{m_{1}} = \frac{m_{1} -m_{2}}{m_{1}} = 1-\frac{m_{2}}{m_{1}} = 1-\frac{n}{k}. \]


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
414. Из баллона вместимостью V1 = 0,20 м3, содержащего идеальный газ при температуре Т1 = 273 К под давлением p1 = 2,0⋅106 Па, выпустили часть газа, которая заняла при нормальных условиях объем V2 = 1,0 м3. После этого давление p2 в баллоне стало равным 1,4⋅106 Па. Определить температуру газа, оставшегося в баллоне.

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для трех состояний: 1) для массы m1 при давлении p1, 2) для массы m2 при давлении p2 и объеме V1, т.к. тот же баллон, 3) для части газа массой m3 (где m2 = m1m3) при нормальных условиях (Т3 = 273 К, p3 = 1,0⋅105 Па)
 
\[ p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p_{2} \cdot V_{1} =\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} ,\; \; \; p_{3} \cdot V_{2} =\frac{m_{3} }{M} \cdot R\cdot T_{3}. \]

Решим систему этих уравнений. Например,
 
\[ m_{3} =\frac{p_{3} \cdot V_{2} \cdot M}{R\cdot T_{3} } ,\; \; m_{1} \; =\frac{p_{1} \cdot V_{1} \cdot M}{R\cdot T_{1} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{p_{2} \cdot V_{1} }{R} \cdot \frac{M}{m_{2} } = \]
\[ =\frac{p_{2} \cdot V_{1} }{R} \cdot \frac{M}{m_{1} -m_{3} } =\frac{p_{2} \cdot V_{1} \cdot T_{1} \cdot T_{3} }{p_{1} \cdot V_{1} \cdot T_{3} -p_{3} \cdot V_{2} \cdot T_{1}}, \]

T2 = 255 К.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
415. Определить плотность идеального газа при температуре t = 100 °С и давлении p = 1⋅105 Па, а также массу одной молекулы этого газа, если его молярная масса Μ = 32⋅10–3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева
 
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]

Тогда плотность газа
 
\[ \rho =\frac{m}{V} =\frac{p\cdot M}{R\cdot T}, \]

ρ = 1 кг/м3.

Массу одной молекулы газа найдем так:

m0 = M/NA,
m0 = 5,3⋅10–26 кг.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
416. Определить плотность смеси, содержащей m1 = 4 г водорода и m2 = 32 г кислорода при температуре t = 7 °С и общем давлении p = 1⋅105 Па. Молярная масса водорода М1 = 2⋅10–3 кг/моль, кислорода M2= 32⋅10–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Плотность смеси газов равна

ρ = m/V = (m1 + m2)/V.

Объем V смеси газов найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева для каждого газа и закона Дальтона
 
\[ p_{1} \cdot V=\frac{m_{1}}{M_{1}} \cdot R\cdot T, \;\;\; p_{2} \cdot V=\frac{m_{2}}{M_{2}} \cdot R\cdot T, \;\;\; p=p_{1} +p_{2}. \]

Решим систему полученных уравнений. Например,
\[ p=\left(\frac{m_{1}}{M_{1}} +\frac{m_{2}}{M_{2}} \right)\cdot \frac{R\cdot T}{V}, \;\;\; V=\frac{m_{1} \cdot M_{2} +m_{2} \cdot M_{1}}{M_{1} \cdot M_{2}} \cdot \frac{R\cdot T}{p}, \]
\[ \rho =\frac{M_{1} \cdot M_{2} \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot p}{\left(m_{1} \cdot M_{2} +m_{2} \cdot M_{1} \right)\cdot R\cdot T}, \]

 
ρ = 0,5 кг/м3.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
417. До какого давления накачали футбольный мяч вместимостью V = 3 л, если при этом было сделано N = 40 качаний поршневого насоса? За каждое качание мяч захватывает из атмосферы V0 = 150 см3 воздуха. Вначале мяч был пустой. Атмосферное давление р0 = 1⋅105 Па.

Решение. Будем считать, что процесс изотермический, тогда

p1V1 = p2V2,

где состояние 1 — для воздуха, который должен захватить насос за N качаний, но который еще находится в атмосфере, т.е. p1 = p0, V1 = N⋅V0, состояние 2 — для этого же воздуха, но который находится уже в мяче (после N качаний), т.е. V2 = V. Тогда
 
\[ p_{0} \cdot N \cdot V_{0} =p_{2} \cdot V, \; \; \; p_{2} =\frac{p_{0} \cdot N \cdot V_{0}}{V}, \]

p2 = 2⋅105 Па.

Примечание. 1. Ошибка в условии: «За каждое качание мяч захватывает», надо «За каждое качание насос захватывает».
2. Необходимо в условии указать, что процесс изотермический (это не очевидный факт).
« Последнее редактирование: 21 Август 2011, 10:41 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
418. Давление р0 воздуха в сосуде было равно 1,01⋅105 Па. После трех ходов откачивающего поршневого насоса давление воздуха упало до значения p = 2 кПа. Определить отношение вместимости сосуда к вместимости цилиндра поршневого насоса. Температуру воздуха в процессе откачки считать постоянной.

Решение. Процесс откачки газа из сосуда объема V0 можно схематически описать так: к этому сосуду присоединяют пустой цилиндр насоса объема Vc. Газ расширяется (занимает объем V0 + Vс), давление уменьшается. Затем цилиндр отсоединяют, выпускают газ, и опять пустой цилиндр присоединяют к сосуду. И так несколько раз.
Рассмотрим эти процессы по очереди. Так как температура не изменяется, и в процессе расширения масса не меняется, то процесс считаем изотермическим.
Процесс 1: первое подключение к сосуду цилиндра насоса. Запишем уравнение изотермического процесса:

p0V0 = p1V1,

где V1 = V0 + Vс. Тогда

p0V0  = p1⋅(V0 + Vс). (1)

Процесс 2: второе подключение к сосуду цилиндра насоса.

p1V0  = p2⋅(V0 + Vс). (2)

Процесс 3: третье подключение к сосуду цилиндра насоса.

p2V0  = p3⋅(V0 + Vс), (3)

где p3 = p (по условию).
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ p_{2} =p\cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}}, \;\;\; p_{1} =p_{2} \cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} =p\cdot \left(\frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} \right)^{2}, \]
\[ p_{0} =p_{1} \cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} =p\cdot \left(\frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} \right)^{3} =p\cdot \left(1+\frac{V_{c}}{V_{0}} \right)^{3}, \]
\[ 1+\frac{V_{c}}{V_{0}} =\sqrt[{3}]{\frac{p_{0}}{p}}, \;\;\; \frac{V_{c}}{V_{0}} =\sqrt[{3}]{\frac{p_{0}}{p}} -1, \;\;\; \frac{V_{0}}{V_{c}} = \frac{1}{\sqrt[{3}]{p_{0}/p} -1}, \;\;\; \frac{V_{0}}{V_{c}} =0,4.  \]
« Последнее редактирование: 21 Август 2011, 10:13 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
419. Сосуд вместимостью V = 10 л наполнили газом при давлении p = 2⋅105 Па. Найти массу воды, которая войдет в сосуд, если под водой на глубине h = 40 м в самой нижней части его будет сделано отверстие. Атмосферное давление p0 = 1⋅105 Па. Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3. Изменением температуры воды с глубиной пренебречь.

Решение. Если в сосуде с газом, расположенном в воде, сделать внизу отверстие, то вода станет заполнять сосуд, а газ в сосуде начнет сжиматься (рис. 1). Происходить это будет до тех пор, пока давление около отверстия внутри сосуда p2 не станет равным давлению снаружи p3, т.е.

p2 = p3.

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда, l = V/S — высота сосуда, l2 — высота столбца жидкости в сосуде, l1 = ll2 — высота столбца газа в сосуде, V1 = l1S — объем, который будет занимать сжатый газ.
Давление p3 = p0 + ρ⋅g⋅h, давление p2 = p1 + ρ⋅g⋅l2. Тогда

p1 + ρ⋅g⋅l2 = p0 + ρ⋅g⋅h. (1)

Будем считать, что процесс изотермический (вода служит термостатом), тогда

p⋅V = p1V1
или
p⋅V = p1S⋅(l – l2) = p1⋅(VS⋅l2). (2)

Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными: p1, S, l2. Однозначного ответа задача не имеет.

Один из вариантов приближенного решения. Значение объема сосуда V = 10 л дает нам возможность предположить, что высота сосуда будет меньше 1 метра. Тогда высота l2 будет еще меньше, и, следовательно, гидростатическим давлением воды внутри сосуда можно пренебречь по сравнению с давлением снаружи.
Обозначим V2 = S⋅l2 — объем воды в сосуде. С учетом наших уточнений уравнения (1) и (2) примут вид:

p1 = p0 + ρ⋅g⋅h, (3)

p⋅V = p1⋅(V – V2). (4)

Решим систему уравнений (3)-(4). Например,

p⋅V = (p0 + ρ⋅g⋅h)⋅(V – V2),
 
\[ V_{2} =V-\frac{p\cdot V}{p_{0} +\rho \cdot g\cdot h} ,\; \; \; m=\rho \cdot V_{2} =\rho \cdot V\cdot \left(1-\frac{p}{p_{0} +\rho \cdot g\cdot h} \right), \]

m = 6 кг.

Оценим наше приближение. Давление снаружи соответствует 50 м столбцу жидкости (атмосферное давление + 40 м). Пренебречь столбцом жидкости в сосуде можно, если его высота будет меньше 2,5 м (разница в 20 раз). Если сделать несложные вычисления, то высота столбца жидкости будет 2 м в сосуде высотой 3,3 м (площадь основания 30 см2). Для объема 10 л достаточно редкий сосуд, но вполне реален.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
420. С какой максимальной силой прижимается к телу человека банка, применяемая в медицинской практике для лечения, если диаметр ее отверстия d = 4,0 см? В момент прикладывания банки к телу воздух в ней прогрет до температуры t1 = 80 °С, а температура окружающего воздуха t2 = 20 °С. Атмосферное давление p0 = 1,0⋅105 Па. Изменением объема воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь.

Решение. Если к телу прижать банку с горячим воздухом и подождать некоторое время, то банка прилипает к телу. Это происходит из-за того, что горячий воздух в банке начинает охлаждаться (до температуры окружающей среды), и давление внутри банки уменьшается. В итоге получается давление снаружи больше, чем внутри.
Сила прижима банки (сила давления) к телу будет равна:

F = Δp⋅S,

где Δp = p0p2, p2 — давление воздуха внутри банки, S = π⋅d2/4 — площадь поперечного сечения банки. Сила прижима будет максимальным, если воздух внутри банки охладиться до температуры окружающего воздуха t2 (p2 будет наименьшим). Тогда

F = (p0p2)⋅S. (1)

Так как объем воздуха внутри банки не изменяется (изменением объема воздуха в банке пренебречь), то это изохарический процесс и
 
\[ \frac{p_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} }{T_{2} }, \;\;\; (2) \]

где p1 = p0 — в момент прикладывания банки к телу воздух находился при атмосферном давлении. Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 
\[ p_{2} =\frac{p_{0} \cdot T_{2}}{T_{1}}, \;\;\; F=\left(p_{0} -\frac{p_{0} \cdot T_{2}}{T_{1}} \right)\cdot S=\left(1-\frac{T_{2}}{T_{1}} \right)\cdot p_{0} \cdot \frac{\pi \cdot d^{2}}{4}, \]

F = 21 Н.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
421. В блюдце налита вода, а сверху ставится перевернутый вверх дном нагретый стакан с тонкими стенками. До какой наименьшей температуры Т1 должен быть нагрет стакан вместе с находящимся в нем воздухом, чтобы после остывания до температуры Τ2 окружающего воздуха вся вода оказалась бы втянутой в стакан? Масса воды m, плотность воды ρ, атмосферное давление р0, площадь поперечного сечения стакана S, высота h. Объем налитой воды меньше вместимости стакана. Явлениями испарения, поверхностного натяжения и расширения стакана пренебречь. Блюдце считать широким, так что высота налитой в него воды мала.

Решение. При остывании воздуха в стакане, давление там начнет уменьшаться, а вода втягиваться в стакан. Температура T1 будет наименьшей, если процесс охлаждения прекратится сразу же после втягивания всей воды в стакан. Происходить это будет до тех пор, пока давление снаружи pc не станет равным давлению внутри стакана pv, т.е.

pc = pv. (1)

Давление снаружи pc = p0 — это атмосферное давление. Давление внутри стакана равно

pv = p2 + pb, (2)

где pb = m⋅g/S — давление воды в стакане, p2 — давление воздуха после остывания до температуры T2. Это давление (p2) найдем из уравнения Клапейрона для воздуха в стакане (рис. 1):
 
\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} =\frac{p_{2} \cdot V_{2}}{T_{2}}, \;\;\; (3) \]

где p1 = p0 (т.к. стакан при нагревании был открыт), V1 = S⋅h, V2 = V1V3, V3 = m/ρ— объем воды в стакане.
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 
\[ p_{2} =p_{v} -p_{b} =p_{0} -\frac{m\cdot g}{S}, \;\;\; T_{1} =\frac{p_{1} \cdot V_{1} \cdot T_{2}}{p_{2} \cdot V_{2}} = \frac{p_{0} \cdot S\cdot h \cdot T_{2}}{\left(p_{0} -m\cdot g/S\right)\cdot \left(S\cdot h-m/\rho \right)}.  \]


Примечание. Стакан должен быть цилиндрической формы.