Автор Тема: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.  (Прочитано 32544 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

  401 402 403 404 405 406 407 408 409
410 411 412 413 414 415 416 417 418 419
420 421 422 423 424 425 426 427 428 429
430 431 432 433 434 435 436      
« Последнее редактирование: 17 Март 2018, 19:07 от alsak »

Форум сайта alsak.ru


Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
401. Сколько молекул содержится в насыщенном водяном паре массой m = 1 кг и сколько в ненасыщенном водяном паре, имеющем такую же массу? Молярная масса воды Μ = 18⋅10-3 кг/моль. Постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Число молекул и масса вещества связаны соотношением
\[ N= \frac{m}{M} \cdot N_{A}, \]

N = 3⋅1025.
И как видно из формулы, число молекул не зависит от того в каком состоянии находится вещество (пар).
« Последнее редактирование: 07 Сентябрь 2011, 19:51 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
402. Водород массой m = 0,3 г находится в сосуде вместимостью V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул водорода. Молярная масса водорода Μ = 2⋅10–3 кг/моль, постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Воспользуемся формулой зависимости давления газа от скорости молекул (основное уравнение МКТ)
\[ p=\frac{1}{3} n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle,  \]

где ρ = n⋅m0 = m/V — плотность газа. Тогда
\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{m}{V} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle , \; \; \; \left\langle \upsilon \right\rangle =\sqrt{\frac{3p\cdot V}{m}}, \;\;\; (1)  \]

<υ> = 2⋅103 м/с.

Примечание. По условию не понятно какую энергию надо искать: энергию 1) всех молекул водорода или 2) одной молекулы. Автор рассматривает последний вариант, хотя в условии написано «среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул водорода».

1 вариант. Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа
\[ E = N \cdot \left\langle E_{k} \right\rangle =N\cdot \frac{m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle }{2}, \]

где m0 = m/N — масса молекулы газа. Тогда с учетом уравнения (1) получаем
\[ E = N \cdot \frac{m}{2N} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle =\frac{m}{2} \cdot \frac{3p\cdot V}{m} =\frac{3p\cdot V}{2}, \]

Е = 600 Дж.

2 вариант. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
\[ \left\langle E_{k} \right\rangle = \frac{m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle }{2}, \]

где m0 = M/NA — масса молекулы газа. Тогда с учетом уравнения (1) получаем
\[ \left\langle E_{k} \right\rangle =\frac{M}{2N_{A}} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle =\frac{M}{2N_{A}} \cdot \frac{3p\cdot V}{m}, \]

Е = 6,6⋅10–21 Дж.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
404. Под каким давлением находится в баллоне кислород, если вместимость баллона V = 5 л, а средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул кислорода Ε = 6 кДж?

Решение. Давление газа и средняя кинетическая энергия одной молекулы связаны соотношением
\[ p=\frac{2}{3} n\cdot \left\langle E_{k} \right\rangle, \]
где
\[ n=\frac{N}{V} ,\; \; \left\langle E_{k} \right\rangle =\frac{E}{N}, \]

N – число молекул газа. Тогда
\[ p=\frac{2N}{3V} \cdot \frac{E}{N} =\frac{2E}{3V}, \]

p = 8∙105 Па.

Примечание. Информация, что в баллоне кислород, в решении не используется.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
405. Определить массу водорода и число молекул, содержащихся в сосуде вместимостью V = 20 л при давлении p = 2,5⋅105 Па и температуре t = 27 °С. Молярная масса водорода M = 2⋅10–3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К). Постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Массу газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,\; \; \; m=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}, \;\;\; (1)  \]

m = 4⋅10–3 кг.

Число молекул и масса вещества связаны соотношением (учтем при этом уравнение (1))
\[ N=\frac{m}{M} \cdot N_{A} =\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T} \cdot \frac{N_{A} }{M} =\frac{p\cdot V\cdot N_{A} }{R\cdot T}, \]

N = 1,2⋅1024.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
406. Газ массой m = 2,0 кг занимает объем V = 9,03 м3 при давлении p = 100 кПа. Вычислить среднюю квадратичную скорость молекул этого газа.

Решение. Воспользуемся формулой зависимости давления газа от скорости молекул (основное уравнение МКТ)
 
\[ p=\frac{1}{3} n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle,  \]

где ρ = n⋅m0 = m/V — плотность газа. Тогда
 
\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{m}{V} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle , \; \; \; \left\langle \upsilon \right\rangle =\sqrt{\frac{3p\cdot V}{m}}, \]

<υ> = 1,2⋅103 м/с.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
408. Цилиндрический сосуд высотой l = 40 см разделен на две части невесомым тонким поршнем, скользящим без трения. Поршень находится на высоте h = 26,7 см над дном цилиндра. Под поршнем находится водород, а над поршнем — газ с неизвестной молярной массой. Масса этого газа равна массе водорода. Найти молярную массу газа. Молярная масса водорода Μ1 = 2⋅10–3 кг/моль. Температура газов одинаковая.

Решение. Так как поршень неподвижен и невесом, то давления газов снизу и сверху равные, т.е.

p1 = p2. (1)

Пусть S — площадь сечения цилиндрического сосуда, тогда объемы газов равны (рис. 1)

V1 = S⋅h,  V2 = S⋅(l – h) (2)

(т.к. поршень тонкий, то его толщиной пренебрегаем).
Распишем уравнения Клапейрона-Менделеева (с учетом (2)) для каждого газа
\[  p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m}{M_{1} } \cdot R\cdot T, \; \; \; p_{1} \cdot S\cdot h=\frac{m}{M_{1} } \cdot R\cdot T, \;\;\; (3) \]

\[ p_{2} \cdot S\cdot \left(l-h\right)=\frac{m}{M_{2} } \cdot R\cdot T \;\;\; (4) \]

(массы газов и температуры одинаковые). Решим систему уравнений (1), (3) и (4). Например,
\[ \frac{p_{1} \cdot S\cdot h}{p_{2} \cdot S\cdot \left(l-h\right)} =\frac{m}{M_{1}} \cdot R\cdot T\cdot \frac{M_{2}}{m\cdot R\cdot T}, \;\;\; \frac{h}{l-h} = \frac{M_{2}}{M_{1}}, \;\;\; M_{2} = \frac{M_{1} \cdot h}{l-h}, \]

Μ2 = 4⋅10–3 кг/моль

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
409. В воде на глубине h1 = 1 м находится шарообразный пузырек воздуха. На какой глубине этот пузырек имеет вдвое меньший радиус? Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3. Атмосферное давление p0 = 1⋅105 Па. Температура воды постоянна и не зависит от глубины. Давлением, обусловленным кривизной поверхности, пренебречь.

Решение. Так как процесс изотермический («температура воды постоянна»), то

p1V1 = p2V2,

где p1 = p0 + ρ⋅g⋅h1, p2 = p0 + ρ⋅g⋅h2, V1 = 4/3⋅π⋅R13, V2 = 4/3⋅π⋅R23, R1 = 2R2 («вдвое меньший радиус»). Тогда

(p0 + ρ⋅g⋅h1)⋅4/3⋅π⋅R13 = (p0 + ρ⋅g⋅h2)⋅4/3⋅π⋅R23,
\[ p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{2} =\left(p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{1} \right)\cdot \left(\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)^{3} =8\cdot \left(p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{1} \right),  \]
\[ \rho \cdot g\cdot h_{2} =7p_{0} +8\rho \cdot g\cdot h_{1}, \;\;\;h_{2} =\frac{7p_{0} }{\rho \cdot g} +8h_{1}, \]

h2 = 78 м.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
410. Тонкостенный резиновый шар массой m0 = 50 г наполнен азотом и погружен в озеро на глубину h = 100 м, где температура воды t = 4 °С, и находится в равновесии. Найти массу азота. Атмосферное давление p0 = 760 мм рт. ст., молярная масса азота Μ = 28⋅10–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На шар действуют сила тяжести ((m0 + m1)⋅g) (m1 — это масса  азота) и архимедова сила (FA) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось (шар в равновесии):

0Y: 0 = FA – (m0 + m1)⋅g,

где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V = (m0 + m1)⋅g. (1)


Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева

p⋅V = m1/M⋅R⋅T,

где p = p0 + ρ⋅g⋅h. Для перевода атмосферного давления в мм рт. ст. в Паскали можно так же воспользоваться формулой p0 = ρ2g⋅h2, где ρ2 = 13600 кг/м3 — плотность ртути, h2 = 760 мм = 0,76 м. Тогда
\[  \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g \cdot V=\frac{m_{1}}{M} \cdot R \cdot T. \;\;\; (2) \]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
\[ V=\frac{m_{0} +m_{1} }{\rho }, \; \; \; \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot \frac{m_{0} +m_{1} }{\rho } =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T,  \]
\[ \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot \frac{m_{0} }{\rho } = \left(\frac{R\cdot T}{M} -\frac{\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g}{\rho } \right) \cdot m_{1}, \]
\[ m_{1} =\frac{m_{0}}{\rho } \cdot \frac{\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M\cdot \rho}{R\cdot T\cdot \rho -\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M} =\frac{m_{0} \cdot \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M}{R\cdot T\cdot \rho -\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M} ,  \]

m1 = 6,8⋅10–4 кг.

Примечание. В условие надо добавить или плотность ртути, или что 1 мм рт. ст. = 133 Па.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
411. В кабине космического корабля «Восток-2» температура во время полета колебалась от t1 = 10 °С до t2 = 22 °С. На сколько процентов изменялось при этом давление?

Решение. Процесс происходит в несжимаемом (по умолчанию) корабле, масса воздуха не изменяется (корабль, по умолчанию, герметически закрыт), поэтому процесс можно считать изохорным:

p1/T1 = p2/T2.

Предположим, что давление изменилось на Δp.Так как t2 > t1, то p2 > p1 и

p2 = p1 + Δp.
Тогда
\[ \frac{p_{1}}{T_{1}} =\frac{p_{1} +\Delta p}{T_{2}}, \;\; \; \Delta p=\frac{p_{1} \cdot T_{2}}{T_{1}} -p_{1} = p_{1} \cdot \left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right).  \]

Изменение давления в процентах будет равно
\[ \eta =\frac{\Delta p}{p_{1}} \cdot 100\% =\left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right) \cdot 100\%, \]

η = 4,2 %.