Форум сайта alsak.ru

Задачи и вопросы по физике => Решение задач Н.Е. Савченко => Тема начата: alsak от 01 Мая 2011, 08:25

Название: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 01 Мая 2011, 08:25
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

  401 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20836.html#msg20836) 402 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20846.html#msg20846) 403 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39337.html#msg39337) 404 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20866.html#msg20866) 405 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20876.html#msg20876) 406 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20926.html#msg20926) 407 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39338.html#msg39338) 408 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20936.html#msg20936) 409 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20946.html#msg20946)
410 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20956.html#msg20956) 411 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20976.html#msg20976) 412 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20986.html#msg20986) 413 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg20996.html#msg20996) 414 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21016.html#msg21016) 415 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21026.html#msg21026) 416 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21056.html#msg21056) 417 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21066.html#msg21066) 418 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21096.html#msg21096) 419 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21106.html#msg21106)
420 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21126.html#msg21126) 421 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21276.html#msg21276) 422 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21296.html#msg21296) 423 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21366.html#msg21366) 424 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg21566.html#msg21566) 425 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23596.html#msg23596) 426 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23685.html#msg23685) 427 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23695.html#msg23695) 428 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23795.html#msg23795) 429 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23825.html#msg23825)
430 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23306.html#msg23306) 431 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg23316.html#msg23316) 432 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39339.html#msg39339) 433 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39340.html#msg39340) 434 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39341.html#msg39341) 435 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39342.html#msg39342) 436 (http://www.alsak.ru/smf/index.php/topic,4736.msg39343.html#msg39343)      
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 12 Августа 2011, 16:17
401. Сколько молекул содержится в насыщенном водяном паре массой m = 1 кг и сколько в ненасыщенном водяном паре, имеющем такую же массу? Молярная масса воды Μ = 18⋅10-3 кг/моль. Постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Число молекул и масса вещества связаны соотношением
\[ N= \frac{m}{M} \cdot N_{A}, \]

N = 3⋅1025.
И как видно из формулы, число молекул не зависит от того в каком состоянии находится вещество (пар).
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 12 Августа 2011, 16:29
402. Водород массой m = 0,3 г находится в сосуде вместимостью V = 2 л под давлением p = 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул водорода. Молярная масса водорода Μ = 2⋅10–3 кг/моль, постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Воспользуемся формулой зависимости давления газа от скорости молекул (основное уравнение МКТ)
\[ p=\frac{1}{3} n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle,  \]

где ρ = n⋅m0 = m/V — плотность газа. Тогда
\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{m}{V} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle , \; \; \; \left\langle \upsilon \right\rangle =\sqrt{\frac{3p\cdot V}{m}}, \;\;\; (1)  \]

<υ> = 2⋅103 м/с.

Примечание. По условию не понятно какую энергию надо искать: энергию 1) всех молекул водорода или 2) одной молекулы. Автор рассматривает последний вариант, хотя в условии написано «среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул водорода».

1 вариант. Средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа
\[ E = N \cdot \left\langle E_{k} \right\rangle =N\cdot \frac{m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle }{2}, \]

где m0 = m/N — масса молекулы газа. Тогда с учетом уравнения (1) получаем
\[ E = N \cdot \frac{m}{2N} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle =\frac{m}{2} \cdot \frac{3p\cdot V}{m} =\frac{3p\cdot V}{2}, \]

Е = 600 Дж.

2 вариант. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы
\[ \left\langle E_{k} \right\rangle = \frac{m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle }{2}, \]

где m0 = M/NA — масса молекулы газа. Тогда с учетом уравнения (1) получаем
\[ \left\langle E_{k} \right\rangle =\frac{M}{2N_{A}} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle =\frac{M}{2N_{A}} \cdot \frac{3p\cdot V}{m}, \]

Е = 6,6⋅10–21 Дж.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 13 Августа 2011, 11:29
404. Под каким давлением находится в баллоне кислород, если вместимость баллона V = 5 л, а средняя кинетическая энергия поступательного движения всех молекул кислорода Ε = 6 кДж?

Решение. Давление газа и средняя кинетическая энергия одной молекулы связаны соотношением
\[ p=\frac{2}{3} n\cdot \left\langle E_{k} \right\rangle, \]
где
\[ n=\frac{N}{V} ,\; \; \left\langle E_{k} \right\rangle =\frac{E}{N}, \]

N – число молекул газа. Тогда
\[ p=\frac{2N}{3V} \cdot \frac{E}{N} =\frac{2E}{3V}, \]

p = 8∙105 Па.

Примечание. Информация, что в баллоне кислород, в решении не используется.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 13 Августа 2011, 12:03
405. Определить массу водорода и число молекул, содержащихся в сосуде вместимостью V = 20 л при давлении p = 2,5⋅105 Па и температуре t = 27 °С. Молярная масса водорода M = 2⋅10–3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К). Постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Массу газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,\; \; \; m=\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T}, \;\;\; (1)  \]

m = 4⋅10–3 кг.

Число молекул и масса вещества связаны соотношением (учтем при этом уравнение (1))
\[ N=\frac{m}{M} \cdot N_{A} =\frac{p\cdot V\cdot M}{R\cdot T} \cdot \frac{N_{A} }{M} =\frac{p\cdot V\cdot N_{A} }{R\cdot T}, \]

N = 1,2⋅1024.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 14 Августа 2011, 16:29
406. Газ массой m = 2,0 кг занимает объем V = 9,03 м3 при давлении p = 100 кПа. Вычислить среднюю квадратичную скорость молекул этого газа.

Решение. Воспользуемся формулой зависимости давления газа от скорости молекул (основное уравнение МКТ)
 
\[ p=\frac{1}{3} n\cdot m_{0} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle,  \]

где ρ = n⋅m0 = m/V — плотность газа. Тогда
 
\[ p=\frac{1}{3} \cdot \frac{m}{V} \cdot \left\langle \upsilon ^{2} \right\rangle , \; \; \; \left\langle \upsilon \right\rangle =\sqrt{\frac{3p\cdot V}{m}}, \]

<υ> = 1,2⋅103 м/с.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 14 Августа 2011, 17:37
408. Цилиндрический сосуд высотой l = 40 см разделен на две части невесомым тонким поршнем, скользящим без трения. Поршень находится на высоте h = 26,7 см над дном цилиндра. Под поршнем находится водород, а над поршнем — газ с неизвестной молярной массой. Масса этого газа равна массе водорода. Найти молярную массу газа. Молярная масса водорода Μ1 = 2⋅10–3 кг/моль. Температура газов одинаковая.

Решение. Так как поршень неподвижен и невесом, то давления газов снизу и сверху равные, т.е.

p1 = p2. (1)

Пусть S — площадь сечения цилиндрического сосуда, тогда объемы газов равны (рис. 1)

V1 = S⋅h,  V2 = S⋅(l – h) (2)

(т.к. поршень тонкий, то его толщиной пренебрегаем).
Распишем уравнения Клапейрона-Менделеева (с учетом (2)) для каждого газа
\[  p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m}{M_{1} } \cdot R\cdot T, \; \; \; p_{1} \cdot S\cdot h=\frac{m}{M_{1} } \cdot R\cdot T, \;\;\; (3) \]

\[ p_{2} \cdot S\cdot \left(l-h\right)=\frac{m}{M_{2} } \cdot R\cdot T \;\;\; (4) \]

(массы газов и температуры одинаковые). Решим систему уравнений (1), (3) и (4). Например,
\[ \frac{p_{1} \cdot S\cdot h}{p_{2} \cdot S\cdot \left(l-h\right)} =\frac{m}{M_{1}} \cdot R\cdot T\cdot \frac{M_{2}}{m\cdot R\cdot T}, \;\;\; \frac{h}{l-h} = \frac{M_{2}}{M_{1}}, \;\;\; M_{2} = \frac{M_{1} \cdot h}{l-h}, \]

Μ2 = 4⋅10–3 кг/моль
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 15 Августа 2011, 13:05
409. В воде на глубине h1 = 1 м находится шарообразный пузырек воздуха. На какой глубине этот пузырек имеет вдвое меньший радиус? Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3. Атмосферное давление p0 = 1⋅105 Па. Температура воды постоянна и не зависит от глубины. Давлением, обусловленным кривизной поверхности, пренебречь.

Решение. Так как процесс изотермический («температура воды постоянна»), то

p1V1 = p2V2,

где p1 = p0 + ρ⋅g⋅h1, p2 = p0 + ρ⋅g⋅h2, V1 = 4/3⋅π⋅R13, V2 = 4/3⋅π⋅R23, R1 = 2R2 («вдвое меньший радиус»). Тогда

(p0 + ρ⋅g⋅h1)⋅4/3⋅π⋅R13 = (p0 + ρ⋅g⋅h2)⋅4/3⋅π⋅R23,
\[ p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{2} =\left(p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{1} \right)\cdot \left(\frac{R_{1} }{R_{2} } \right)^{3} =8\cdot \left(p_{0} +\rho \cdot g\cdot h_{1} \right),  \]
\[ \rho \cdot g\cdot h_{2} =7p_{0} +8\rho \cdot g\cdot h_{1}, \;\;\;h_{2} =\frac{7p_{0} }{\rho \cdot g} +8h_{1}, \]

h2 = 78 м.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 15 Августа 2011, 13:18
410. Тонкостенный резиновый шар массой m0 = 50 г наполнен азотом и погружен в озеро на глубину h = 100 м, где температура воды t = 4 °С, и находится в равновесии. Найти массу азота. Атмосферное давление p0 = 760 мм рт. ст., молярная масса азота Μ = 28⋅10–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3.

Решение. На шар действуют сила тяжести ((m0 + m1)⋅g) (m1 — это масса  азота) и архимедова сила (FA) (рис. 1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось (шар в равновесии):

0Y: 0 = FA – (m0 + m1)⋅g,

где FA = ρ⋅g⋅V. Тогда

ρ⋅g⋅V = (m0 + m1)⋅g. (1)


Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева

p⋅V = m1/M⋅R⋅T,

где p = p0 + ρ⋅g⋅h. Для перевода атмосферного давления в мм рт. ст. в Паскали можно так же воспользоваться формулой p0 = ρ2g⋅h2, где ρ2 = 13600 кг/м3 — плотность ртути, h2 = 760 мм = 0,76 м. Тогда
\[  \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g \cdot V=\frac{m_{1}}{M} \cdot R \cdot T. \;\;\; (2) \]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
\[ V=\frac{m_{0} +m_{1} }{\rho }, \; \; \; \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot \frac{m_{0} +m_{1} }{\rho } =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T,  \]
\[ \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot \frac{m_{0} }{\rho } = \left(\frac{R\cdot T}{M} -\frac{\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g}{\rho } \right) \cdot m_{1}, \]
\[ m_{1} =\frac{m_{0}}{\rho } \cdot \frac{\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M\cdot \rho}{R\cdot T\cdot \rho -\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M} =\frac{m_{0} \cdot \left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M}{R\cdot T\cdot \rho -\left(\rho \cdot h+\rho _{2} \cdot h_{2} \right)\cdot g\cdot M} ,  \]

m1 = 6,8⋅10–4 кг.

Примечание. В условие надо добавить или плотность ртути, или что 1 мм рт. ст. = 133 Па.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 16 Августа 2011, 12:59
411. В кабине космического корабля «Восток-2» температура во время полета колебалась от t1 = 10 °С до t2 = 22 °С. На сколько процентов изменялось при этом давление?

Решение. Процесс происходит в несжимаемом (по умолчанию) корабле, масса воздуха не изменяется (корабль, по умолчанию, герметически закрыт), поэтому процесс можно считать изохорным:

p1/T1 = p2/T2.

Предположим, что давление изменилось на Δp.Так как t2 > t1, то p2 > p1 и

p2 = p1 + Δp.
Тогда
\[ \frac{p_{1}}{T_{1}} =\frac{p_{1} +\Delta p}{T_{2}}, \;\; \; \Delta p=\frac{p_{1} \cdot T_{2}}{T_{1}} -p_{1} = p_{1} \cdot \left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right).  \]

Изменение давления в процентах будет равно
\[ \eta =\frac{\Delta p}{p_{1}} \cdot 100\% =\left(\frac{T_{2}}{T_{1}} -1\right) \cdot 100\%, \]

η = 4,2 %.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 17 Августа 2011, 15:07
412. На V-T-диаграмме изображен процесс, который произошел с газом при постоянном давлении и постоянном объеме (рис. 1). Как при этом изменилась масса газа?

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для двух состояний процесса:
\[ p\cdot V=\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p\cdot V=\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} \]

(давление и объем постоянны), T2 = 2T1 (из графика). Тогда
\[ \frac{p\cdot V}{p\cdot V} =\frac{m_{1} \cdot R\cdot T_{1} }{M} \cdot \frac{M}{m_{2} \cdot R\cdot T_{2} } ,\; \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{T_{1} }{T_{2} } =\frac{T_{1} }{2T_{1} } =\frac{1}{2}.  \]

Ответ. Масса уменьшилась в 2 раза.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 17 Августа 2011, 15:28
413. В баллоне был некоторый газ. После того как из баллона выпустили часть газа, температура газа уменьшилась в n раз, а давление — в k раз. Какая часть газа выпущена?

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для двух состояний:
\[ p_{1} \cdot V=\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p_{2} \cdot V=\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} \]

(объем баллона не изменился), T1 = n⋅T2, p1 = k⋅p2 (из условия). Тогда
\[ \frac{p_{2} \cdot V}{p_{1} \cdot V} =\frac{m_{2} \cdot R\cdot T_{2}}{M} \cdot \frac{M}{m_{1} \cdot R\cdot T_{1}}, \; \; \; \frac{m_{2} }{m_{1} } =\frac{p_{2} \cdot T_{1}}{p_{1} \cdot T_{2}} =\frac{p_{2} \cdot n\cdot T_{2}}{k\cdot p_{2} \cdot T_{2}} = \frac{n}{k}. \]

Часть газа, которая выпущена, равна
\[ \eta =\frac{\Delta m}{m_{1}} = \frac{m_{1} -m_{2}}{m_{1}} = 1-\frac{m_{2}}{m_{1}} = 1-\frac{n}{k}. \]

Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 18 Августа 2011, 12:46
414. Из баллона вместимостью V1 = 0,20 м3, содержащего идеальный газ при температуре Т1 = 273 К под давлением p1 = 2,0⋅106 Па, выпустили часть газа, которая заняла при нормальных условиях объем V2 = 1,0 м3. После этого давление p2 в баллоне стало равным 1,4⋅106 Па. Определить температуру газа, оставшегося в баллоне.

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева. Запишем это уравнение для трех состояний: 1) для массы m1 при давлении p1, 2) для массы m2 при давлении p2 и объеме V1, т.к. тот же баллон, 3) для части газа массой m3 (где m2 = m1m3) при нормальных условиях (Т3 = 273 К, p3 = 1,0⋅105 Па)
 
\[ p_{1} \cdot V_{1} =\frac{m_{1} }{M} \cdot R\cdot T_{1} ,\; \; \; p_{2} \cdot V_{1} =\frac{m_{2} }{M} \cdot R\cdot T_{2} ,\; \; \; p_{3} \cdot V_{2} =\frac{m_{3} }{M} \cdot R\cdot T_{3}. \]

Решим систему этих уравнений. Например,
 
\[ m_{3} =\frac{p_{3} \cdot V_{2} \cdot M}{R\cdot T_{3} } ,\; \; m_{1} \; =\frac{p_{1} \cdot V_{1} \cdot M}{R\cdot T_{1} } ,\; \; \; T_{2} =\frac{p_{2} \cdot V_{1} }{R} \cdot \frac{M}{m_{2} } = \]
\[ =\frac{p_{2} \cdot V_{1} }{R} \cdot \frac{M}{m_{1} -m_{3} } =\frac{p_{2} \cdot V_{1} \cdot T_{1} \cdot T_{3} }{p_{1} \cdot V_{1} \cdot T_{3} -p_{3} \cdot V_{2} \cdot T_{1}}, \]

T2 = 255 К.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 18 Августа 2011, 12:49
415. Определить плотность идеального газа при температуре t = 100 °С и давлении p = 1⋅105 Па, а также массу одной молекулы этого газа, если его молярная масса Μ = 32⋅10–3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), постоянная Авогадро ΝA = 6,02⋅1023 моль–1.

Решение. Масса газа и его макропараметры связаны уравнением Клапейрона-Менделеева
 
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T. \]

Тогда плотность газа
 
\[ \rho =\frac{m}{V} =\frac{p\cdot M}{R\cdot T}, \]

ρ = 1 кг/м3.

Массу одной молекулы газа найдем так:

m0 = M/NA,
m0 = 5,3⋅10–26 кг.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 19 Августа 2011, 12:20
416. Определить плотность смеси, содержащей m1 = 4 г водорода и m2 = 32 г кислорода при температуре t = 7 °С и общем давлении p = 1⋅105 Па. Молярная масса водорода М1 = 2⋅10–3 кг/моль, кислорода M2= 32⋅10–3 кг/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Решение. Плотность смеси газов равна

ρ = m/V = (m1 + m2)/V.

Объем V смеси газов найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева для каждого газа и закона Дальтона
 
\[ p_{1} \cdot V=\frac{m_{1}}{M_{1}} \cdot R\cdot T, \;\;\; p_{2} \cdot V=\frac{m_{2}}{M_{2}} \cdot R\cdot T, \;\;\; p=p_{1} +p_{2}. \]

Решим систему полученных уравнений. Например,
\[ p=\left(\frac{m_{1}}{M_{1}} +\frac{m_{2}}{M_{2}} \right)\cdot \frac{R\cdot T}{V}, \;\;\; V=\frac{m_{1} \cdot M_{2} +m_{2} \cdot M_{1}}{M_{1} \cdot M_{2}} \cdot \frac{R\cdot T}{p}, \]
\[ \rho =\frac{M_{1} \cdot M_{2} \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)\cdot p}{\left(m_{1} \cdot M_{2} +m_{2} \cdot M_{1} \right)\cdot R\cdot T}, \]

 
ρ = 0,5 кг/м3.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 19 Августа 2011, 12:51
417. До какого давления накачали футбольный мяч вместимостью V = 3 л, если при этом было сделано N = 40 качаний поршневого насоса? За каждое качание мяч захватывает из атмосферы V0 = 150 см3 воздуха. Вначале мяч был пустой. Атмосферное давление р0 = 1⋅105 Па.

Решение. Будем считать, что процесс изотермический, тогда

p1V1 = p2V2,

где состояние 1 — для воздуха, который должен захватить насос за N качаний, но который еще находится в атмосфере, т.е. p1 = p0, V1 = N⋅V0, состояние 2 — для этого же воздуха, но который находится уже в мяче (после N качаний), т.е. V2 = V. Тогда
 
\[ p_{0} \cdot N \cdot V_{0} =p_{2} \cdot V, \; \; \; p_{2} =\frac{p_{0} \cdot N \cdot V_{0}}{V}, \]

p2 = 2⋅105 Па.

Примечание. 1. Ошибка в условии: «За каждое качание мяч захватывает», надо «За каждое качание насос захватывает».
2. Необходимо в условии указать, что процесс изотермический (это не очевидный факт).
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 20 Августа 2011, 18:22
418. Давление р0 воздуха в сосуде было равно 1,01⋅105 Па. После трех ходов откачивающего поршневого насоса давление воздуха упало до значения p = 2 кПа. Определить отношение вместимости сосуда к вместимости цилиндра поршневого насоса. Температуру воздуха в процессе откачки считать постоянной.

Решение. Процесс откачки газа из сосуда объема V0 можно схематически описать так: к этому сосуду присоединяют пустой цилиндр насоса объема Vc. Газ расширяется (занимает объем V0 + Vс), давление уменьшается. Затем цилиндр отсоединяют, выпускают газ, и опять пустой цилиндр присоединяют к сосуду. И так несколько раз.
Рассмотрим эти процессы по очереди. Так как температура не изменяется, и в процессе расширения масса не меняется, то процесс считаем изотермическим.
Процесс 1: первое подключение к сосуду цилиндра насоса. Запишем уравнение изотермического процесса:

p0V0 = p1V1,

где V1 = V0 + Vс. Тогда

p0V0  = p1⋅(V0 + Vс). (1)

Процесс 2: второе подключение к сосуду цилиндра насоса.

p1V0  = p2⋅(V0 + Vс). (2)

Процесс 3: третье подключение к сосуду цилиндра насоса.

p2V0  = p3⋅(V0 + Vс), (3)

где p3 = p (по условию).
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ p_{2} =p\cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}}, \;\;\; p_{1} =p_{2} \cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} =p\cdot \left(\frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} \right)^{2}, \]
\[ p_{0} =p_{1} \cdot \frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} =p\cdot \left(\frac{V_{0} +V_{c}}{V_{0}} \right)^{3} =p\cdot \left(1+\frac{V_{c}}{V_{0}} \right)^{3}, \]
\[ 1+\frac{V_{c}}{V_{0}} =\sqrt[{3}]{\frac{p_{0}}{p}}, \;\;\; \frac{V_{c}}{V_{0}} =\sqrt[{3}]{\frac{p_{0}}{p}} -1, \;\;\; \frac{V_{0}}{V_{c}} = \frac{1}{\sqrt[{3}]{p_{0}/p} -1}, \;\;\; \frac{V_{0}}{V_{c}} =0,4.  \]
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 21 Августа 2011, 11:44
419. Сосуд вместимостью V = 10 л наполнили газом при давлении p = 2⋅105 Па. Найти массу воды, которая войдет в сосуд, если под водой на глубине h = 40 м в самой нижней части его будет сделано отверстие. Атмосферное давление p0 = 1⋅105 Па. Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3. Изменением температуры воды с глубиной пренебречь.

Решение. Если в сосуде с газом, расположенном в воде, сделать внизу отверстие, то вода станет заполнять сосуд, а газ в сосуде начнет сжиматься (рис. 1). Происходить это будет до тех пор, пока давление около отверстия внутри сосуда p2 не станет равным давлению снаружи p3, т.е.

p2 = p3.

Пусть S — площадь поперечного сечения сосуда, l = V/S — высота сосуда, l2 — высота столбца жидкости в сосуде, l1 = ll2 — высота столбца газа в сосуде, V1 = l1S — объем, который будет занимать сжатый газ.
Давление p3 = p0 + ρ⋅g⋅h, давление p2 = p1 + ρ⋅g⋅l2. Тогда

p1 + ρ⋅g⋅l2 = p0 + ρ⋅g⋅h. (1)

Будем считать, что процесс изотермический (вода служит термостатом), тогда

p⋅V = p1V1
или
p⋅V = p1S⋅(l – l2) = p1⋅(VS⋅l2). (2)

Получили систему двух уравнений с тремя неизвестными: p1, S, l2. Однозначного ответа задача не имеет.

Один из вариантов приближенного решения. Значение объема сосуда V = 10 л дает нам возможность предположить, что высота сосуда будет меньше 1 метра. Тогда высота l2 будет еще меньше, и, следовательно, гидростатическим давлением воды внутри сосуда можно пренебречь по сравнению с давлением снаружи.
Обозначим V2 = S⋅l2 — объем воды в сосуде. С учетом наших уточнений уравнения (1) и (2) примут вид:

p1 = p0 + ρ⋅g⋅h, (3)

p⋅V = p1⋅(V – V2). (4)

Решим систему уравнений (3)-(4). Например,

p⋅V = (p0 + ρ⋅g⋅h)⋅(V – V2),
 
\[ V_{2} =V-\frac{p\cdot V}{p_{0} +\rho \cdot g\cdot h} ,\; \; \; m=\rho \cdot V_{2} =\rho \cdot V\cdot \left(1-\frac{p}{p_{0} +\rho \cdot g\cdot h} \right), \]

m = 6 кг.

Оценим наше приближение. Давление снаружи соответствует 50 м столбцу жидкости (атмосферное давление + 40 м). Пренебречь столбцом жидкости в сосуде можно, если его высота будет меньше 2,5 м (разница в 20 раз). Если сделать несложные вычисления, то высота столбца жидкости будет 2 м в сосуде высотой 3,3 м (площадь основания 30 см2). Для объема 10 л достаточно редкий сосуд, но вполне реален.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 22 Августа 2011, 10:58
420. С какой максимальной силой прижимается к телу человека банка, применяемая в медицинской практике для лечения, если диаметр ее отверстия d = 4,0 см? В момент прикладывания банки к телу воздух в ней прогрет до температуры t1 = 80 °С, а температура окружающего воздуха t2 = 20 °С. Атмосферное давление p0 = 1,0⋅105 Па. Изменением объема воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь.

Решение. Если к телу прижать банку с горячим воздухом и подождать некоторое время, то банка прилипает к телу. Это происходит из-за того, что горячий воздух в банке начинает охлаждаться (до температуры окружающей среды), и давление внутри банки уменьшается. В итоге получается давление снаружи больше, чем внутри.
Сила прижима банки (сила давления) к телу будет равна:

F = Δp⋅S,

где Δp = p0p2, p2 — давление воздуха внутри банки, S = π⋅d2/4 — площадь поперечного сечения банки. Сила прижима будет максимальным, если воздух внутри банки охладиться до температуры окружающего воздуха t2 (p2 будет наименьшим). Тогда

F = (p0p2)⋅S. (1)

Так как объем воздуха внутри банки не изменяется (изменением объема воздуха в банке пренебречь), то это изохарический процесс и
 
\[ \frac{p_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} }{T_{2} }, \;\;\; (2) \]

где p1 = p0 — в момент прикладывания банки к телу воздух находился при атмосферном давлении. Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 
\[ p_{2} =\frac{p_{0} \cdot T_{2}}{T_{1}}, \;\;\; F=\left(p_{0} -\frac{p_{0} \cdot T_{2}}{T_{1}} \right)\cdot S=\left(1-\frac{T_{2}}{T_{1}} \right)\cdot p_{0} \cdot \frac{\pi \cdot d^{2}}{4}, \]

F = 21 Н.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 24 Августа 2011, 18:24
421. В блюдце налита вода, а сверху ставится перевернутый вверх дном нагретый стакан с тонкими стенками. До какой наименьшей температуры Т1 должен быть нагрет стакан вместе с находящимся в нем воздухом, чтобы после остывания до температуры Τ2 окружающего воздуха вся вода оказалась бы втянутой в стакан? Масса воды m, плотность воды ρ, атмосферное давление р0, площадь поперечного сечения стакана S, высота h. Объем налитой воды меньше вместимости стакана. Явлениями испарения, поверхностного натяжения и расширения стакана пренебречь. Блюдце считать широким, так что высота налитой в него воды мала.

Решение. При остывании воздуха в стакане, давление там начнет уменьшаться, а вода втягиваться в стакан. Температура T1 будет наименьшей, если процесс охлаждения прекратится сразу же после втягивания всей воды в стакан. Происходить это будет до тех пор, пока давление снаружи pc не станет равным давлению внутри стакана pv, т.е.

pc = pv. (1)

Давление снаружи pc = p0 — это атмосферное давление. Давление внутри стакана равно

pv = p2 + pb, (2)

где pb = m⋅g/S — давление воды в стакане, p2 — давление воздуха после остывания до температуры T2. Это давление (p2) найдем из уравнения Клапейрона для воздуха в стакане (рис. 1):
 
\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}} =\frac{p_{2} \cdot V_{2}}{T_{2}}, \;\;\; (3) \]

где p1 = p0 (т.к. стакан при нагревании был открыт), V1 = S⋅h, V2 = V1V3, V3 = m/ρ— объем воды в стакане.
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 
\[ p_{2} =p_{v} -p_{b} =p_{0} -\frac{m\cdot g}{S}, \;\;\; T_{1} =\frac{p_{1} \cdot V_{1} \cdot T_{2}}{p_{2} \cdot V_{2}} = \frac{p_{0} \cdot S\cdot h \cdot T_{2}}{\left(p_{0} -m\cdot g/S\right)\cdot \left(S\cdot h-m/\rho \right)}.  \]


Примечание. Стакан должен быть цилиндрической формы.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 25 Августа 2011, 11:38
422. Два сосуда, содержащих один и тот же газ при одинаковой температуре, соединены трубкой с краном. Вместимости сосудов V1 и V2, а давления в них р1 и p2. Каким будет давление газа после того, как откроют кран соединительной трубки? Температуру газа считать постоянной.

Решение. После того как откроют кран, каждый из газов станет занимать объем V = V1 + V2, а давления их уменьшаться и станут равными p3 и p4. Общее давление двух газов будет равно

p = p3 + p4. (1)

Так как «температуру газа считать постоянной», то для каждого газа считаем процесс изотермическим:

p1V1 = p3⋅(V1 + V2), (2)

p2V2 = p4⋅(V1 + V2). (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 
\[ p_{3} =\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{V_{1} +V_{2}}, \;\;\; p_{4} =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}, \;\;\; p=\frac{p_{1} \cdot V_{1} +p_{2} \cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}. \]
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 26 Августа 2011, 11:46
423. В расположенные вертикально сообщающиеся цилиндрические сосуды, первый из которых имеет площадь поперечного сечения S1, а второй S2, налили жидкость. Затем первый сосуд закрыли и находящийся в нем воздух нагрели от температуры T1 до температуры Т2, в результате чего уровень жидкости во втором сосуде поднялся на величину h. Определить температуру Τ2, если известно, что начальный объем воздуха в закрытом сосуде V1, атмосферное давление p0, плотность жидкости ρ. Тепловым расширением сосуда и жидкости пренебречь.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = p2, pВ = ρ⋅g⋅h2 + p0. Тогда

p2 = ρ⋅g⋅h2 + p0. (1)

Из рисунка 1 видно, что

h2 = Δh1 + h,

где Δh1 — высота, на которую опустится жидкость в закрытом сосуде.
Из условия не сжимаемости жидкости

ΔV1 = ΔV2S1⋅Δh1 = S2h.
Тогда
 
\[  \Delta h_{1} =\frac{S_{2}}{S_{1} } \cdot h, \; \; \; h_{2} =\frac{S_{2}}{S_{1}} \cdot h+h =\left(\frac{S_{2} }{S_{1} } +1\right)\cdot h. \;\;\; (2) \]


Давление p2 найдем из уравнения Клапейрона для воздуха в закрытом сосуде:
 
\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} \cdot V_{2} }{T_{2} }, \;\;\; (3)  \]

где p1 = p0, V2 = V1 + S1⋅Δh1 = V1 + S⋅h.
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 
\[  p_{2} =\rho \cdot g\cdot \left(\frac{S_{2}}{S_{1} } +1\right)\cdot h+p_{0}, \; \; \; T_{2} =p_{2} \cdot V_{2} \cdot \frac{T_{1}}{p_{1} \cdot V_{1}} =  \]
\[ =\left(\rho \cdot g\cdot \left(\frac{S_{2}}{S_{1}} +1\right)\cdot h+p_{0} \right)\cdot \left(V_{1} +S_{2} \cdot h\right)\cdot \frac{T_{1} }{p_{0} \cdot V_{1}}. \]
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 07 Сентября 2011, 19:49
424. Воздух находится в открытом сверху вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем массой m = 20 кг с площадью поперечного сечения S = 20 см2. После того как сосуд стали двигать вертикально вверх с ускорением a = 5,0 м/с2, высота столба воздуха между поршнем и дном сосуда уменьшилась и стала составлять α = 0,80 начальной высоты. Считая температуру постоянной, найти по этим данным атмосферное давление. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь.

Решение. В задаче описано два состояния воздуха под поршнем: 1) сосуд неподвижен; 2) сосуд движется вверх с ускорением.
На поршень в двух случаях действуют сила тяжести (m⋅g), сила атмосферного давления (F0) и сила давления воздуха под поршнем (F), где F0 = p0S, F = p⋅S, p0 — атмосферное давление, p — давление воздуха под поршнем. Запишем проекцию второго закона Ньютона для двух состояний:
1 состояние (рис. 1)
0Y: F1F0m⋅g = 0
или
p1Sp0Sm⋅g = 0, (1)

2 состояние (рис. 2)
0Y: F2F0m⋅g = m⋅a
или
p2Sp0S – m⋅g = m⋅a. (2)


Так как температура постоянна, то для воздуха под поршнем процесс изотермический. Поэтому

p1V1 = p2V2,

где V1 = S⋅l1, V2 = S⋅l2, l2 = α⋅l1 (по условию). Тогда

p1S⋅l1 = p2S⋅α⋅l1 или p1 = α⋅p2. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

p2S = m⋅a + p0S + m⋅g,

α⋅p2S – p0S – m⋅g = 0,    α⋅(m⋅a + p0S + m⋅g) – p0S – m⋅g = 0,

p0S⋅(1 – α) = α⋅m⋅a – m⋅g⋅(1 – α),

\[ p_{0} =\frac{\alpha \cdot m\cdot a}{S\cdot \left(1-\alpha \right)} -\frac{m\cdot g}{S} =\left(\frac{\alpha \cdot a}{1-\alpha } -g\right)\cdot \frac{m}{S}, \]

p0 = 1,0⋅105 Па.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Октября 2011, 08:29
430. Определить давление насыщенного водяного пара при температуре t = 17 °С, если в комнате вместимостью V = 50 м3 при относительной влажности φ = 65 % и указанной температуре находится m = 0,476 кг паров воды. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), молярная масса воды Μ = 18⋅10–3 кг/моль.

Решение. Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, найдем давление пара
\[ p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T, \; \; \; p=\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot V}. \]
Тогда давление насыщенного пара pn найдем так (φ = 0,65):
\[ \varphi =\frac{p}{p_{n} }, \; \; \; p_{n} =\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot V\cdot \varphi }, \]
pn = 1,96⋅103 Па.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 05 Октября 2011, 08:36
431. Смешали V1 = 1,0 м3 воздуха с относительной влажностью φ1 = 20 % и V2 = 2,0 м3 воздуха с влажностью φ2 = 30 %. Обе порции были взяты при одинаковых температурах. Определить относительную влажность получившейся смеси.

Решение. При смешивании разных порций воздуха при одинаковой температуре, получим воздух при той же температуре. Следовательно, давление pn и плотность ρn насыщенного пара воздуха не изменится.
Запишем уравнения для влажности для трех порций воздуха через плотности (φ1 = 0,20, φ2 = 0,30)
\[ \varphi _{1} =\frac{\rho _{1} }{\rho _{n}}, \; \; \; \varphi _{2} =\frac{\rho _{2} }{\rho _{n} }, \; \; \; \varphi _{3} =\frac{\rho _{3} }{\rho _{n} }, \]
где плотности пара равны соответственно:
\[ \rho _{1} =\frac{m_{1} }{V_{1} }, \; \; \; \rho _{2} =\frac{m_{2} }{V_{2} }, \; \; \; \rho _{3} =\frac{m_{1} +m_{2} }{V_{1} +V_{2}}. \]
Тогда
\[ \rho _{1} =\varphi _{1} \cdot \rho _{n}, \; \; \; m_{1} =\rho _{1} \cdot V_{1} =\varphi _{1} \cdot \rho _{n} \cdot V_{1}, \; \; \; m_{2} =\rho _{2} \cdot V_{2} =\varphi _{2} \cdot \rho _{n} \cdot V_{2}, \]
\[ \rho _{3} =\frac{\left(\varphi _{1} \cdot V_{1} +\varphi _{2} \cdot V_{2} \right)\cdot \rho _{n}}{V_{1} +V_{2}}, \; \; \; \varphi _{3} =\frac{\varphi _{1} \cdot V_{1} +\varphi _{2} \cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}, \]
φ3 = 0,27 = 27 %.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 09 Октября 2011, 18:27
425. По газопроводу течет газ при давлении p = 0,83 МПа и температуре Τ = 300 К. Какова скорость газа в трубе, если за время τ = 2,5 мин через поперечное сечение трубы площадью S = 5,0 см2 протекает m = 20 кг газа? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), молярная масса газа Μ = 40⋅10–3 кг/моль.

Решение. Пусть υ — это скорость газа в трубе, тогда объем газа за время τ будет равен:

V = S⋅υ⋅τ.

Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, найдем объем газа V:
\[ p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T, \;\;\; V=\frac{m}{M\cdot p} \cdot R\cdot T. \]
Тогда
\[ \frac{m}{M\cdot p} \cdot R\cdot T=S\cdot \upsilon \cdot \tau , \; \; \; \upsilon =\frac{m\cdot R\cdot T}{M\cdot p\cdot S\cdot \tau }, \]
υ = 20 м/с.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 12 Октября 2011, 07:38
426. Относительная влажность воздуха в помещении φ = 63%, температура t1 = 18 °С. До какой температуры надо охладить блестящий предмет, чтобы на его поверхности можно было наблюдать осаждение водяных паров? Давление насыщенного водяного пара при 18 °С равно 20,7⋅102 Па, при 10 °С — 12,3⋅102 Па, при 11 °С — 13,1⋅102 Па.

Решение. На блестящей поверхности предмета можно будет наблюдать осаждение водяных паров, если пар у поверхности станет насыщенным.
Найдем давление водяных паров при температуре 18 °С при помощи следующей формулы:
\[ \varphi =\frac{p}{p_{n}}, \]
где φ = 0,63, pn = 20,7⋅102 Па — давление насыщенного пара при температуре 18 °C. Тогда

p = pn⋅φ,

p = 1,30⋅103 Па. С таким давлением пар становится насыщенным при температуре меньше 11 °С.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 12 Октября 2011, 07:45
427. Воздух в помещении имеет температуру t1 = 24 °С и относительную влажность φ1 = 50 %. Определить влажность воздуха после его охлаждения до t2 = 20 °С. Процесс охлаждения считать изохорным. Давление насыщенного водяного пара при 24 и 20 °С — соответственно p01 = 2943 Па и p02 = 2330 Па.

Решение. В задаче описано два состояния газа. Запишем уравнения для расчета относительной влажности для воздуха при температуре t1 = 24 °С и t2 = 20 °С:
\[ \varphi _{1} =\frac{p_{1}}{p_{01}}, \;\;\; (1) \;\;\; \varphi _{2} = \frac{p_{2}}{p_{02}}, \;\;\; (2) \]
где φ1 = 0,50. По условию процесс охлаждения изохорный, т.е.
\[ \frac{p_{1} }{T_{1} } =\frac{p_{2} }{T_{2} }. \;\;\; (3) \]

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[ \frac{p_{1}}{p_{2}} =\frac{T_{1}}{T_{2}}, \;\;\; \frac{\varphi _{1}}{\varphi _{2}} =\frac{p_{1}}{p_{2}} \cdot \frac{p_{02}}{p_{01}} =\frac{T_{1}}{T_{2}} \cdot \frac{p_{02}}{p_{01}}, \;\;\; \varphi _{2} =\varphi _{1} \cdot \frac{p_{01} \cdot T_{2}}{p_{02} \cdot T_{1}}, \]
φ2 = 0,62 = 62 %.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 14 Октября 2011, 19:00
428. Над поверхностью площадью S = 5,0 км2 слой воздуха толщиной h = 1000 м имеет температуру t1 = 20 °С при относительной влажности φ = 73 %. Воздух охладился до температуры t2 = 10 °С. Найти массу выпавшего дождя. Плотность насыщенного водяного пара при температурах t1 и t2 — соответственно ρ01 = 17,3⋅10–3 кг/м3 и ρ02 = 9,4⋅10–3 кг/м3.

Решение. Найдем плотность пара при температуре t1 = 20 °С и влажности φ:
\[ \varphi =\frac{\rho _{1}}{\rho _{01}}, \;\;\; \rho _{1} = \phi \cdot \rho _{01}, \]
где φ = 0,73. Тогда ρ1 = 12,6⋅10–3 кг/м3. Тогда масса пара равна

m1 = ρ1V = ρ1S⋅h = φ⋅ρ01S⋅h. (1)

Плотность ρ1 больше плотности насыщенного пара ρ02 при температуре t2 = 10 °С. Следовательно, пар при температуре t2 станет насыщенным и его плотность будет равна ρ02. Тогда масса пара равна

m2 = ρ02V = ρ02S⋅h. (2)

Масса выпавшего дождя, с учетом уравнений (1) и (2), равна:

Δm = m1m2 = (φ⋅ρ01 – ρ02)⋅S⋅h,

Δm = 1,6⋅107 кг.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: alsak от 15 Октября 2011, 07:44
429. Калорифер подает в помещение V = 5,0⋅104 м3 воздуха при температуре t1 и относительной влажности φ1 = 60 %, забирая его с улицы при температуре t2 и относительной влажности φ2 = 80 %. Сколько воды дополнительно испаряет калорифер в подаваемый воздух? При температуре t1 плотность насыщенного водяного пара ρ01 = 15,4⋅10–3 кг/м3, а при температуре t2 — ρ02 = 9.4⋅10–3 кг/м3.

Решение. Масса воды, которую нужно дополнительно испарить в каждый кубометр воздуха Δm = m1m2, где m1 и m2 — массы водяных паров при температурах t1 и t2 соответственно. Масса водяных паров в воздухе равна

m = ρ⋅V,

где плотность ρ найдем через относительную влажность
\[ \varphi =\frac{\rho }{\rho _{0}}, \;\;\; \rho =\varphi \cdot \rho _{0}. \]
Тогда массы паров при температурах t1 и t2 будут равны

m1 = ρ1V = φ1⋅ρ01V,    m2 = ρ2V = φ2⋅ρ02V,

где φ1 = 0,60, φ2 = 0,80. В итоге получаем

Δm = (φ1⋅ρ01 – φ2⋅ρ02)⋅V,

Δm = 86 кг.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 06 Августа 2012, 12:40
403. Найти концентрацию газа при нормальных условиях. Постоянная Больцмана k = 1,38∙10-23 Дж/К.
Решение: воспользуемся зависимостью давления от температуры и концентрации газа:
p0 = n∙k∙T0,
Здесь p0 = 105 Па, Т0 = 273 К – нормальные условия. Искомая концентрация:
\[ n=\frac{p_{0} }{k\cdot T_{0}}. \]
Ответ: 2,65∙1025 м-3.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 06 Августа 2012, 12:52
407. Баллон вместимостью V = 50 л содержит m = 2,2 кг углекислого газа. Баллон выдерживает давление не выше p = 4,0 Мпа. При какой температуре баллон может разорваться? Молярная масса углекислого газа M = 44∙10-3 кг/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(Моль∙К).
Решение: запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона - Менделеева):
\[ \begin{array}{l} {p\cdot V=\frac{m}{M} \cdot R\cdot T,} \\ {T=\frac{p\cdot V\cdot M}{m\cdot R}.}\end{array} \]
Ответ: 481 К = 4,8∙102 К
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 08 Августа 2012, 08:11
432. Проволочная рамка с подвижной перекладиной длиной l1 = 8,0 см затянута мыльной плёнкой. Какую работу против сил поверхностного натяжения надо совершить, чтобы растянуть плёнку на l2 = 2,0 см? Поверхностное натяжение плёнки σ = 4,0∙10-2 Н/м.
Решение: способ 1 (энергетический). При растяжении плёнки, увеличивается площадь свободной поверхности, т.е увеличивается поверхностная энергия. Т.к. энергия системы изменяется (система не замкнута), то совершается работа внешними силами (против сил поверхностного натяжения).
\[ A=\sigma \cdot \Delta S. \]
Изменение площади поверхности плёнки легко определить из следующих соображений: нам известны размеры поверхности l1 и l2, а также, что у плёнки свободных поверхностей две. Тогда:
\[ \begin{array}{l} {\Delta S=2\cdot l_{1} \cdot l_{2\,},} \\ {A=2\cdot \sigma \cdot l_{1} \cdot l_{2\,}.} \end{array} \]
Способ 2 (динамический) на подвижную перекладину действует две силы поверхностного натяжения (у плёнки получается две границы поверхности с перекладиной). Для медленного движения перекладины, приложим внешнюю силу, равную по модулю двум силам поверхностного натяжения.
\[ F=2\cdot F_{n} =2\cdot \sigma \cdot l_{1}.  \]
Работа постоянной силы:
\[ \begin{array}{l} {A=F\cdot S\cdot \cos \alpha } \\ {A=2\cdot \sigma \cdot l_{1} \cdot l_{2}.} \end{array} \]
Здесь учли, что перемещение перекладины S = l2, угол между вектором силы и перемещения α = 0 (cosα=1).
Ответ: 1,3∙10-4 Дж
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 08 Августа 2012, 08:13
433. Из сосуда через вертикальную трубку, внутренний диаметр которой d = 3,0 мм, за некоторое время вытекло по каплям молоко массой m = 50 г. Определить количество упавших капель. Поверхностное натяжение молока σ = 47 мН/м. Считать диаметр шейки капли в момент отрыва равным внутреннему диаметру трубки.
Решение: в момент отрыва на каплю действуют две силы: m1g – сила тяжести, направленная вниз (m1 – масса одной капли) и сила поверхностного натяжения Fn – направленная вверх (удерживает каплю). Будем считать, что при отрыве сила тяжести незначительно превышает по модулю силу поверхностного натяжения.
\[ m_{1} g=F_{n} =\sigma \cdot l=\sigma \cdot \pi \cdot d. \]
Здесь учли, что длина границы поверхностного слоя капли равна длине окружности трубки (по внутреннему диаметру).
Определив массу одной капли и зная массу всех капель (считая все капли одинаковыми) и найдём число капель.
\[ \begin{array}{l} {m_{1} =\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g} ,} \\ {N=\frac{m}{m_{1} } =\frac{m\cdot g}{\sigma \cdot \pi \cdot d} .} \end{array} \]
Ответ: 1,1∙103 
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 08 Августа 2012, 08:19
434. Из плохо закрытого крана капает вода. Определить массу вытекшей за t = 24 ч воды, если время между отрывами ближайших капель τ = 1,0 с. Диаметр шейки капли в момент её отрыва считать равным диаметру трубы крана d = 10 мм. Поверхностное натяжение воды σ = 72,7 мН/м.
Решение: в момент отрыва на каплю действуют две силы: m1g – сила тяжести, направленная вниз (m1 – масса одной капли) и сила поверхностного натяжения Fn – направленная вверх (удерживает каплю). Будем считать, что при отрыве сила тяжести незначительно превышает по модулю силу поверхностного натяжения.
\[ \begin{array}{l} {m_{1} g=F_{n} =\sigma \cdot l=\sigma \cdot \pi \cdot d,} \\ {m_{1} =\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g}.} \end{array} \]
Здесь учли, что длина границы поверхностного слоя капли равна длине окружности трубы крана. Число капель определим, зная время вытекания воды t и промежуток времени между отрывами капель τ:
\[ N=\frac{t}{\tau }. \]
Зная массу одной капли, и число капель  найдём массу вытекшей воды.
\[ m=m_{1} \cdot N=\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d\cdot t}{g\cdot \tau }. \]
Ответ: 20 кг.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 08 Августа 2012, 08:21
435. Разность Δh уровней ртути в двух сообщающихся вертикальных капиллярах, диаметры которых d1 = 0,5 мм и d2 = 1 мм, равна 1,5 см. Определить поверхностное натяжение ртути. Плотность ртути ρ = 13,6∙103 кг/м3.
Решение: высоту поднятия жидкости в капилляре можно определить по формуле (считаем смачивание ртутью стенок капилляра полным):
\[ h=\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d}. \]
Здесь σ – коэффициент поверхностного натяжения, ρ – плотность жидкости, d – диаметр капилляра, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Разность уровней в двух капиллярах (первый капилляр тоньше, поэтому высота поднятия жидкости в нём больше):
\[ \Delta h=h_{1} -h_{2} =\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d_{1} } -\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d_{2} } =\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g} \cdot \left(\frac{1}{d_{1} } -\frac{1}{d_{2}} \right). \]
Выразим поверхностное натяжение ртути:
\[ \sigma =\frac{\Delta h\cdot \rho \cdot g\cdot d_{2} \cdot d_{1} }{4\cdot \left(d_{2} -d_{1} \right)}. \]
Ответ: 5∙10-1 Н/м.
Название: Re: Основы МКТ. Идеальный газ из сборника задач Савченко Н.Е.
Отправлено: Kivir от 08 Августа 2012, 08:23
436. В воду на ничтожно малую глубину опущена вертикально капиллярная трубка, внутренний диаметр которой d = 1,0 мм. Определить массу вошедшей в трубку воды. Смачивание считать полным. Поверхностное натяжение воды σ = 72,7 мН/м.
Решение: способ 1. Жидкость будет подниматься в капилляре до тех пор, пока сила тяжести, действующая на столбик жидкости вошедший в капилляр не станет равной по модулю силе поверхностного натяжения (она поднимает жидкость) действующей на границу свободной поверхности жидкости (длина границы равна длине окружности). Т.е.:
\[ \begin{array}{l} {mg=F_{n} =\sigma \cdot l=\sigma \cdot \pi \cdot d,} \\ {m=\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g}.} \end{array} \]
Способ 2. Высота поднятия жидкости в капилляре:
\[ h=\frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d}. \]
Тогда массу жидкости найдём, зная её плотность и занимаемый объём (цилиндр, высотой h и основание – круг, диаметром d):
\[ m=\rho \cdot V=\rho \cdot S\cdot h=\rho \cdot \frac{\pi \cdot d^{2} }{4} \cdot \frac{4\cdot \sigma }{\rho \cdot g\cdot d} =\frac{\sigma \cdot \pi \cdot d}{g}. \]
Ответ: 2,3∙10-5 кг.