Автор Тема: Шайба скользит по доске, лежащей на гладкой плоскости  (Прочитано 48280 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Fiz

  • Гость
Здравствуйте!
Помогите пожалуйста решить задачу разными способами. Хотя бы двумя.

На гладкой горизонтальной плоскости находится длинная доска массой M = 2 кг. По доске скользит шайба массой m = 0,5 кг. Коэффициент трения между шайбой и доской k = 0,2. В начальный момент времени скорость шайбы υ0 = 2 м/с, а доска покоится. Сколько времени потребуется для того, чтобы шайба перестала скользить по доске?
« Последнее редактирование: 26 Марта 2011, 07:15 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
1 способ: динамический.
Изобразим силы, действующие на шайбу: сила тяжести шайбы (m⋅g), сила реакции опоры (N1) и сила трения (Ftr1) (рис. 1). Скорость шайбы будет уменьшаться, поэтому ускорение a1 направлено в противоположную сторону скорости.
Изобразим силы, действующие на доску: сила тяжести доски (M⋅g), сила реакции опоры (N2). Еще две силы возникают в результате взаимодействия шайбы и доски: 1) сила давления шайбы на доску (P1) (по третьему закону Ньютона, с какой силой шайба давит на доску, с такой силой доска действует на шайбу, т.е. численно P1 = N1, но эти силы направлены в противоположные стороны); 2) сила трения между шайбой и доской (Ftr2) (по третьему закону Ньютона, эти силы равны по величине, но противоположны по направлению, т.е. Ftr1 = Ftr2) (рис. 2). Скорость доски будет увеличиваться (равнодействующая сил направлена вправо), поэтому ускорение a2 направлено вправо.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (рис. 3):
 
\[ m \cdot \vec{a}_{1} = m \cdot \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{tr1}, \, \, \, M \cdot \vec{a}_{2} = M \cdot \vec{g}+ \vec{N}_{2} + \vec{F}_{tr2} + \vec{P}_{1}, \]

0Y: 0 = N1m⋅g,    N1 = m⋅g,

0X: –m⋅a1 = –Ftr1,    M⋅a2 = Ftr2,

где Ftr1 = Ftr2 = μ⋅N1 = μ⋅m⋅g. Тогда ускорения тел будут равны

m⋅a1 = μ⋅m⋅g,    a1 = μ⋅g, (1)
 
\[ M \cdot a_{2} = \mu \cdot m \cdot g, \; \; \; a_{2} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{M}.\;\;\; (2) \]


Шайба перестанет скользить по доске, когда сравняются скорости шайбы и доски (υ1 = υ2). Запишем уравнения скоростей этих тел:

υ1x = υ01x + a1xt,    υ2x = υ02x + a2xt,

где υ1x = υ1, υ01x = υ0, a1x = –a1, υ2x = υ2, υ02x = 0, a2x = a2. Тогда

υ1 = υ0a1t,    υ2 = a2t.

Найдем время t1, когда υ1 = υ2, с учетом уравнений (1) и (2):

υ0a1t1 = a2t1,

\[ t_{1} = \frac{\upsilon_{0}}{a_{1} + a_{2}} = \frac{\upsilon_{0}}{\mu \cdot g + \mu \cdot m \cdot g /M} = \frac{\upsilon_{0} \cdot M}{\mu \cdot g \cdot \left(M + m \right)}, \]

t1 = 0,8 c.
« Последнее редактирование: 27 Марта 2011, 10:41 от alsak »

Fiz

  • Гость
Спасибо.
Метод динамический.Почему Вы так написали?
Есть ещё методы?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Метод динамический.Почему Вы так написали?
Есть ещё методы?

Потому что использовал законы динамики. Можно еще попробовать решить через законы сохранения.

Fiz

  • Гость
А Вас можно попросить, если Вам нетрудно решить эту задачку через законы сохранения.
Интересно, такой ответ получится.
Я очень Вас прошу.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
2 способ. Через изменение импульса шайбы и доски под действием силы трения.
 
\[ \vec{F}_{tr} \cdot t = m \cdot \vec{\upsilon }- m \cdot \vec{\upsilon}_{0}.\;\;\; (1) \]

Как уже было указано в первом способе, сила трения
 
Ftr1 = Ftr2 = Ftr = μ⋅m⋅g (2)

за время t = t1 уменьшает скорость шайбы от υ0 до υ1 и разгоняет доску от 0 до υ2, причем υ1 = υ2 = υ. Тогда проекция уравнения (1) на ось 0Х (см. рис. 1 и 2 первого способа)
для шайбы:
Ftrt1 = m⋅υ – m⋅υ0, (3)
для доски:
Ftr⋅t1 = M⋅υ – 0. (4)

Решим систему уравнений (2)-(4). Например,
 
\[ \upsilon = \frac{F_{tr} \cdot t_{1}}{M}, \; \; -F_{tr} \cdot t_{1} = m \cdot \frac{F_{tr} \cdot t_{1}}{M} - m \cdot \upsilon_{0}, \]
 
\[ F_{tr} \cdot t_{1} \cdot \left(1 + \frac{m}{M} \right) = m \cdot \upsilon_{0}, \; \; F_{tr} \cdot t_{1} \cdot \frac{M + m}{M} = m \cdot \upsilon_{0}, \]
 
\[ t_{1} = \frac{m \cdot \upsilon_{0} \cdot M}{\left(M + m \right) \cdot F_{tr}} = \frac{\upsilon_{0} \cdot M}{\left(M + m \right) \cdot \mu \cdot g}. \]

Fiz

  • Гость
Ответ такой же получился?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
А как вы думаете?
Вам трудно посмотреть на первый способ решения и сравнить конечные формулы?

Fiz

  • Гость
Вы умничка!
Замечательно.
А если решать через закон сохранения импульса.Тут как?
« Последнее редактирование: 27 Марта 2011, 14:13 от Fiz »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
А если решать через закон сохранения импульса.Тут как?
Никак. Этот закон не будет выполняться, т.к. есть внешняя горизонтальная сила - сила трения.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24