1 способ: динамический.
Изобразим силы, действующие на шайбу: сила тяжести шайбы (m⋅g), сила реакции опоры (N1) и сила трения (Ftr1) (рис. 1). Скорость шайбы будет уменьшаться, поэтому ускорение a1 направлено в противоположную сторону скорости.
Изобразим силы, действующие на доску: сила тяжести доски (M⋅g), сила реакции опоры (N2). Еще две силы возникают в результате взаимодействия шайбы и доски: 1) сила давления шайбы на доску (P1) (по третьему закону Ньютона, с какой силой шайба давит на доску, с такой силой доска действует на шайбу, т.е. численно P1 = N1, но эти силы направлены в противоположные стороны); 2) сила трения между шайбой и доской (Ftr2) (по третьему закону Ньютона, эти силы равны по величине, но противоположны по направлению, т.е. Ftr1 = Ftr2) (рис. 2). Скорость доски будет увеличиваться (равнодействующая сил направлена вправо), поэтому ускорение a2 направлено вправо.
Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (рис. 3):
\[ m \cdot \vec{a}_{1} = m \cdot \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{tr1}, \, \, \, M \cdot \vec{a}_{2} = M \cdot \vec{g}+ \vec{N}_{2} + \vec{F}_{tr2} + \vec{P}_{1}, \]
0Y: 0 = N1 – m⋅g, N1 = m⋅g,
0X: –m⋅a1 = –Ftr1, M⋅a2 = Ftr2,
где Ftr1 = Ftr2 = μ⋅N1 = μ⋅m⋅g. Тогда ускорения тел будут равны
m⋅a1 = μ⋅m⋅g, a1 = μ⋅g, (1)
\[ M \cdot a_{2} = \mu \cdot m \cdot g, \; \; \; a_{2} = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{M}.\;\;\; (2) \]
Шайба перестанет скользить по доске, когда сравняются скорости шайбы и доски (υ1 = υ2). Запишем уравнения скоростей этих тел:
υ1x = υ01x + a1x⋅t, υ2x = υ02x + a2x⋅t,
где υ1x = υ1, υ01x = υ0, a1x = –a1, υ2x = υ2, υ02x = 0, a2x = a2. Тогда
υ1 = υ0 – a1⋅t, υ2 = a2⋅t.
Найдем время t1, когда υ1 = υ2, с учетом уравнений (1) и (2):
υ0 – a1⋅t1 = a2⋅t1,
\[ t_{1} = \frac{\upsilon_{0}}{a_{1} + a_{2}} = \frac{\upsilon_{0}}{\mu \cdot g + \mu \cdot m \cdot g /M} = \frac{\upsilon_{0} \cdot M}{\mu \cdot g \cdot \left(M + m \right)}, \]
t1 = 0,8 c.
2 способ. Через изменение импульса шайбы и доски под действием силы трения.
\[ \vec{F}_{tr} \cdot t = m \cdot \vec{\upsilon }- m \cdot \vec{\upsilon}_{0}.\;\;\; (1) \]
Как уже было указано в первом способе, сила трения
Ftr1 = Ftr2 = Ftr = μ⋅m⋅g (2)
за время t = t1 уменьшает скорость шайбы от υ0 до υ1 и разгоняет доску от 0 до υ2, причем υ1 = υ2 = υ. Тогда проекция уравнения (1) на ось 0Х (см. рис. 1 и 2 первого способа)
для шайбы:
–Ftr⋅t1 = m⋅υ – m⋅υ0, (3)
для доски:
Ftr⋅t1 = M⋅υ – 0. (4)
Решим систему уравнений (2)-(4). Например,
\[ \upsilon = \frac{F_{tr} \cdot t_{1}}{M}, \; \; -F_{tr} \cdot t_{1} = m \cdot \frac{F_{tr} \cdot t_{1}}{M} - m \cdot \upsilon_{0}, \]
\[ F_{tr} \cdot t_{1} \cdot \left(1 + \frac{m}{M} \right) = m \cdot \upsilon_{0}, \; \; F_{tr} \cdot t_{1} \cdot \frac{M + m}{M} = m \cdot \upsilon_{0}, \]
\[ t_{1} = \frac{m \cdot \upsilon_{0} \cdot M}{\left(M + m \right) \cdot F_{tr}} = \frac{\upsilon_{0} \cdot M}{\left(M + m \right) \cdot \mu \cdot g}. \]