ЦТ 2011

[dx/dt]

A17 (1 вариант). Атом водорода при переходе с шестого энергетического уровня (E₆=-6,02⋅10^-20 Дж) на первый (E₁=-2,17⋅10^-18 Дж) испускает фотон, модуль импульса p которого равен:

1) 7,03⋅10^-27 кг⋅м/с;  1) 1,61⋅10^-27 кг⋅м/с;  1) 6,03⋅10^-28 кг⋅м/с;
1) 2,53⋅10^-28 кг⋅м/с;  1) 8,83⋅10^-29 кг⋅м/с.

Решение

Импульс фотона равен
 
p=E/c,

где c=3⋅10⁸ м/с – скорость света в вакууме, Е – энергия фотона.

Энергию фотона находим как разность энергий атома водорода в шестом и первом энергетическом состоянии:

E=E₆-E₁.

Тогда импульс фотона:

\[ p=\frac{E}{c}=\frac{{{E}_{6}}-{{E}_{1}}}{c}; \]

p=7,03⋅10^-27 кг⋅м/с.

Ответ: 1) p=7,03⋅10^-27 кг⋅м/с.

[dx/dt]

A8 (1 вариант). Если при изобарном нагревании идеального газа, начальная температура которого t₁=7⁰C, его объем увеличивается в k=1,2 раза, то конечная температура газа равна:

1) 8,4⁰C;  2) 14⁰C;  3) 24⁰C;  4) 40⁰C;  5) 63⁰C.

Решение

Для двух состояний газа справедливо равенство:

\[ \frac{p_{1} \cdot V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2} \cdot {V}_{2}}{T_{2}}, \]

где p₁= p₂ (процесс изобарный), V₂=1,2V₁, T₁=280 К.

Тогда

\[ \frac{{{p}_{1}}{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{1}}\cdot 1,2{{V}_{1}}}{{{T}_{2}}}, \]

откуда находим T₂=1,2T₁=336 К, t₂=336 К - 273 К=63⁰C.

Ответ: 5) t₂=63⁰C.

[dx/dt]

A15 (1 вариант). Поплавок, качаясь на волнах, совершил N=16 полных колебаний за промежуток времени Δt=8,0 с. Если модуль скорости распространения волн u=3,2 м/с, то расстояние l между соседними гребнями волн равно:

1) 1,2 м; 2) 1,6 м; 3) 2,0 м; 4) 2,4 м; 5) 3,0 м.

Решение

Период – это время одного полного колебания. Его можно найти, поделив общее время на количество колебаний за это время:

T= Δt/N.

Расстояние между соседними гребнями есть не что иное, как длина волны:

l=λ=uT=u Δt/N; l=1,6 м.

Ответ: 2) 1,6 м.

[dx/dt]

A12 (1 вариант). Три точечных заряда q₁= q₂=40 нКл и q₃=-10 нКл находятся в вакууме в вершинах равностороннего треугольника, длина стороны которого a=30 см. Потенциальная энергия W электростатического взаимодействия системы этих зарядов рана:
1) 24 мкДж;  2) 26 мкДж;  3) 30 мкДж;  4) 37 мкДж;  5) 55 мкДж.

Решение

 Потенциальная энергия  электростатического взаимодействия системы, состоящей из трех точечных  зарядов, находится по формуле:

\[ W=\frac{k{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}_{12}}}+\frac{k{{q}_{1}}{{q}_{3}}}{{{r}_{13}}}+\frac{k{{q}_{2}}{{q}_{3}}}{{{r}_{23}}}. \]

Учитывая, что r₁₂= r₁₃= r₂₃=a, имеем

\[ W=\frac{k}{a}\left( {{q}_{1}}{{q}_{2}}+{{q}_{1}}{{q}_{3}}+{{q}_{2}}{{q}_{3}} \right). \]

Подставляя в формулу величины зарядов (не модули!), находим W=24 мкДж.

Ответ: 1) W=24 мкДж.

[dx/dt]

B1 (1 вариант). Легковой автомобиль движется по шоссе со скоростью, модуль которой u=18 м/с. Внезапно на дорогу выскочил лось. Если время реакции водителя t=1,0 с, а модуль ускорения автомобиля при торможении a=3,6 м/с², то остановочный путь s (с момента возникновения препятствия до полной остановки) равен … м.

Решение

Первую секунду автомобиль двигался равномерно со скоростью u=18 м/с, а оставшееся время – равнозамедленно до полной остановки. Для вычисления пути при равномерном движении воспользуемся формулой  s₁=ut, а путь s₂ при равнозамедленном движении найдем по формуле

\[ {{s}_{2x}}=\frac{u_{2x}^{2}-u_{1x}^{2}}{2{{a}_{x}}}, \]

где u_1x=u, u_2x=0, a_x=-a, s_2x=s₂ (ось Ох направлена в сторону движения автомобиля).
Тогда остановочный путь

\[ s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=ut+\frac{{{u}^{2}}}{2a}, \]

s=63 м.

Ответ: 63 м.

[dx/dt]

B2 (1 вариант). С помощью подъемного механизма груз массой m=0,80 т равноускоренно поднимают вертикально вверх с поверхности Земли. Через промежуток времени Δt после начала подъема груз находился на высоте h=30 м, продолжая движение. Если сила тяги подъемного механизма к этому моменту времени совершила работу A=0,25 МДж, то промежуток времени Δt равен … с.

Решение

Работа по поднятию груза равна изменению его механической энергии (кинетической и потенциальной):

\[ A=mgh+\frac{m{{u}^{2}}}{2}, \]

откуда скорость груза на высоте h:

\[ u=\sqrt{\frac{2}{m}\left( A-mgh \right)}. \]

Средняя скорость движения груза находится как среднее арифметическое начальной и конечной скорости (скорость изменяется по линейному закону):

\[ <u>=\frac{0+u}{2}=\sqrt{\frac{A-mgh}{2m}}. \]

Время движения:

\[ t=\frac{h}{<u>}=h\sqrt{\frac{2m}{A-mgh}}, \]

t=12 c.

Ответ: 12 с.

[dx/dt]

B3 (1 вариант). Тело массой m=0,25 кг свободно падает без начальной скорости с высоты H. Если на высоте h=20 м кинетическая энергия тела E_k=30 Дж, то первоначальная высота H равна … м.

Решение

Полная механическая энергия тела остается величиной постоянной:

W₁=W₂.

Полная механическая энергия тела – это сумма кинетической и потенциальной энергии. Если нулевой уровень потенциальной энергии выбрать на поверхности земли, то можно записать:

\[ mgH=mgh+{{E}_{k}}, \]

откуда первоначальная высота:

\[ H=h+\frac{{{E}_{k}}}{mg}, \]

H=32 м.

Ответ: 32 м.

[dx/dt]

B4 (1 вариант). Автомобиль движется по дороге со скоростью, модуль которой u =93,6 км/ч. Профиль дороги показан на рисунке. В точке С радиус кривизны профиля R = 255 м. Если в точке С, направление на которую из центра кривизны составляет с вертикалью угол α=30,0⁰, модуль силы давления автомобиля на дорогу F = 5,16 кН, то масса m автомобиля равна … кг.

Решение

Автомобиль движется с постоянной по модулю скоростью, а значит в точке С его полное ускорение будет равно центростремительному и будет направлено к центру кривизны.

Уравнение второго закона Ньютона в проекциях на координатную ось, направленную к центру кривизны:

\[ mg\cos \alpha -N=ma, \]

где N – сила нормальной реакции опоры, и согласно третьему закону Ньютона N=F; a=u²/R – центростремительное ускорение.

Имеем

\[ mg\cos \alpha -F=m\frac{{{u}^{2}}}{R}, \]

откуда находим массу автомобиля:

\[ m=\frac{F}{g\cos \alpha -\frac{{{u}^{2}}}{R}}, \]

Вычисления с хорошей точностью дают в ответе 858,67 кг, что по правилам округления соответствует 859 кг, но никак не 860 кг, хотя такой ответ приведен в сборнике тестов. Возможно, cos30⁰ следовало вычислять только таким образом:

\[ \cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1,73}{2}=... \]

А если ученик использовал инженерный калькулятор??

Ответ: 860(?) кг.

[dx/dt]

B5 (1 вариант). В баллоне находится смесь газов: аргон (M₁=40 г/моль) и кислород (M₂=32 г/моль). Если парциальное давление аргона в три раза больше парциального давления кислорода, то молярная масса M смеси равна … г/моль.

Решение

Очевидно, что в данном случае парциальные давления аргона и кислорода относятся также как количества вещества этих газов:
\[\frac{p_{1} }{p_{2} } =\frac{n_{1} \cdot k\cdot T}{n_{2} \cdot k\cdot T} =\frac{n_{1} }{n_{2} } =\frac{N_{1} }{V} \cdot \frac{V}{N_{2} } =\frac{N_{1} }{N_{2} } =\frac{\nu _{1} \cdot N_{A} }{\nu _{2} \cdot N_{A} } =\frac{\nu _{1} }{\nu _{2} } =3.\]

Тогда молярная масса смеси
\[ M=\frac{m}{\nu }=\frac{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}}=\frac{{{M}_{1}}{{\nu }_{1}}+{{M}_{2}}{{\nu }_{2}}}{{{\nu }_{1}}+{{\nu }_{2}}}=\frac{3{{M}_{1}}{{\nu }_{2}}+{{M}_{2}}{{\nu }_{2}}}{3{{\nu }_{2}}+{{\nu }_{2}}}=\frac{3{{M}_{1}}+{{M}_{2}}}{4}, \]

M=38 г/моль.

Ответ: 38 г/моль.

[dx/dt]

B6 (1 вариант). Небольшой пузырек воздуха медленно поднимается вверх со дна водоема. На глубине h₁=80 м температура воды (ρ=1,0 г/см³) t₁=7⁰С, а объем пузырька V₁=0,59 см³. Если атмосферное давление p₀=1,0*10⁵ Па, то на глубине h₂=1 м, где температура воды t₂=17⁰С, на пузырек действует выталкивающая сила, модуль F которой равен … мН.

Решение

Для нахождения выталкивающей силы необходимо знать объем пузырька на глубине h₂. Этот объем найдем из уравнения Клапейрона:

\[ \frac{{{p}_{1}}{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{p}_{2}}{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}. \]

Учитывая, что давление воздуха в пузырьке будет равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления, последнюю формулу можно переписать в виде

\[ ({{p}_{0}}+\rho g{{h}_{1}})\frac{{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=({{p}_{0}}+\rho g{{h}_{2}})\frac{{{V}_{2}}}{{{T}_{2}}}, \]

откуда находим интересующий нас объем:

\[ {{V}_{2}}={{V}_{1}}\cdot \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\cdot \frac{{{p}_{0}}+\rho g{{h}_{1}}}{{{p}_{0}}+\rho g{{h}_{2}}}. \]

Выталкивающая сила, действующая на пузырек

\[ F=\rho g{{V}_{2}}=\rho g{{V}_{1}}\cdot \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\cdot \frac{{{p}_{0}}+\rho g{{h}_{1}}}{{{p}_{0}}+\rho g{{h}_{2}}}, \]

где T₁=280 K, T₂=290 K. Вычисления дают F=50 мН.

Ответ: 50 мН.