Задачи и вопросы по физике > Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011
2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение
Сергей:
А1.6 Если тело свободно падает с некоторой высоты, то через время t = 4,0 с модуль его скорости составит:
1) 4,0 м/с; 2) 16 м/с; 3) 20 м/с; 4) 40 м/с; 5) 80 м/с.
Решение. Зависимость от времени проекции скорости движения тела при свободном падении
υу = υ0у + gy·tНаправим ось Оу вертикально вниз. Тогда υу = υ, υ0у = υ0, gy·= g. Учитывая, что υ0 = 0
υ = g·tответ: 4) 40 м/с;
Сергей:
А1.7 Если тело бросить вертикально вверх с высоты h = 20 м со скоростью, модуль которой υ0 = 4,0 м/с, то через время t = 2,0 с после начала движения тело окажется на высоте:
1) 68 м; 2) 40 м; 3) 24 м; 4) 8,0 м; 5) 0 м.
Решение. Направим ось Оу вертикально вверх, Начало координат выберем на поверхности земли (см. рис.). движение тела описывается уравнением
\[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
где у = Н – конечная координата тела, у0 = h – начальная координата тела, υ0у = υ0 – проекция начальной скорости, ау = -g – проекция ускорения на ось Оу. Тогда
\[ H=h+{{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Ответ: 4) 8,0 м;
Сергей:
А1.8 За третью секунду свободного падения тело пpoxoдит путь, равный:
1) 45 м; 2) 35 м;3) 30 м; 4) 25 м; 5) 15 м.
Решение. Путь s3, пройденный телом за третью секунду свободного падения, равен пути s(3), пройденному телом за три секунды, минус путь s(2), пройденный телом за 2 секунды. Кинематическое уравнение движения свободно падающего тела в проекции на ось Оу имеет вид
\[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у0 = 0, υ0у = 0, gy = g. Тогда пройденный телом путь
\[ s=\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2};\,\,\,\,\,\,{{s}_{3}}=s(3)-s(2)=\frac{g\cdot t_{3}^{2}}{2}-\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}=\frac{g}{2}\cdot \left( t_{3}^{2}-t_{2}^{2} \right) \]
Ответ: 4) 25 м;
Сергей:
А1.9 Свободно падающее тело за последнюю секунду падения пролетело половину всего пути. Время падения равно:
1) 1,7 с; 2) 3,5 с; 3) 5,2 с; 4) 6,8 с; 5) недостаточно данных для решения задачи
Решение. Кинематическое уравнение движения свободно падающего тела в проекции на ось Оу имеет вид
\[ y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{y}}}}\cdot t+\frac{{{g}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
Направим ось Оу вертикально вниз, начало оси совместим с точкой начала движения. Тогда у0 = 0, υ0у = 0, gy = g. Запишем уравнение для двух моментов времени
\[ {{y}_{1}}=\frac{h}{2}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,\,\,{{y}_{2}}=h=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};\, \]
Из этих уравнений следует, что
\[ \frac{2\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{t_{2}^{2}}{2};\,\,\,\,\,\,\,\,2\cdot t_{1}^{2}=t_{2}^{2} \]
По условию задачи t1 = t2-1. Тогда
\[ 2\cdot {{\left( {{t}_{2}}-1 \right)}^{2}}=t_{2}^{2};\,\,\,\,\,\,\,\,t_{2}^{2}-4\cdot {{t}_{2}}+2=0 \]
Корни квадратного уравнения (t2)1 = 3,4 c (t2)2 = 0,6 c
Второй корень не соответствует условию задачи.
Примечание: среди приведенных ответов наиболее близким по значению - 2) 3,5 с;
Ответ: 2) 3,5 с;
Сергей:
А1.10 Камень падает в ущелье. Через время t = 6,00 с слышен звук удара камня о землю. Если модуль скорости звука υ = 330 м/с, то глубина ущелья составляет:
1) 55,0 м; 2) 110 м; 3)153 м; 4) 242 м;5) 660 м.
Решение. Время t складывается из времени t1 – падения камня на дно шахты и t2 – времени распространения звука после удара камня о дно. Для свободно падающего тела справедливо (смотри задачи А1.8 и А1.9)
\[ h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,{{t}_{1}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}\,\,\,\,\,\,(1) \]
Тогда
\[ t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}+\frac{h}{\upsilon };\,\,\,\,\,6,00=0,45\cdot \sqrt{h}+0,003\cdot h \]
Решим последнее уравнение. Например
\[ \begin{align}
& \sqrt{h}=x;\,\,\,\,\,0,003\cdot {{x}^{2}}+0,45\cdot x-6=0; \\
& {{x}_{1}}=-162,32;\,\,\,\,{{x}_{2}}=12,32; \\
\end{align}
\]
Корень х1 не подходит. Следовательно
\[ h=x_{2}^{2} \]
h = 151,78 м.
ответ: 3)153 м (152 м)
Примечание: рещение "другим путем"
\[ \begin{align}
& {{t}_{2}}=\frac{h}{\upsilon };\,\,\,\,\,h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2};\,\,\,\,\,{{t}_{2}}=t-{{t}_{1}}; \\
& t-{{t}_{1}}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot \upsilon };\,\,\,\,\,\,g\cdot t_{1}^{2}+2\cdot \upsilon \cdot {{t}_{1}}-2\cdot \upsilon \cdot t=0; \\
& {{t}_{1}}=5,54;\,\,\,h=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=153,45 \\
\end{align}
\]
Навигация
Перейти к полной версии