Задачи и вопросы по физике > Капельян Пособие для подготовки к ЦТ 2011
2. Равноускоренное прямолинейное движение. Свободное падение
Сергей:
А2.1 Два тела движутся согласно законам х1 = -4,0+ 2,0t +1,0t2 (м) и x2 = 6,0-8,0t + 1,0t2 (м). Модуль относительной скорости тел в момент встречи равен:
1) 0; 2) 5,0 м/с; 3) 6,0 м/с; 4) 7,0 м/с; 5) 10 м/с.
Решение. Кинематические уравнения скорости и координаты при равноускоренном движении в проекциях на координатную ос Ох имеют вид:
\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}+{{a}_{x}}\cdot t\,\,\,\,\,(1) \\
& x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2}\,\,\,\,(2) \\
\end{align}
\]
Сравнивая исходные уравнения с уравнением (2), легко видеть, что: х01 = -4,0 м; υ01х = 2,0 м/с; а1х = 2 м/с2; х02 = 6,0 м; υ02х = -8,0 м/с; а2х = 2 м/с2. Проекции скоростей имеют разный знак, следовательно, тела движутся навстречу друг другу. Относительная скорость при таком движении
υot =υ1+υ2Определим скорость υ1 движения первого тела и скорость υ2 второго тела. В момент встречи тел х1 = х2. Приравняв два уравнения, получим время встречи t = 1 c. Тогда на основании уравнения (1) модуль скоростей υ1 = 4 м/с, υ2 = 6 м/с, υot = 10 м/с
Ответ: 5) 10 м/с
Сергей:
А2.2 Тело, двигаясь равноускоренно, за время t прошло путь s, причем за это время модуль его скорости увеличился в 5 раз. Модуль ускорения тела равен:
\[ 1)\,\frac{3\cdot s}{{{t}^{2}}};\,\,\,2)\,\frac{4\cdot s}{3\cdot {{t}^{2}}};\,\,\,3)\,\frac{2\cdot s}{{{t}^{2}}};\,\,\,4)\,\frac{s}{3\cdot {{t}^{2}}};\,\,5)\,\frac{s}{2\cdot {{t}^{2}}} \]
Решение. Путь s пройденный телом за время t
\[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}\,\,\,(1) \]
Скорость при равноускоренном движении
υ = υ0 + а·t (2)По условию задачи υ = 5·υ0. Тогда с четом (2)
\[ 5\cdot {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{0}}+a\cdot t;\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{a\cdot t}{4} \]
Подставим полученное выражение в (1)
\[ s=\frac{a\cdot t}{4}\cdot t+\frac{a\cdot {{t}^{2}}}{2}=\frac{3\cdot a\cdot {{t}^{2}}}{4};\,\,\,\,\,\,a=\frac{4\cdot s}{3\cdot {{t}^{2}}} \]
Ответ: 2
Сергей:
А2.3 Если при равноускоренном движении тело за первые t1 = 4,0 с проходит путь s1 =2,0 м, а следующий участок длиной s2 = 4,0 м — за t2 = 5,0 с, то модуль ускорения тела составляет:
1) 3,8 см/с2; 2) 4,2 см/с2;3) 5,4 см/с2; 4) 6,7 см/с2; 5) 7,8 см/с2.
Решение. Как следует из условия, путь s3 = s1+s2 тело проходит за время t3 = t1 + t2
Кинематическое уравнение координаты при равноускоренном движении в проекции на координатную ось:
\[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2} \]
Направим ось Ох вдоль движения тела, начало координат выберем в точке х0. Тогда
\[ {{s}_{1}}={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2}\,\,(1);\,\,\,\,\,\,\,\,{{s}_{3}}={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{3}}+\frac{a\cdot t_{3}^{2}\,}{2}\,\,(2) \]
Выразим υ0, например из (1)
\[ {{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}={{s}_{1}}-\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2};\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{2\cdot {{s}_{1}}-a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\, \]
Подставим полученное значение в (2)
\[ \begin{align}
& {{s}_{3}}=\frac{2\cdot {{s}_{1}}-a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\cdot {{t}_{3}}+\frac{a\cdot t_{3}^{2}}{2}=\frac{2\cdot {{s}_{1}}\cdot {{t}_{3}}-a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{3}}}{2\cdot {{t}_{1}}}+\frac{a\cdot t_{3}^{2}}{2}; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\cdot {{t}_{1}}\cdot {{s}_{3}}=2\cdot {{s}_{1}}\cdot {{t}_{3}}-a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{3}}+a\cdot t_{3}^{2}\cdot {{t}_{1}}; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a=\frac{2\cdot \left( {{t}_{1}}\cdot {{s}_{3}}-{{s}_{1}}\cdot {{t}_{3}} \right)}{{{t}_{3}}\cdot {{t}_{1}}\cdot \left( {{t}_{3}}-{{t}_{1}} \right)} \\
\end{align}
\]
а = 0,067 м/с2
Ответ: 4) 6,7 см/с2;
Сергей:
А2.4 По наклонной доске пустили снизу вверх шарик. Если на расстоянии s = 30 см от начала движения шарик побывал дважды через время t1 = 1,0 и t2 =2,0с после начала движения, то модуль начальной скорости шарика составляет:
1)10 см/с; 2) 20 см/с; 3) 30 см/с; 4) 45 см/с; 5) 60 см/с.
Решение. Кинематическое уравнение координаты при равноускоренном движении в проекции на координатную ось:
\[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{{{0}_{x}}}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}\,}{2} \]
Ось Ох направим вдоль доски, начало координат выберем в точке начала движения (х0 = 0). В момент времени t1 и t2 шарик находится в одной и той же точке, то его координаты в эти моменты времени одинаковы, т.е х1 = х2 = s
Запишем уравнения для двух случаев
\[ s={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}-\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2}\,\,(1);\,\,\,\,\,\,\,\,s={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{2}}-\frac{a\cdot t_{2}^{2}\,}{2}\,\,(2) \]
Выразим υ0, например из (1)
\[ {{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}=s+\frac{a\cdot t_{1}^{2}\,}{2};\,\,\,\,\,\,{{\upsilon }_{0}}=\frac{2\cdot s+a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\,(3) \]
Подставим полученное значение в (2)
\[ \begin{align}
& s=\frac{2\cdot s+a\cdot t_{1}^{2}}{2\cdot {{t}_{1}}}\cdot {{t}_{2}}-\frac{a\cdot t_{2}^{2}}{2}=\frac{2\cdot s\cdot {{t}_{2}}+a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{2}}}{2\cdot {{t}_{1}}}-\frac{a\cdot t_{2}^{2}}{2}; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\cdot {{t}_{1}}\cdot s=2\cdot s\cdot {{t}_{2}}+a\cdot t_{1}^{2}\cdot {{t}_{2}}-a\cdot t_{2}^{2}\cdot {{t}_{1}}; \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a=\frac{2\cdot s}{{{t}_{1}}\cdot {{t}_{2}}} \\
\end{align}
\]
а = 0,3 м/с2
Тогда из (3) найдем υ0 = 0,45 м/с
Ответ: 4) 45 см/с;
Сергей:
А2.5 По графику зависимости модуля скорости υ от времени t (рис. 2.1) определите модуль средней скорости движения на первой половине пути:
1) 2,0 м/с; 2) 1,5 м/с; 3) 1,2 м/с; 4) 1,0 м/с; 5) 0,50 м/с.
Решение. Из графика следует, что на первой половине пути тело двигалось равноускорено. При движении с постоянным ускорением
\[ \left\langle {{\upsilon }_{x}} \right\rangle =\frac{{{\upsilon }_{0}}_{x}+{{\upsilon }_{x}}}{2} \]
υ0х = 0; υх = 2 м/с;
Ответ: 4) 1,0 м/с; Примечание: ответ пособия 3) 1,2 м/с;
Правильное решение см. здесь.
Навигация
Перейти к полной версии