Итоговые тесты 3-4

[Сергей]

Вариант 4. А12. Два одинаковых расположенных в вакууме проводящих шарика с зарядами q₁ = +3,8 10^-6 Кл и q₂ = -1,8 10^-6 Кл соответственно подвешены в одной точке на одинаковых нитях длиной l = 100 см. Вследствие притяжения шарики соприкоснулись и разошлись на расстояние r = 50 см. Масса шарика равна:
1) 6,2 г; 2) 10 г; 3) 14 г; 4) 18 г; 5) 26 г.
Решение. Найдем заряд на каждом шарике после соприкосновения и отталкивания:

\[ q_{1}^{'}=q_{2}^{'}=q=\frac{{{q}_{1}}+{{q}_{2}}}{2}, \]

q = +1,0∙10^-6 Кл.
Покажем силы которые действуют на один из шариков. Шарик находится в покое, значит, равнодействующая всех сил равна нулю:

\[ {{\vec{F}}_{n}}+{{\vec{F}}_{K}}+m\cdot \vec{g}=0. \]

Найдем проекции на оси Х и Y:

\[ oX:\ {{F}_{n}}\cdot \sin \alpha -{{F}_{K}}=0\ \ \ (1), \]

\[ oY:\ {{F}_{n}}\cdot \cos \alpha -m\cdot g=0\ \ \ (2), \]

\[ {{F}_{K}}=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (3). \]

Выразим из (2) F_n, (3) и (2) подставим в (1):

\[ {{F}_{n}}=\frac{m\cdot g}{\cos \alpha },\ m\cdot g\cdot tg\alpha =\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}}\ \ \ (4). \]

k = 9∙10⁹ Н∙м² / Кл².

\[ tg\alpha =\frac{\frac{1}{2}\cdot r}{\sqrt{{{l}^{2}}-\frac{{{r}^{2}}}{4}}},\ tg\alpha =0,254. \]

Из (4) выразим m:

\[ m=\frac{k\cdot {{q}^{2}}}{{{r}^{2}}\cdot g\cdot tg\alpha }, \]

m = 14,1∙10^-3 кг. Ответ: 3) 14 г.

[Сергей]

Вариант 4. А13. Плоский воздушный конденсатор емкостью С подсоединен к источнику тока, который поддерживает разность потенциалов между обкладками, равную U. При заполнении такого конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε через источник пройдет заряд q₁, равный по величине:
1) ε∙С∙U; 2) (ε-1) ∙С∙U; 3) С∙U; 4) С∙U/ε; 5) 0.
Решение. Электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле:

\[ C=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}. \]

где: ε – диэлектрическая постоянная. ε₀ – электрическая постоянная, S – площадь пластин, d - расстояние между пластинами.
Для воздуха диэлектрическая постоянная равна единице. Электроемкость плоского воздушного конденсатора определяется по формуле:

\[ C=\frac{{{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}\ \ \ (1). \]

При заполнении конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε электроемкость плоского конденсатора определяется по формуле:

\[ {{C}_{2}}=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot S}{d}\ \ \ (2). \]

Из (1) и (2) замечаем, что:
 

С₂ = ε∙С.

Заряд который пройдет через источник равен:

q₁ = q₂ – q, q = С∙U, q₂ = ε∙С∙U, q₁ = С∙U∙( ε – 1).

Ответ: 2) ( ε – 1)∙С∙U.

[Сергей]

Вариант 4. А14. Показание амперметра в электрической цепи, изображенной на рисунке, если показание вольтметра U_В = 250 В, а сопротивление каждого резистора и внутреннее сопротивление вольтметра равны по 1,0 кОм, составляет:
1) 1,0 А; 2) 0,38 А; 3) 0,33 А; 4) 0,17 А; 5) 0,12 А.
Решение. На рисунке покажем сопротивление вольтметра. Для облегчения решения задачи присвоим каждому резистору номер.
Используя закон Ома для участка цепи найдем ток который идет через вольтметр:

\[ {{I}_{B}}=\frac{{{U}_{B}}}{{{R}_{B}}}. \]

I_В = 0,25 А.
Вольтметр и резисторы R₁ и R₂ соединены последовательно, значит:

I_В = I₁ = I₂ = I_1В2.

Найдем общее сопротивление вольтметра и резисторов R₁ и R₂:

R_1В2 = R₁ + R_В + R₂,

R_1В2 = 3,0 кОм.
Резисторы R_1В2 и резистор R₃ соединены параллельно, найдём напряжение на резисторе R₃:

U₃ = U_1В2 = R_1В2∙ I_1В2.

U₃ = 750 В.
Найдем ток который идет через резистор R₃:

\[ {{I}_{3}}=\frac{{{U}_{3}}}{{{R}_{3}}}. \]

I₃ = 0,75 А.
Найдем показание амперметра:

I = I_1В2 + I₃,

I = 1,0 А.
Ответ: 1) 1,0 А.

[Сергей]

Вариант 4. А15 Гибкий проволочный контур расположен перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля, модуль индукции которого В₁ =50 мТл сопротивление контура R = 0,25 Ом, площадь контура S₁ = 400 см². Если площадь контура и модуль индукции внешнего магнитного поля изменили до значений S₂ = 200 см² и В₂ = 20 мТл, то по контуру прошел заряд, равный:
1) 2,0 мКл; 2) 3,2 мКл; 3) 4,8 мКл; 4) 6,4 мКл; 5) 12 мКл.
Решение.
Заряд Q который пройдет по контуру, определим по формуле:

\[ Q=I\cdot \Delta t\ \ \ (1). \]

Силу тока можно определить по закону Ома:

\[ I=\frac{\xi }{R}\ \ \ (2). \]

Запишем формулу для определения ЭДС в замкнутом контуре:

\[ \xi =-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}\ \ \ (3). \]

Изменение магнитного потока ∆Ф определяется по формуле:

\[ \Delta \Phi =({{S}_{2}}\cdot {{B}_{2}}-{{S}_{1}}\cdot {{B}_{1}})\cdot \cos \alpha ,\ \cos \alpha =1,\ \Delta \Phi ={{S}_{2}}\cdot {{B}_{2}}-{{S}_{1}}\cdot {{B}_{1}}\ \ \ (4). \]

Подставим (4) (3) и (2) в (1) определим заряд который пройдет по контуру. 

\[ \begin{align}
  & Q=-\frac{{{S}_{2}}\cdot {{B}_{2}}-{{S}_{1}}\cdot {{B}_{1}}}{\Delta t\cdot R}\cdot \Delta t,\ Q=-\frac{{{S}_{2}}\cdot {{B}_{2}}-{{S}_{1}}\cdot {{B}_{1}}}{R}\ \ \ \ (5). \\
 & Q=-\frac{200\cdot {{10}^{-4}}\cdot 20\cdot {{10}^{-3}}-400\cdot {{10}^{-4}}\cdot 50\cdot {{10}^{-3}}}{0,25}=6,4\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Q = 6,4∙10^-3 Кл.
Ответ 4) 6,4 мКл.

[Сергей]

Вариант 4. А16 Расстояние между следующими друг за другом гребнями волн на поверхности воды l = 5,0 м. Если такая волна распространяется со скоростью, модуль которой υ = 2,5 м/с, то частицы воды совершают колебания с частотой:
1)12 Гц; 2) 3,1Гц; 3) 2,0 Гц; 4) 0,50 Гц; 5) 0,20 Гц.
Решение.
Расстояние между следующими друг за другом гребнями волн равно длине волны.
Частота с которой частицы воды совершают колебания определяется по формуле:

\[ \nu =\frac{\upsilon }{\lambda },\ \nu =\frac{\upsilon }{l}\ \ \ (1). \]

ν = 0,5 Гц.
Ответ: 4) 0,5 Гц.

[Сергей]

Вариант 4. А17 Космический корабль с собственной длиной l₀ = 100 м приближается к Земле со скоростью, модуль которой υ = 2,1∙10⁸ м/с.
Для наблюдателя, находящегося на Земле, его длина равна:
1) 42м; 2) 48м; 3) 54м; 4) 62м; 5) 71м.
Решение.
Линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается.

\[ l={{l}_{0}}\cdot \sqrt{1-\frac{{{\upsilon }^{2}}}{{{c}^{2}}}}\ \ \ (1). \]

с – скорость света, с = 3∙10⁸ м/с.
 l = 71 м.
Ответ 5) 71 м.

[Сергей]

Вариант 4. А18 Период полураспада радиоактивного ₅₅¹³⁷С z Т = 30 лет. Время, за которое распадется 75 % начального числа радиоактивных ядер цезия, составляет:
1) 45 лет; 3) 75 лет; 2) 60 лет; 4) 80 лет; 5) 90 лет.
Решение.
Запишем закон радиоактивного распада:

\[ N={{N}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}},\ \frac{N}{{{N}_{0}}}={{2}^{-\frac{t}{T}}}\ \ \ (1). \]

N – количество ядер которые не распались через время t, N₀ – количество ядер в начальный момент времени.
Распадается 75 %, начального числа радиоактивных ядер, остается 25 %.

\[ \frac{N}{{{N}_{0}}}=\frac{1}{4}\ \ \ (2). \]

Подставим (2) в (1) и выразим t:

\[ \frac{1}{4}={{2}^{-\frac{t}{T}}},\ \frac{1}{{{2}^{2}}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{t}{T}}}},\ t=2\cdot T. \]

t = 60 лет.
Ответ 2) 60 лет. 

[Сергей]

Вариант 4. В1. С горки высотой 10 м и длиной основания 5,0 м съезжаю без начальной скорости санки, и останавливаются, пройдя по горизонтальной поверхности некоторый путь s от основания горы.  Если коэффициент трения на всем пути 0,25, то путь s равен… м.
Решение.
Покажем рисунок. При наличии сопротивления закон сохранения энергии в замкнутой системе не соблюдается. Полная начальная энергия тела равна потенциальной энергии в точке А, полная конечная энергия в точке С равна нулю. Вся механическая энергия перейдет во внутреннюю энергию.

Е_А + А₁ + А₂ = 0   (1).

А₁ – работа силы трения на участке АВ, А₂ – работа силы трения на участке ВС.

Е_А = m∙g∙h   (2), А₁ = F_T1∙s₁∙соsβ₁    (3), А₂ = F_T2∙s∙соsβ₂    (4),
β₁ = β₂ = 180°, соs180° = -1 .

Определим работа силы трения на участке АВ. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, найдем силу трения на участке АВ.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}},\ {{{\vec{F}}}_{Tp1}}+{{{\vec{N}}}_{1}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{1}}, \\
 & oY:\ {{N}_{1}}-m\cdot g\cdot \cos \alpha =0,\ {{N}_{1}}=m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\ cos\alpha =\frac{l}{\sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}}}, \\
 & {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot {{N}_{1}},\ {{F}_{Tp1}}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \frac{l}{\sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}}}\ \ \ (5),\  \\
 & {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot \frac{l}{\sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}}}\cdot \sqrt{{{l}^{2}}+{{h}^{2}}},\ {{A}_{1}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot l\ \ \ (6). \\
\end{align} \]

Определим работа силы трения на участке ВС. Запишем второй закон Ньютона, найдем проекции на ось Оу, Запишем формулу для определения работы силы трения на участке ВС.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{Tp2}}+{{{\vec{N}}}_{2}}+m\cdot \vec{g}=m\cdot {{{\vec{a}}}_{2}}, \\
 & oY:\ {{N}_{2}}-m\cdot g=0,\ {{N}_{2}}=m\cdot g,\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot {{N}_{2}},\ {{F}_{Tp2}}=\mu \cdot m\cdot g\ \ \ (7),\  \\
 & {{A}_{2}}=-\mu \cdot m\cdot g\cdot s\ \ \ (8 ). \\
\end{align}
 \]

(6) (8 ) и (2) подставим в (1) определим путь s от основания горы пройденный санками до остановки.

\[ \begin{align}
  & m\cdot g\cdot h-\mu \cdot m\cdot g\cdot l-\mu \cdot m\cdot g\cdot s=0,\ \ h-\mu \cdot l=\mu \cdot s,\ s=\frac{h-\mu \cdot l}{\mu }. \\
 & s=\frac{10-0,25\cdot 5,0}{0,25}=35. \\
\end{align} \]

Ответ: 35 м.

[Сергей]

Вариант 4. В2. Модуль минимальной скорости, с которой должен двигаться мотоциклист по вертикальной цилиндрической стене диаметром D = 20 м при коэффициенте трения μ = 0,80, составляет ... м/с.
Решение.
Минимальная скорость будет достигнута в случае движения мотоциклиста по вертикальной стене и не соскальзывая вниз.
Покажем силы которые действуют на мотоциклиста и ускорение. Применим второй закон Ньютона.

\[ \begin{align}
  & \vec{F}=m\cdot \vec{a},\ {{{\vec{F}}}_{Tp}}+\vec{N}+m\cdot \vec{g}=m\cdot \vec{a},\  \\
 & Ox:\ N=m\cdot a\ \ \ (1),\ Oy:\ {{F}_{Tp}}-m\cdot g=0\ \ \ (2),\ {{F}_{Tp}}=\mu \cdot N\ \ \ \ (3),\ a=\frac{{{\upsilon }^{2}}}{R}\ \ \ \ (4),\ R=\frac{D}{2}\ \ \ (5), \\
 & {{F}_{Tp}}=m\cdot g,\ N=\frac{m\cdot g}{\mu },\ \frac{m\cdot g}{\mu }=m\cdot \frac{2\cdot {{\upsilon }^{2}}}{D},\ {{\upsilon }^{2}}=\frac{D\cdot g}{2\cdot \mu },\ \ \upsilon =\sqrt{\frac{D\cdot g}{2\cdot \mu }}. \\
 & \upsilon =\sqrt{\frac{20\cdot 10}{2\cdot 0,8}}=11,18. \\
\end{align} \]

Ответ: 11 м/с.

[Сергей]

Вариант 4. В3. Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух изохор. Работа идеального газа при изобарном расширении 2 → 3 А_2-3 = 1000 Дж. От нагревателя газ получил количество теплоты Q₁ = 4000 Дж. Если давление газа в точках 1 и 2 р₁ = 0,64 МПа и р₂ = 1,6 МПа, то КПД цикла равен.... %.
Решение.
КПД цикла определим по формуле:

\[ \eta =\frac{A}{{{Q}_{1}}}\cdot 100\ \ \ \ (1). \]

А – работа идеального газа за цикл.

А = А₁₂ + А₂₃ + А₃₄ + А₄₁   (2).

А₁₂ = А₃₄ = 0, так как 1 → 2 и 3 → 4 изохорный процесс.
Определим работу газа на участке 4 → 1.

\[ \begin{align}
  & {{A}_{41}}={{p}_{1}}\cdot ({{V}_{1}}-{{V}_{4}})\ \ \ (3),\ {{A}_{23}}={{p}_{2}}\cdot ({{V}_{4}}-{{V}_{1}}),\ ({{V}_{1}}-{{V}_{4}})=-\frac{{{A}_{23}}}{{{p}_{2}}},\ {{A}_{41}}=-{{p}_{1}}\cdot \frac{{{A}_{23}}}{{{p}_{2}}}\ \ \ (4). \\
 & A={{A}_{23}}-{{p}_{1}}\cdot \frac{{{A}_{23}}}{{{p}_{2}}},\ A={{A}_{23}}(1-\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}}),\ A={{A}_{23}}(\frac{{{p}_{2}}-{{p}_{1}}}{{{p}_{2}}})\ \ \ (5). \\
 & \eta =\frac{{{A}_{23}}({{p}_{2}}-{{p}_{1}})\ }{{{p}_{2}}\cdot {{Q}_{1}}}\cdot 100\ \ \ (6). \\
\end{align} \]

η = 15%
Ответ: 15 %.