Автор Тема: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 41583 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

iliya

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #30 : 02 Декабря 2010, 20:55 »
спасибо :D

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #31 : 22 Мая 2011, 13:45 »
53. Камень падает без начальной скорости в шахту. Через τ = 6 с слышен звук удара камня о дно. Определить глубину шахты, считая скорость звука υ постоянной и равной 330 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Время падения
τ = t1 + t2, (1)

где t1 — время падения камня, t2 — время, за которое звук поднялся со дна шахты. За тело отсчета выберем точку, лежащую на дне шахты, ось 0Y направим вверх (рис. 1).
Запишем уравнения движения камня (y1) и звука (y2) (для звука отсчет времени начнем сразу после падения камня):
 
\[ y_{1} = y_{01} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2}, \;\;\; y_{2} =y_{02} +\upsilon _{2y} \cdot t, \]

где y01 = h0 — глубина шахты, υ0y = 0 (камень падает без начальной скорости), ay = –g, y02 = 0 (звук начал двигаться со дна шахты), υ2y = υ2.
Через время t = t1 координата y1 = 0 (камень упал на дно), через время t = t2 после падения камня y2 = h0. Поэтому
 
\[ 0 = h_{0} -\frac{g \cdot t_{1}^{2} }{2}, \;\;\; h_{0} = \upsilon _{2} \cdot t_{2}. \]

С учетом уравнения (1) решим систему уравнений. Например,
 
\[ h_{0} = \upsilon _{2} \cdot \left(\tau -t_{1} \right), \; \; \; 0 = \upsilon _{2} \cdot \left(\tau -t_{1} \right)-\frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}, \; \; \; t_{1}^{2} + \frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot t_{1} -\frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot \tau = 0. \]

Получили квадратное уравнение относительно t1. Решим его и учтем, что t1 > 0:
 
\[ t_{1} = -\frac{\upsilon _{2} }{g} +\sqrt{\left(\frac{\upsilon _{2} }{g} \right)^{2} + \frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot \tau }. \]

В итоге получаем
 
\[ h_{0} = \frac{g \cdot t_{1}^{2} }{2} = \frac{g}{2} \cdot \left(-\frac{\upsilon _{2} }{g} +\sqrt{\left(\frac{\upsilon _{2} }{g} \right)^{2} +\frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot \tau } \right)^{2} = \frac{\upsilon _{2}^{2} }{2g} \cdot \left(-1+\sqrt{1+\frac{2g \cdot \tau }{\upsilon _{2} }} \right)^{2}, \]

h0 = 153 м.
« Последнее редактирование: 22 Мая 2011, 13:49 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #32 : 03 Июня 2012, 17:57 »
27. Пешеход переходит дорогу со скоростью υ = 4,2 км/ч по прямой, составляющей угол α = 30° с направлением дороги, в течение времени t = 60 с. Определить ширину дороги.
Решение. Пусть пешеход движется вдоль прямой АВ (рис. 1). Так как движение равномерное (по умолчанию), прямолинейное, то

AB = υ∙t.

Ширина дороги h на рисунке — это BC. Из прямоугольного треугольника ACB получаем:

h = BC = AC∙sin α = υ∙t∙sin α,
h = 35 м.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #33 : 03 Июня 2012, 18:00 »
28. Движение материальной точки описывается уравнениями x = 2 + 4t и у = 1 + 3t, в которых все величины выражены в единицах СИ. Найти скорость точки и уравнение ее траектории.
Решение. 1 способ. Из уравнений движения
\[x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,\; \; \; y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} ,\]
получаем, что ax = ay = 0, т.е. движение равномерное и

υx = 4 (м/с), υy = 3 (м/с).

2 способ. Для тех, кто знает производные: υx = x´, υy = y´.
Тогда скорость точки υ будет равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} } ,\]
υ = 5 м/с.

Для того, чтобы записать уравнение траектории (уравнение вида y(x)), выразим время t из уравнения x(t) и подставим в уравнение y(t):
\[t=\frac{x-2}{4} ,\; \; \; y=1+3\cdot \frac{x-2}{4} =0,75x-0,5.\]


Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #34 : 03 Июня 2012, 19:32 »
51. При какой посадочной скорости самолёты могут приземляться на поса-дочной полосе длиной l = 800 м при торможении с ускорением a = 5,0 м/с2.
Решение: воспользуемся уравнением, связывающим начальную скорость тела υ0 (её нужно определить), конечную скорость тела υ (в конце посадочной полосы эта скорость равна нулю), ускорения и пройденного пути (учтём, что при торможении ускорение направлено противоположно скорости):
\[ \begin{array}{l} {\upsilon ^{2} -\upsilon _{0}^{2} =2\cdot a\cdot l,} \\ {-\upsilon _{0}^{2} =2\cdot \left(-a\right)\cdot l,} \\ {\upsilon _{0} =\sqrt{2\cdot a\cdot l}.} \end{array} \]
Ответ: 89 м/с.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #35 : 03 Июня 2012, 19:34 »
52. С вышки высотой h = 10 м прыгает спортсмен и через τ = 1,8 с падает в воду. На сколько сопротивление воздуха увеличивает время падения? Начальную скорость принять равной нулю.
Решение: при свободном падении сопротивления воздуха отсутствует и все тела падают с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении:
\[ S=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}.  \]
В нашем случае S = h, υ0 = 0, a = g = 9,8 м/с2, тогда время падения t :
\[ \begin{array}{l} {h=\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,} \\ {t=\sqrt{\frac{2h}{g}} .} \end{array} \]
Искомая разность во времени:
\[ \Delta t=\tau -t=\tau -\sqrt{\frac{2h}{g}}. \]
Ответ: 0,37 с.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #36 : 03 Июня 2012, 21:43 »
50. Расстояние s = 18 км между двумя станциями поезд проходит со средней скоростью υcp = 54 км/ч, причём на разгон он тратит t1 = 2 мин, затем едет с постоянной скоростью и на замедление до полной остановки тратит t2 = 1 мин. Определить наибольшую скорость поезда.
Решение: изобразим график зависимости скорости поезда от времени его движения (см. рис), учтем, что время t1 поезд разгонялся до максимальной скорости υ, двигался равномерно некоторое время t а затем за время t2 снизил скорость до нуля. Путь, пройденный поездом за время движения, численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости поезда от времени. В нашем случае – фигура трапеция. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту трапеции:
\[ \begin{array}{l} {s=\frac{t+\left(t+t_{1} +t_{2} \right)}{2} \cdot \upsilon ,} \\ {\upsilon =\frac{2\cdot s}{2\cdot t+t_{1} +t_{2} } .} \end{array}  \]
Время движения с постоянной скоростью определим из средней скорости. Средняя скорость движения тела равна отношению пройденного пути ко времени движения тела:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{cp} =\frac{s}{t_{1} +t+t_{2} } ,} \\ {t=\frac{s}{\upsilon _{cp} } -t_{1} -t_{2}.} \end{array} \]
Искомая скорость:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =\frac{2\cdot s}{2\cdot \left(\frac{s}{\upsilon _{cp} } -t_{1} -t_{2} \right)+t_{1} +t_{2} } ,} \\ {\upsilon =\frac{2\cdot s}{\frac{2\cdot s}{\upsilon _{cp} } -t_{1} -t_{2} } .} \end{array} \]
Ответ:16,2 м/с = 58,4 км/ч.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #37 : 04 Июня 2012, 17:35 »
29. Скорость течения реки υt = 2,0 км/ч. Моторная лодка идет против течения со скоростью υ1 = 15 км/ч относительно берега. Определить скорость относительно берега и относительно воды, если лодка будет двигаться по течению.
Решение. Пусть υm — собственная скорость моторной лодки (или скорость лодки относительно воды υm = υm/t), υ1 — скоростью лодки относительно берега при движении против течения, υ2 — скоростью лодки относительно берега при движении по течению. Так как требуется найти скорость лодки относительно воды υm/t, то скорость воды (скорость течения υt = 2,0 км/ч) — это скорость подвижной системы. Во всех случаях ось 0Х будем направлять вдоль скорости υm.
1 случай: лодка идет против течения (рис. 1). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде (т.к. υ1 > υt, то υ1x > 0):
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]
0Х: υ1 = –υt + υm,   υm = υ1 + υt,

υm = 17 км/ч. Собственная скорость (скорость относительно воды) не зависит от направления движения.

2 случай: лодка идет по течению (рис. 2). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{2} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]
0Х: υ2 = υt + υm,
υ2 = 19 км/ч.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #38 : 04 Июня 2012, 19:13 »
30. Корабль, длина которого L = 240 м, движется прямолинейно в неподвижной воде со скоростью υkp = 36 км/ч. Катер проходит расстояние от кормы движущегося корабля до его носа и обратно за время t = 70 с. Определить скорость катера.
Решение. Пусть υkt — скорость катера, Так как задано время движения относительно корабля, то скорость корабля υkp — это скорость подвижной системы. Тогда υ1 — скоростью катера относительно корабля в первом случае, υ2 — скоростью катера относительно корабля во втором случае. Во всех случаях ось 0Х будем направлять вдоль скорости υkp.
1 случай: катер проходит расстояние от кормы движущегося корабля до его носа, т.е. движется в ту же сторону, что и корабль (рис. 1). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{kt} =\vec{\upsilon }_{kp} +\vec{\upsilon }_{kt/kp1} ,\]
0Х: υkt = υkp + υkt/kp1x,   υkt/kp1x = υkt – υkp.

В этом случае катер совершает относительно корабля перемещение Δrkt/kp1x = Lrkt/kp1x > 0, т.к. катер движется вдоль 0Х), причем

Δrkt/kp1x = L = υkt/kp1xt1 = (υkt – υkp)∙t1,   (1)

t1 — время движения катера относительно корабля в первом случае.

2 случай: катер проходит расстояние от носа корабля до его кормы, т.е. движется в противоположную сторону движения корабля (рис. 2). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{kt} =\vec{\upsilon }_{kp} +\vec{\upsilon }_{kt/kp2} ,\]
0Х: –υkt = υkp + υkt/kp2x,   υkt/kp2x = –υkt – υkp.

В этом случае катер совершает относительно корабля перемещение Δrkt/kp2x = –Lrkt/kp2x < 0, т.к. катер движется против 0Х), причем

Δrkt/kp2x = –L = υkt/kp2xt1 = (–υkt – υkp)∙t2,   (2)

t1 — время движения катера относительно корабля в первом случае.

По условию
t1 + t2 = t.   (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[\begin{array}{c} {t=\frac{L}{\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} } +\frac{-L}{-\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} } =\frac{L}{\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} } +\frac{L}{\upsilon _{kt} +\upsilon _{kp} } =} \\ {=L\cdot \frac{\upsilon _{kt} +\upsilon _{kp} +\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} }{\left(\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} \right)\cdot \left(\upsilon _{kt} +\upsilon _{kp} \right)} =L\cdot \frac{2\upsilon _{kt} }{\upsilon _{kt}^{2} -\upsilon _{kp}^{2} } ,} \\ {\left(\upsilon _{kt}^{2} -\upsilon _{kp}^{2} \right)\cdot t-2\upsilon _{kt} \cdot L=0,\; \; \; \; \upsilon _{kt}^{2} -2\upsilon _{kt} \cdot \frac{L}{t} -\upsilon _{kp}^{2} =0.} \end{array}\]
Получили квадратное уравнение относительно неизвестной υkt. Корни этого уравнения (учтем, что υkt > 0):
\[\upsilon _{kt} =\frac{L}{t} +\sqrt{\left(\frac{L}{t} \right)^{2} +\upsilon _{kp}^{2} } ,\]
υkt = 14 м/с.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #39 : 04 Июня 2012, 20:12 »
49. Автомобиль проехал половину пути со скоростью υ1 = 60 км/ч. Половину времени, затраченного на преодоление  оставшейся части пути, он двигался со скоростью υ2 = 15 км/ч, а на последнем участке – со скоростью υ3 = 45 км/ч. Найти среднюю скорость прохождения всего пути.
Решение: средняя скорость движения тела равна отношению пройденного пути ко времени движения тела:
\[ \upsilon _{cp} =\frac{s}{t}. \]
Введём обозначения: l – половина пути, тогда весь путь:
s = 2l.
t1 -  время, затраченное на прохождение первой половины пути, которое определим, зная скорость движения на первой половине:
\[ t_{1} =\frac{l}{\upsilon _{1}}. \]
t2 - половина времени, затраченного на преодоление оставшейся части пути (второй половины).Определим его, зная скорости движения на второй половине пути:
\[ \begin{array}{l} {l=\upsilon _{2} \cdot t_{2} +\upsilon _{3} \cdot t_{2} ,} \\ {t_{2} =\frac{l}{\upsilon _{2} +\upsilon _{3}}.} \end{array} \]
Получаем, что всё время движения:
t = t1 + 2∙t2.
Средняя скорость:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{cp} =\frac{2\cdot l}{t_{1} +2\cdot t_{2} } =\frac{2\cdot l}{\frac{l}{\upsilon _{1} } +2\cdot \frac{l}{\upsilon _{2} +\upsilon _{3} } } =\frac{2}{\frac{1}{\upsilon _{1} } +\frac{2}{\upsilon _{2} +\upsilon _{3} } } ,} \\ {\upsilon _{cp} =\frac{2\cdot \upsilon _{1} \cdot \left(\upsilon _{2} +\upsilon _{3} \right)}{2\cdot \upsilon _{1} +\upsilon _{2} +\upsilon _{3}}.} \end{array} \]
Ответ: 40 км/ч.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24