Кинематика из сборника Савченко Н.Е.

[iliya]

спасибо

[alsak]

53. Камень падает без начальной скорости в шахту. Через τ = 6 с слышен звук удара камня о дно. Определить глубину шахты, считая скорость звука υ постоянной и равной 330 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Время падения

τ = t₁ + t₂, (1)

где t₁ — время падения камня, t₂ — время, за которое звук поднялся со дна шахты. За тело отсчета выберем точку, лежащую на дне шахты, ось 0Y направим вверх (рис. 1).
Запишем уравнения движения камня (y₁) и звука (y₂) (для звука отсчет времени начнем сразу после падения камня):
 

\[ y_{1} = y_{01} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2}, \;\;\; y_{2} =y_{02} +\upsilon _{2y} \cdot t, \]

где y₀₁ = h₀ — глубина шахты, υ_0y = 0 (камень падает без начальной скорости), a_y = –g, y₀₂ = 0 (звук начал двигаться со дна шахты), υ_2y = υ₂.
Через время t = t₁ координата y₁ = 0 (камень упал на дно), через время t = t₂ после падения камня y₂ = h₀. Поэтому
 

\[ 0 = h_{0} -\frac{g \cdot t_{1}^{2} }{2}, \;\;\; h_{0} = \upsilon _{2} \cdot t_{2}. \]

С учетом уравнения (1) решим систему уравнений. Например,
 

\[ h_{0} = \upsilon _{2} \cdot \left(\tau -t_{1} \right), \; \; \; 0 = \upsilon _{2} \cdot \left(\tau -t_{1} \right)-\frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}, \; \; \; t_{1}^{2} + \frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot t_{1} -\frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot \tau = 0. \]

Получили квадратное уравнение относительно t₁. Решим его и учтем, что t₁ > 0:
 

\[ t_{1} = -\frac{\upsilon _{2} }{g} +\sqrt{\left(\frac{\upsilon _{2} }{g} \right)^{2} + \frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot \tau }. \]

В итоге получаем
 

\[ h_{0} = \frac{g \cdot t_{1}^{2} }{2} = \frac{g}{2} \cdot \left(-\frac{\upsilon _{2} }{g} +\sqrt{\left(\frac{\upsilon _{2} }{g} \right)^{2} +\frac{2}{g} \cdot \upsilon _{2} \cdot \tau } \right)^{2} = \frac{\upsilon _{2}^{2} }{2g} \cdot \left(-1+\sqrt{1+\frac{2g \cdot \tau }{\upsilon _{2} }} \right)^{2}, \]

h₀ = 153 м.

[alsak]

27. Пешеход переходит дорогу со скоростью υ = 4,2 км/ч по прямой, составляющей угол α = 30° с направлением дороги, в течение времени t = 60 с. Определить ширину дороги.
Решение. Пусть пешеход движется вдоль прямой АВ (рис. 1). Так как движение равномерное (по умолчанию), прямолинейное, то

AB = υ∙t.

Ширина дороги h на рисунке — это BC. Из прямоугольного треугольника ACB получаем:

h = BC = AC∙sin α = υ∙t∙sin α,

h = 35 м.

[alsak]

28. Движение материальной точки описывается уравнениями x = 2 + 4t и у = 1 + 3t, в которых все величины выражены в единицах СИ. Найти скорость точки и уравнение ее траектории.
Решение. 1 способ. Из уравнений движения
\[x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,\; \; \; y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} ,\]
получаем, что a_x = a_y = 0, т.е. движение равномерное и

υ_x = 4 (м/с), υ_y = 3 (м/с).

2 способ. Для тех, кто знает производные: υ_x = x´, υ_y = y´.
Тогда скорость точки υ будет равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} } ,\]
υ = 5 м/с.

Для того, чтобы записать уравнение траектории (уравнение вида y(x)), выразим время t из уравнения x(t) и подставим в уравнение y(t):
\[t=\frac{x-2}{4} ,\; \; \; y=1+3\cdot \frac{x-2}{4} =0,75x-0,5.\]

[Kivir]

51. При какой посадочной скорости самолёты могут приземляться на поса-дочной полосе длиной l = 800 м при торможении с ускорением a = 5,0 м/с².
Решение: воспользуемся уравнением, связывающим начальную скорость тела υ₀ (её нужно определить), конечную скорость тела υ (в конце посадочной полосы эта скорость равна нулю), ускорения и пройденного пути (учтём, что при торможении ускорение направлено противоположно скорости):
\[ \begin{array}{l} {\upsilon ^{2} -\upsilon _{0}^{2} =2\cdot a\cdot l,} \\ {-\upsilon _{0}^{2} =2\cdot \left(-a\right)\cdot l,} \\ {\upsilon _{0} =\sqrt{2\cdot a\cdot l}.} \end{array} \]
Ответ: 89 м/с.

[Kivir]

52. С вышки высотой h = 10 м прыгает спортсмен и через τ = 1,8 с падает в воду. На сколько сопротивление воздуха увеличивает время падения? Начальную скорость принять равной нулю.
Решение: при свободном падении сопротивления воздуха отсутствует и все тела падают с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении:
\[ S=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}.  \]
В нашем случае S = h, υ₀ = 0, a = g = 9,8 м/с², тогда время падения t :
\[ \begin{array}{l} {h=\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,} \\ {t=\sqrt{\frac{2h}{g}} .} \end{array} \]
Искомая разность во времени:
\[ \Delta t=\tau -t=\tau -\sqrt{\frac{2h}{g}}. \]
Ответ: 0,37 с.

[Kivir]

50. Расстояние s = 18 км между двумя станциями поезд проходит со средней скоростью υ_cp = 54 км/ч, причём на разгон он тратит t₁ = 2 мин, затем едет с постоянной скоростью и на замедление до полной остановки тратит t₂ = 1 мин. Определить наибольшую скорость поезда.
Решение: изобразим график зависимости скорости поезда от времени его движения (см. рис), учтем, что время t₁ поезд разгонялся до максимальной скорости υ, двигался равномерно некоторое время t а затем за время t₂ снизил скорость до нуля. Путь, пройденный поездом за время движения, численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости поезда от времени. В нашем случае – фигура трапеция. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту трапеции:
\[ \begin{array}{l} {s=\frac{t+\left(t+t_{1} +t_{2} \right)}{2} \cdot \upsilon ,} \\ {\upsilon =\frac{2\cdot s}{2\cdot t+t_{1} +t_{2} } .} \end{array}  \]
Время движения с постоянной скоростью определим из средней скорости. Средняя скорость движения тела равна отношению пройденного пути ко времени движения тела:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{cp} =\frac{s}{t_{1} +t+t_{2} } ,} \\ {t=\frac{s}{\upsilon _{cp} } -t_{1} -t_{2}.} \end{array} \]
Искомая скорость:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon =\frac{2\cdot s}{2\cdot \left(\frac{s}{\upsilon _{cp} } -t_{1} -t_{2} \right)+t_{1} +t_{2} } ,} \\ {\upsilon =\frac{2\cdot s}{\frac{2\cdot s}{\upsilon _{cp} } -t_{1} -t_{2} } .} \end{array} \]
Ответ:16,2 м/с = 58,4 км/ч.

[alsak]

29. Скорость течения реки υ_t = 2,0 км/ч. Моторная лодка идет против течения со скоростью υ₁ = 15 км/ч относительно берега. Определить скорость относительно берега и относительно воды, если лодка будет двигаться по течению.
Решение. Пусть υ_m — собственная скорость моторной лодки (или скорость лодки относительно воды υ_m = υ_m/t), υ₁ — скоростью лодки относительно берега при движении против течения, υ₂ — скоростью лодки относительно берега при движении по течению. Так как требуется найти скорость лодки относительно воды υ_m/t, то скорость воды (скорость течения υ_t = 2,0 км/ч) — это скорость подвижной системы. Во всех случаях ось 0Х будем направлять вдоль скорости υ_m.
1 случай: лодка идет против течения (рис. 1). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде (т.к. υ₁ > υ_t, то υ_1x > 0):
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]

0Х: υ₁ = –υ_t + υ_m,   υ_m = υ₁ + υ_t,

υ_m = 17 км/ч. Собственная скорость (скорость относительно воды) не зависит от направления движения.

2 случай: лодка идет по течению (рис. 2). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{2} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]

0Х: υ₂ = υ_t + υ_m,

υ₂ = 19 км/ч.

[alsak]

30. Корабль, длина которого L = 240 м, движется прямолинейно в неподвижной воде со скоростью υ_kp = 36 км/ч. Катер проходит расстояние от кормы движущегося корабля до его носа и обратно за время t = 70 с. Определить скорость катера.
Решение. Пусть υ_kt — скорость катера, Так как задано время движения относительно корабля, то скорость корабля υ_kp — это скорость подвижной системы. Тогда υ₁ — скоростью катера относительно корабля в первом случае, υ₂ — скоростью катера относительно корабля во втором случае. Во всех случаях ось 0Х будем направлять вдоль скорости υ_kp.
1 случай: катер проходит расстояние от кормы движущегося корабля до его носа, т.е. движется в ту же сторону, что и корабль (рис. 1). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{kt} =\vec{\upsilon }_{kp} +\vec{\upsilon }_{kt/kp1} ,\]

0Х: υ_kt = υ_kp + υ_kt/kp1x,   υ_kt/kp1x = υ_kt – υ_kp.

В этом случае катер совершает относительно корабля перемещение Δr_kt/kp1x = L (Δr_kt/kp1x > 0, т.к. катер движется вдоль 0Х), причем

Δr_kt/kp1x = L = υ_kt/kp1x∙t₁ = (υ_kt – υ_kp)∙t₁,   (1)

t₁ — время движения катера относительно корабля в первом случае.

2 случай: катер проходит расстояние от носа корабля до его кормы, т.е. движется в противоположную сторону движения корабля (рис. 2). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{kt} =\vec{\upsilon }_{kp} +\vec{\upsilon }_{kt/kp2} ,\]

0Х: –υ_kt = υ_kp + υ_kt/kp2x,   υ_kt/kp2x = –υ_kt – υ_kp.

В этом случае катер совершает относительно корабля перемещение Δr_kt/kp2x = –L (Δr_kt/kp2x < 0, т.к. катер движется против 0Х), причем

Δr_kt/kp2x = –L = υ_kt/kp2x∙t₁ = (–υ_kt – υ_kp)∙t₂,   (2)

t₁ — время движения катера относительно корабля в первом случае.

По условию

t₁ + t₂ = t.   (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[\begin{array}{c} {t=\frac{L}{\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} } +\frac{-L}{-\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} } =\frac{L}{\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} } +\frac{L}{\upsilon _{kt} +\upsilon _{kp} } =} \\ {=L\cdot \frac{\upsilon _{kt} +\upsilon _{kp} +\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} }{\left(\upsilon _{kt} -\upsilon _{kp} \right)\cdot \left(\upsilon _{kt} +\upsilon _{kp} \right)} =L\cdot \frac{2\upsilon _{kt} }{\upsilon _{kt}^{2} -\upsilon _{kp}^{2} } ,} \\ {\left(\upsilon _{kt}^{2} -\upsilon _{kp}^{2} \right)\cdot t-2\upsilon _{kt} \cdot L=0,\; \; \; \; \upsilon _{kt}^{2} -2\upsilon _{kt} \cdot \frac{L}{t} -\upsilon _{kp}^{2} =0.} \end{array}\]
Получили квадратное уравнение относительно неизвестной υ_kt. Корни этого уравнения (учтем, что υ_kt > 0):
\[\upsilon _{kt} =\frac{L}{t} +\sqrt{\left(\frac{L}{t} \right)^{2} +\upsilon _{kp}^{2} } ,\]
υ_kt = 14 м/с.

[Kivir]

49. Автомобиль проехал половину пути со скоростью υ₁ = 60 км/ч. Половину времени, затраченного на преодоление  оставшейся части пути, он двигался со скоростью υ₂ = 15 км/ч, а на последнем участке – со скоростью υ₃ = 45 км/ч. Найти среднюю скорость прохождения всего пути.
Решение: средняя скорость движения тела равна отношению пройденного пути ко времени движения тела:
\[ \upsilon _{cp} =\frac{s}{t}. \]
Введём обозначения: l – половина пути, тогда весь путь:

s = 2l.

t₁ -  время, затраченное на прохождение первой половины пути, которое определим, зная скорость движения на первой половине:
\[ t_{1} =\frac{l}{\upsilon _{1}}. \]
t₂ - половина времени, затраченного на преодоление оставшейся части пути (второй половины).Определим его, зная скорости движения на второй половине пути:
\[ \begin{array}{l} {l=\upsilon _{2} \cdot t_{2} +\upsilon _{3} \cdot t_{2} ,} \\ {t_{2} =\frac{l}{\upsilon _{2} +\upsilon _{3}}.} \end{array} \]
Получаем, что всё время движения:

t = t₁ + 2∙t₂.

Средняя скорость:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{cp} =\frac{2\cdot l}{t_{1} +2\cdot t_{2} } =\frac{2\cdot l}{\frac{l}{\upsilon _{1} } +2\cdot \frac{l}{\upsilon _{2} +\upsilon _{3} } } =\frac{2}{\frac{1}{\upsilon _{1} } +\frac{2}{\upsilon _{2} +\upsilon _{3} } } ,} \\ {\upsilon _{cp} =\frac{2\cdot \upsilon _{1} \cdot \left(\upsilon _{2} +\upsilon _{3} \right)}{2\cdot \upsilon _{1} +\upsilon _{2} +\upsilon _{3}}.} \end{array} \]
Ответ: 40 км/ч.