Автор Тема: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 41513 раз)

0 Пользователей и 2 Гостей просматривают эту тему.

Vlad

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #20 : 21 Ноября 2010, 13:32 »
задача 55
не сходится с ответом
у меня получилось квадратное уравнение в конце
\[ t^2+4t-25=0 \]
это правильно?

Vlad

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #21 : 21 Ноября 2010, 13:37 »
71 задача
1 часть задачи, где тело брошено вертикально вверх
тоже квадратное уравнение в конце
\[ t^2-3t-4=0 \]
корни получаются 4 и "-1"
"-1" по смыслу не подходит, время не может же быть отрицательным, а если 4 то с ответом не сходится!
а если предположить что "-1" то всё сходится!почему?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #22 : 21 Ноября 2010, 16:50 »
задача 55
не сходится с ответом
у меня получилось квадратное уравнение в конце
\[ t^2+4t-25=0 \]
это правильно?

55. Расстояние между двумя свободно падающими каплями через время t = 2 с после начала падения второй капли было l = 25 м. На сколько позднее начала падать вторая капля? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение. Уравнения движений капель:
y1 = y0g⋅t12/2,    y2 = y0g⋅t22/2,

где t1 = t2 + Δt, т.к. первая капля начала падать на Δt раньше. Расстояние между каплями через t = t2 = 2 с
 
\[ l = y_{2} - y_{1} = \frac{g}{2} \cdot \left(t_{1}^{2} - t_{2}^{2} \right) =
\frac{g}{2} \cdot \left(\left(t_{2} + \Delta t\right)^{2} - t_{2}^{2} \right) =
\frac{g}{2} \cdot \left(2t_{2} \cdot \Delta t + \Delta t^{2} \right), \]

\[ \Delta t^{2} + 2t_{2} \cdot \Delta t - \frac{2l}{g} = 0,\, \, \, \,
\Delta t^{2} +4\Delta t - 5=0,
 \]

Δt = 1 c и Δt = –5 c. Второй ответ не подходит по смыслу, т.к. получается что первая капля падает на 5 с позже второй.
« Последнее редактирование: 02 Августа 2012, 19:43 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #23 : 21 Ноября 2010, 17:28 »
71 задача
1 часть задачи, где тело брошено вертикально вверх тоже квадратное уравнение в конце
\[ t^2-3t-4=0 \]
корни получаются 4 и "-1"
"-1" по смыслу не подходит, время не может же быть отрицательным, а если 4 то с ответом не сходится! а если предположить что "-1" то всё сходится!почему?

71. Два тела бросают с высоты h = 20 м со скоростью υ0 = 15 м/с каждое. С какими скоростями тела упадут на землю, если первое тело брошено вертикально вверх, а второе — горизонтально? Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Сопротивление воздуха не учитывать. Задачу решить без применения закона сохранения энергии.

Решение: Систему отсчёта свяжем с землёй. Ось 0Y направим вертикально вверх, ось 0X по начальному направлению движения тела (рис. 1). Запишем уравнения движения тел (зависимость координаты тела от времени) и проекции скоростей для первого тела:
\[y_{1} =y_{0} +\upsilon _{01y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{1y} =\upsilon _{01y} +g_{y} \cdot t,\]
и второго
\[\begin{array}{c} {y_{2} =y_{0} +\upsilon _{02y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{2y} =\upsilon _{02y} +g_{y} \cdot t, \; \; \; \; \upsilon _{2x} =\upsilon _{02x} +g_{x} \cdot t,} \end{array}\]
где y0 = h, υ01y = υ0, υ02y = 0, υ02x = υ0, gy = –g, gx = 0. Тогда
\[\begin{array}{c} {y_{1} =h+\upsilon _{0} \cdot t-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\; \; (1)\; \; \; \; \;  \upsilon _{1y} =\upsilon _{0} -g\cdot t,\; \; (2)} \\ {y_{2} =h-\frac{g\cdot t^{2} }{2} ,\; \; (3) \; \; \; \; \upsilon _{2y} = -g\cdot t, \; \; (4) \; \; \; \; \upsilon _{2x} =\upsilon _{0} .\; \; (5)} \end{array}\]
Конечную скорость тела будем находить по формуле
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} }. \; \; (6)\]

Для первого тела. Пусть тело упадет на Землю (y1 = 0) через время t1. Тогда из уравнения (1) получаем
\[0=h+\upsilon _{0} \cdot t_{1} -\frac{g\cdot t_{1}^{2} }{2} \]
или после подстановки чисел

20 + 15t1 – 5t12 = 0.

Получили квадратное уравнение, корни которого t1 = 4 c и t1 = –1 c. Второй ответ не подходит по смыслу, т.к. это время до бросания тела. После подстановки t1 = 4 c в уравнение (2) получаем υ1y = –25 м/с. Тогда конечная скорость первого тела (υ1x = 0), с учетом уравнения (6), будет равна
υ1 = 25 м/с.

Для второго тела. Пусть тело упадет на Землю (y2 = 0) через время t2, тогда из уравнения (3) получаем
\[0=h-\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2}, \; \; \; t_{2} =\sqrt{\frac{2h}{g} },\]
t2 = 2 c.
После подстановки t2 = 2 c в уравнения (4) и (5) получаем υ2y = –20 м/с, υ = 15 м/с. Тогда конечная скорость второго тела, с учетом уравнения (6), будет равна
υ2 = 25 м/с.

Примечание. Эту задачу можно было решить, используя уравнение
\[y=y_{0} +\frac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } .\]

« Последнее редактирование: 11 Августа 2012, 16:24 от alsak »

iliya

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #24 : 21 Ноября 2010, 19:47 »
напишите пожалуйста решение задачи №56    :'(

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #25 : 22 Ноября 2010, 18:37 »
56. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты h = 270 м. Разделить эту высоту на 3 части, такие, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось бы одно и то же время. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Уравнение движения свободно падающего тела
y = h – g⋅t2/2. (1)

Найдем полное время падения t0 (учтем, что при t = t0 координата y = 0):
 
\[ h - \frac{g\cdot t_{0}^{2}}{2} = 0,\, \, \, t_{0} = \sqrt{\frac{2h}{g}}. \]

Можно (но не обязательно) подсчитать t0 = 7,35 c. По условию (рис. ) t1 = t2 = t3 = t0/3 (= 2,45 c).
Теперь наша задача найти длины отрезков AB, BC и C0. Для этого найдем координаты этих отрезков.
Через время t = t1 координата тела y = yB. Тогда из уравнения (1) получаем
yB = h – g⋅t12/2, yB = 240 м.
Или в общем виде
\[ y_{B} = h - \frac{g}{2} \cdot \frac{t_{0}^{2}}{9} =
h - \frac{g}{2} \cdot \frac{2h}{9g} = \frac{8h}{9}. \]

Через время t = t1 + t2 = 2t1 (t1 = t2) координата тела y = yC. Тогда из уравнения (1) получаем

yC = h – g⋅4t12/2 = h – 2g⋅t12, yC = 150 м.

Или в общем виде
\[ y_{B} = h - 2g \cdot \frac{t_{0}^{2}}{9} =
h - 2g \cdot \frac{2h}{9g} = \frac{5h}{9}. \]

Длина отрезка AB = yA – yB = h – yB, AB = 30 м.
Длина отрезка BС = yB – yC, BC = 90 м.
Длина отрезка С0 = yC – 0, C0 = 150 м.
В общем виде длины отрезков сделайте самостоятельно.

iliya

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #26 : 27 Ноября 2010, 10:58 »
напишите пожалуйста решение задачи №73

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #27 : 27 Ноября 2010, 17:25 »
73. Найти начальную и конечную скорости камня, брошенного горизонтально с высоты H = 5,0 м, если по горизонтали он пролетел расстояние s = 10 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y0 = H, x0 = 0 (рис. 1).
Запишем уравнения проекций скорости и координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение g направлено вертикально вниз.
На ось 0Х: υх = υ0х = υ0, x = x0 + υ0t, т.к. ax = 0.
На оси 0Y: υy = υ0y + gy⋅t, y = y0 + υ0yt + gy⋅t2/2, где υ0y = 0, gy = –g. Тогда υy = –g⋅t, y = H – g⋅t2/2.
Обозначим υ1 — скорость камня в момент касания земли (рис. 2):
 
\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon _{1x}^{2} +\upsilon _{1y}^{2}}. \]

Найдем υ1х и υ1у.
Пусть в некоторый момент времени t = t1 камень упал на землю, тогда y = 0, x = s (по условию):

х = s = υ0t1 (1), 0 = H – g⋅t12/2 (2), υ1y = –g⋅t1 (3).

Решим систему уравнений (1)-(2):
 
\[ \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = H,\, \, \,
t_{1} = \sqrt{\frac{2H}{g}} ,\, \, \, \,
\upsilon _{0} = \frac{s}{t_{1}} = s\cdot \sqrt{\frac{g}{2H}}, \]

υ1х = υ0 = 10 м/с.
Из уравнения (3) получаем
 
\[ \upsilon _{1y} = -g \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}} = -\sqrt{2g \cdot H}. \]

Тогда
 
\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\frac{g \cdot s^{2}}{2H} + 2g \cdot H},
 \]
υ1 = 14 м/с.
« Последнее редактирование: 28 Ноября 2010, 10:00 от alsak »

iliya

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #28 : 01 Декабря 2010, 20:27 »
напишите пожалуйста решение задачи №78

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #29 : 02 Декабря 2010, 09:20 »
78. С высоты h над поверхностью земли тело брошено под углом к горизонту со скоростью υ0. Чему равна скорость, с которой тело падает на землю? Задачу решить без применения закона сохранения энергии. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y0 = h, x0 = 0 (рис. 1). Обозначим угол, под которым тело брошено к горизонту, буквой α.
Запишем уравнения проекций скорости и координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение g направлено вертикально вниз.
На ось 0Х: υх = υ0х = υ0⋅cos α (рис. 2), т.к. ax = 0.
На оси 0Y: υy = υ0y + gy⋅t, y = y0 + υ0yt + gy⋅t2/2, где υ0y = υ0⋅sin α, gy = –g. Тогда υy = υ0⋅sin α – g⋅t, y = h + υ0⋅sin α⋅tg⋅t2/2.
Обозначим υ1 — скорость камня в момент касания земли (рис. 3):
 
\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon_{1x}^{2} +\upsilon_{1y}^{2}},\;\;\; (1) \]

где υ1х = υ0х = υ0⋅cos α. Найдем υ1у.
Пусть в некоторый момент времени t = t1 камень упал на землю, тогда y = 0, υу = υ1y:

υ1y = υ0⋅sin α – g⋅t1 (2), 0 = h + υ0⋅sin α⋅t1g⋅t12/2 (3).

Можно решить квадратное уравнение и найти t1 из уравнения (3), а затем подставить в уравнение (2). А можно воспользоваться следующим уравнением:
 
\[ \upsilon_{0y} \cdot t_{1} - \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} =
\frac{\upsilon_{1y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2}}{-2g}.
 \]
Тогда из уравнения (3)
 
\[ 0 = h + \frac{\upsilon_{1y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2}}{-2g} ,\, \, \,
\upsilon_{1y}^{2} - \upsilon_{0y}^{2} = 2g \cdot h ,\, \, \,
\upsilon_{1y}^{2} = 2g \cdot h + \upsilon_{0y}^{2} =
2g \cdot h + \left(\upsilon_{0} \cdot \sin \alpha \right)^{2}. \]

После подстановки в уравнение (1) получаем:

\[ \upsilon_{1} = \sqrt{\left(\upsilon_{0} \cdot \cos \alpha \right)^{2} +
2g \cdot h + \left(\upsilon_{0} \cdot \sin \alpha \right)^{2}} =
\sqrt{2g \cdot h + \upsilon_{0}^{2} \cdot \left(\cos^{2} \alpha +
\sin^{2} \alpha \right)} = \sqrt{2g \cdot h + \upsilon_{0}^{2}}. \]

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24