Путь и перемещение при движении по окружности

[Luzer]

Уравнение движения тела имеет следующий вид  х=3⋅sin 2πt и y = 3⋅cos 2пt. Найдите путь пройденный за 1 секунду и модуль перемещения за 1 секунду.

[alsak]

С такими уравнениями движения тело будет двигаться по окружности с радиусом 3 м с угловой скоростью ω = 2π. Докажем это:

x² + y² = 3²⋅(sin² (2πt) + cos² (2πt)) = 3²,

и сравните с уравнением окружности:

x² + y² = R².

Пройденный путь

s = υ⋅t = ω⋅R⋅t, s = 6π = 18,8 м.

Модуль перемещение Δr будет равен длине хорды, которая равна

Δr = 2R⋅sin (φ/2),

где φ = ω⋅t — угловое перемещение. Тогда Δr = 0.
Если нужны рисунки — сообщите.

Примечание. Можно было проще найти путь и перемещение в этой задаче. Найдем период вращения тела:
\[ T=\frac{2\pi }{\omega }, \]
T = 1 c. Тогда пройденный путь за 1 с — это длина окружности — 2π⋅R, а  перемещение равно нулю.

Укажите название книги, откуда взяли задачу.

[Luzer]

В ближайшем будущем  укажу автора(справочник у учителя спрошу) спс за ответ,немогли бы вы по подробней расписать? Я просто 10й класс и не имею понятия о φ и о угловом перемещении

[Luzer]

Рисунки желательны для понимания

[alsak]

Я просто 10й класс и не имею понятия о φ и о угловом перемещении

Это проходят в 9 классе в Кинематике "Движении по окружности".

[Luzer]

Я не понял почему при возведении х в квадрат возводится толлько 3 и sin а не  возводится 2пt.
Почему υ⋅t = ω⋅R⋅t? и как нашли w в будущем напечатав что ответ 18.8?
Во втором решении так же не понятно как нашли w а сказали сразу что период равен 1.
W-это циклическая частота?

[alsak]

Я не понял почему при возведении х в квадрат возводится только 3 и sin а не  возводится 2пt.

Это тонкости обозначений математики: (sin 2π⋅t)² записывается как sin² 2π⋅t. Просто sin (без аргумента) нельзя возвести в квадрат.

Почему υ⋅t = ω⋅R⋅t?

При движении по окружности линейная скорость υ и угловая скорость ω связаны таким соотношением:

υ = ω⋅R.

как нашли w в будущем, напечатав что ответ 18.8?

То что ω = 2π следует из уравнения x. Почему так? Это вам будут объяснять, когда пройдете (или проходили) уравнение гармонических колебаний. Если вы этого не прошли, то не понятно с какой целью ваш учитель дал вам такое задание сейчас.

Во втором решении так же не понятно как нашли w а сказали сразу что период равен 1. W-это циклическая частота?

А зачем два раза повторять, что ω = 2π? При движении по окружности ω — это угловая скорость, для гармонических колебаний — циклическая частота (просто другое название той же величины).

[Luzer]

спасибо что разъяснили,а можно было найти путь через формулу длины окружности? С=2пR   C-путь  С=3х2х3.14=18.8... Численно ответ помоему то же.

[alsak]

А я не то же самое писал:

Примечание. Можно было проще найти путь и перемещение в этой задаче. Найдем период вращения тела:
\[ T=\frac{2\pi }{\omega }, \]
T = 1 c. Тогда пройденный путь за 1 с — это длина окружности — 2π⋅R, а  перемещение равно нулю.