Автор Тема: В дифференциальном вороте используется цепь, погонный метр которой  (Прочитано 3733 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

vlados92

  • Гость
Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить задачу.

В дифференциальном вороте, который схематически изображен на рисунке, используется цепь, погонный метр которой содержит N звеньев. Шкивы верхнего блока снабжены зубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем шкив большего диаметра имеет n зубцов, а шкив меньшего диаметра n–1. Трение в системе таково, что силы, необходимые для подъема или опускания груза W, отличаются в R раз. Предполагая, что трение от направления движения не зависит, найдите эти силы.
« Последнее редактирование: 08 Августа 2011, 16:56 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту груза, находящегося в нижнем положении. Тогда
полная механическая энергия груза в начальном состоянии равна

W01 = 0.

Предположим, что при подъеме верхний блок совершил полный оборот. Так как погонный метр содержит N звеньев, то длина одного звена цепи

l1 = 1/N (м).

В этом случае перемещение точки приложения силы F1 (рис. 1) будет

Δr1 = n⋅l1 = n/N

(точка приложения этой силы находится на шкиве большего диаметра, в котором n зубцов). Левый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве меньшего диаметра, в котором (n – 1) зубцов) опуститься вниз на

Δl1 = (n – 1)⋅l1 = (n – 1)/N,

правый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве большего диаметра) поднимется вверх на

Δl2 = n⋅l1 = n/N.

Груз поднимется вверх на высоту
 
\[ h_{1} =\frac{\Delta l_{2} -\Delta l_{1} }{2} =\frac{n-\left(n-1\right)}{2N} =\frac{1}{2N}. \]

Тогда полная механическая энергия груза в конечном состоянии равна
 
\[ W_{1} = m\cdot g\cdot h_{1} =\frac{m\cdot g}{2N}, \]

где m — масса груза.
На груз действуют внешняя сила F1 и сила трения Ft. Работа силы F1 равна

A1 = F1⋅Δr1 = F1n/N,

работу силы трения обозначим At. Работа внешних сил равна:

A1 + At = W1W01
или

\[ F_{1} \cdot \frac{n}{N} +A_{t} = \frac{m \cdot g}{2N}. \]  (1)

Продолжение следует

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Аналогично получим уравнения для случая, когда груз опускают вниз под действием силы F2 (рис. 2). Опять верхний блок совершил полный оборот. Перемещение точки приложения силы F2 будет

Δr2 = (n – 1)⋅l1 = (n – 1)/N

(точка приложения этой силы находится на шкиве меньшего диаметра, в котором (n – 1) зубцов). Левый участок цепи с грузом поднимется вверх на

Δl1 = (n – 1)⋅l1 = (n – 1)/N,

правый участок цепи с грузом (находящейся на шкиве большего диаметра) опуститься вниз на

Δl2 = n⋅l1 = n/N.

Груз опуститься вниз на высоту
 
\[ h_{2} =h_{1} =\frac{\Delta l_{2} -\Delta l_{1} }{2} =\frac{1}{2N}. \]

Тогда полная механическая энергия груза в начальном состоянии равна
 
\[ W_{02} =m\cdot g\cdot h_{2} =\frac{m\cdot g}{2N}, \]

полная механическая энергия груза в конечном состоянии равна

W2 = 0.

На груз действуют внешняя сила F2 и сила трения Ft. Работа силы F2 равна

A2 = F2⋅Δr2 = F2⋅(n – 1)/N,

работа силы трения останется прежней At. Работа внешних сил равна:

A2 + At = W2W02
или
 
\[ F_{2} \cdot \frac{n-1}{N} +A_{t} =-\frac{m\cdot g}{2N}.\;\;\; (2) \]

По условию силы, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в R раз, т.е.

F1 = R⋅F2. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 
\[ F_{1} \cdot \frac{n}{N} -F_{2} \cdot \frac{n-1}{N} = \frac{2m\cdot g}{2N}, \; \; \; F_{2} \cdot \left(R\cdot n-\left(n-1\right)\right) = m\cdot g, \]
 
\[ F_{2} = \frac{m\cdot g}{\left(R-1\right)\cdot n+1}, \; \; \; F_{1} = \frac{R\cdot m \cdot g}{\left(R-1\right) \cdot n+1}. \]

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24