Автор Тема: Отражение и преломление света из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 27872 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

    822 823 824 825 826 827 828 829
830 831 832 833 834 835 836 837 838 839
840 841 842 843 844 845 846 847
« Последнее редактирование: 17 Март 2018, 19:02 от alsak »

Форум сайта alsak.ru


andrey

  • Гость
« Последнее редактирование: 21 Май 2012, 21:46 от andrey »

djek

  • Гость
832. На горизонтальном дне водоема глубиной h = 1,2 м лежит плоское зеркало. На каком расстоянии от места вхождения луча в воду этот луч снова выйдет на поверхность воды после отражения от зеркала? Угол падения
луча α = 30°, показатель преломления воды n = 1,3.
Решение
Луч света, попадая на границу раздела в точке (а), преломляется, попадает в точку (с), отбивается и в точке (b) выходит на поверхность. Таким образом, искомое расстояние – это расстояние ab. (смотри рис.)
ab = 2·ad
Расстояние ad найдем из прямоугольного треугольника acd.
Учитывая, что ac – гипотенуза, из теоремы Пифагора:
ad2 = ac2 - cd2;
cd – глубина водоема h;
ac – гипотенуза прямоугольного треугольника acd и равна отношению противолежащего катета к синусу угла γ. С учетом закона преломления и считая показатель преломления воздуха равным 1, будем иметь:
\[ \begin{align}
  & \frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=n;\sin \gamma =\frac{\sin \alpha }{n} \\
 & ac=\frac{ad}{\sin \gamma }=\frac{ad\cdot n}{\sin \alpha } \\
 & a{{d}^{2}}=\frac{a{{d}^{2}}\cdot {{n}^{2}}}{{{\sin }^{2}}\alpha }-{{h}^{2}} \\
\end{align}
 \]
Решая последнее уравнение относительно ad и учтя, что ab = 2·ad, получим
\[ \begin{align}
  & ad=\frac{h\cdot \sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \\
 & ab=\frac{2\cdot h\cdot \sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \\
\end{align}
 \]
« Последнее редактирование: 20 Май 2012, 18:36 от djek »

djek

  • Гость
845. На какую максимальную глубину можно погрузить в воду точечный источник света, чтобы квадратный плот со стороной а = 4,0 м не пропускал свет в пространство над поверхностью воды? Показатель преломления воды
n = 1,33, центр плота находится над источником света.
Решение
Лучи света от источника не будут преломляться в воздух, если они падают на поверхность воды под углом равным или большим предельного угла полного отражения α0. Предельный угол полного отражения определяется из формулы
\[ \sin {{\alpha }_{0}}=\frac{1}{n} \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB:
SC – искомая высота h (катет прямоугольного треугольника); CB – равно половине стороны плота; SB – гипотенуза, равная отношению противолежащего катета CB к синусу угла α0.
\[ \begin{align}
  & CB=\frac{a}{2} \\
 & SB=\frac{CB}{\sin {{\alpha }_{0}}}=\frac{a}{2}\cdot n \\
\end{align}
 \]
Из теоремы Пифагора следует что:
SC2 = SB2 – CB2
\[ \begin{align}
  & {{h}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}\cdot {{n}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4} \\
 & h=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{{{n}^{2}}-1} \\
\end{align}

 \]

« Последнее редактирование: 20 Май 2012, 20:01 от djek »

djek

  • Гость
846. На какой угол отклоняется луч от первоначального направления, выходя из стекла (показатель преломления n = 1,57) в воздух при угле падения α = 30°? Может ли луч не выйти из стекла в воздух? Если да, то при каком
условии?
Решение
Луч света выходя из оптически более плотной среды (стекло), в оптически менее плотную (воздух) отклоняется от перпендикуляра на угол β. Из рисунка видно, что отклонение от первоначального направления (угол φ) равен
φ = β – α
Для нахождения угла β воспользуемся законом преломления
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{1}{n} \]
sinβ = n·sinα
φ = arcsin(n·sinα) – α

По мере увеличения угла падения, при некотором его значении α0, угол преломления будет равным 90°, это значит свет не попадет в другую среду (смотри рис.2). Это явление называется полным отражением. Угол α0, при котором начинается полное отражение, называется граничным углом полного отражения. Его можно определить из закона преломления, при условии, что угол преломления β=90°
\[ \sin {{\alpha }_{0}}=\frac{1}{n} \]
Значит луч не выйдет из стекла в воздух при условии, что
\[ \alpha \ge arc\sin \left( \frac{1}{n} \right) \]
« Последнее редактирование: 27 Апрель 2013, 07:23 от alsak »

djek

  • Гость
837. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падающий на бумагу под углом α = 45°, образует на ней светлое пятно. На сколько сместится это пятно, если на бумагу положить стеклянную пластинку толщиной d = 2 см? Показатель преломления стекла n = 1,5.
Решение
Изначально луч света попадает в точку С. Если на лист бумаги положить стеклянную пластинку, то в точке А, на границе раздела воздух-стекло, луч света испытает преломление и окажется в точке В. Так как при переходе из оптически менее плотной среды в оптически более плотную среду, луч отклоняется к перпендикуляру, проведенному в точке падения к границе двух сред. Таким образом, нам необходимо определить расстояние ВС.
ВС = КС – КВ.
Расстояние КС найдем из прямоугольного треугольника АКС
\[ tg\alpha =\frac{KC}{AK}=\frac{KC}{d} \]
КС = d·tgα
Для нахождения расстояния КВ рассмотрим прямоугольный треугольник АКВ.
КВ = АВ·sinβ
АВ найдем из того же треугольника
\[ AB=\frac{AK}{\cos \beta }=\frac{d}{\cos \beta } \]
Угол преломления β найдем из закона преломления:
\[ \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=n;\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n} \]
Учитывая что
cos2β + sin2β = 1
\[ \begin{align}
  & \cos \beta =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\beta }=\sqrt{1-\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{{{n}^{2}}}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }}{n} \\
 & AB=\frac{d\cdot n}{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \\
 & KB=AB\cdot \sin \beta =\frac{d\cdot n}{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }}\cdot \frac{\sin \alpha }{n}=\frac{d\cdot \sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \\
\end{align}
 \]
Искомое расстояние ВС = КС – КВ:
\[ BC=d\cdot tg\alpha -\frac{d\cdot \sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }}=d\cdot \left( tg\alpha -\frac{\sin \alpha }{\sqrt{{{n}^{2}}-{{\sin }^{2}}\alpha }} \right) \]

« Последнее редактирование: 21 Май 2012, 18:00 от djek »

Kivir

  • Гость
834. Пучок параллельных лучей света шириной b = 20 см выходит из стеклянной пластинки в воздух через плоскую грань пластинки. Определить ширину пучка в воздухе, если угол падения луча на границу стекло–воздух α = 30º, а показатель преломления стекла n = 1,8.
Решение: воспользуемся законом преломления:
\[ \begin{array}{l} {\frac{\sin \alpha }{\sin \beta } =\frac{n_{2} }{n_{1} } =\frac{1}{n} ,} \\ {\sin \beta =n\cdot \sin \alpha .} \end{array} \]
Прямоугольные треугольники: ABC и ADC  (см. рис) имеют общую гипотенузу AC, угол BAC раван α, угол DCA равен β (например, как углы со взаимно перпендикулярнымы сторонами). Тогда:
\[ \begin{array}{l} {\cos \alpha =\frac{b}{AC} ,\cos \beta =\frac{a}{AC} ,} \\ {\frac{\cos \alpha }{\cos \beta } =\frac{b}{a} ,} \\ {a=\frac{\cos \beta }{\cos \alpha } \cdot b.} \end{array} \]
Из основного тригонометрического тождества выразим косинус угла через синус и подставим в полученное выражение для ширны пучка в воздухе:
\[ \begin{array}{l} {\cos ^{2} \beta +\sin ^{2} \beta =1,} \\ {\cos \beta =\sqrt{1-\sin ^{2} \beta } =\sqrt{1-n^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha } ,} \\ {a=b\cdot \frac{\sqrt{1-n^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha } }{\cos \alpha } .} \end{array} \]
Ответ: 10 см.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
822. Лазерный визир применяется для задания направлений при геодезических работах. Дальность действия прибора l1 = 2 км. На этом расстоянии диаметр светового пучка d1 = 200 мм. Определить, на каком расстоянии диаметр светового пучка d2 = 10 мм. Найти телесный угол того пучка и плоский угол при вершине в осевом сечении конуса.
Решение: сделаем схематичный рисунок. Как видно из рисунка, треугольники ОО1А и ОО2В подобны. Воспользуемся этим, т.е.
\[ \begin{array}{l} {\frac{l_{1} }{l_{2} } =\frac{d_{1} }{d_{2}},} \\ {l_{2} =l_{1} \cdot \frac{d_{2} }{d_{1}}.} \end{array} \]
Телесный угол ω измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла (в нашем случае площадь круга, диаметром d1), которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы (L1):
\[ \omega =\frac{S}{r^{2}} =\frac{\pi \cdot d_{1}^{2}}{4\cdot l_{1}^{2}}. \]
Плоский угол при вершине мал, т.к.  l1>>d1. При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу:
sinφ  ≈ tgφ ≈ φ ≈ d1 / l1.
Ответ: 100 м, 8 ∙ 10–9 ср, 1 ∙ 10–4 рад.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
823. Плоское зеркало, находящееся в центре кривизны сферического экрана радиуса R = 10 м, вращается с постоянной частотой n = 0,5 с-1. С какой скоростью перемещается по экрану зайчик.
Решение: пусть в начальный момент угол падения светового луча на зеркало равен α. Зеркало вращается с угловой скоростью ω = 2π∙n. Пусть за время Δt зеркало повернётся на угол Δφ = ω ∙Δt. Зайчик на экране за это время повернётся на угол
β = 2∙(α+Δφ) - 2∙α =2∙Δφ=2∙ω ∙Δt.
Таким образом, угловая скорость вращения светового зайчика на экране
\[ \omega _{1} =\frac{\beta }{\Delta t} =\frac{2\cdot \omega \cdot \Delta t}{\Delta t} =2\cdot \omega =4\pi \cdot n. \]
Линейная скорость связана с угловой следующим образом:
\[ \upsilon =\omega _{1} \cdot R=4\pi \cdot n\cdot R. \]
Ответ: 62,8 м/с ≈ 6 ∙ 101 м/с.

Оффлайн alsak

  • Администратор
  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1975
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
824. Под каким углом к горизонту следует расположить плоское зеркало, чтобы осветить дно колодца отражёнными от зеркала солнечными лучами, в то время как свет падает под углом α = 30º под углом к горизонту (рис. 256).
Решение: пусть угол падения солнечных лучей на зеркало равен γ. Как видно из рисунка
2γ = 90º + α,   γ = (90º + α)/2,
Искомый угол β равен
\[ \beta =90{}^\circ -\gamma +\alpha =90{}^\circ +\frac{90{}^\circ +\alpha }{2} +\alpha =45{}^\circ +\frac{\alpha }{2}. \]
Ответ: 60º.