Автор Тема: Трубка с поршнем на наклонной плоскости  (Прочитано 3992 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Sneggh

  • Гость
Здравствуйте! Помогите решить задачу!
1. Внутри трубы, наполненной воздухом и закрытой с обоих торцов, может скользить без трения поршень массой m = 4 кг, герметично прилегающий к внутренним стенкам трубы. В горизонтально лежащей трубе поршень занимает среднее положение, а давление воздуха в трубе p = 1,25 кПа. Площадь поршня S = 200 см2. Определите отношение объемов воздуха V2/V1 по обе стороны от поршня в трубе, соскальзывающей по наклонной плоскости, образующей угол α = 60° с горизонтом (рис.). Коэффициент трения между трубой и наклонной плоскостью равен μ = 0,25, температуру воздуха считать постоянной.
« Последнее редактирование: 26 Марта 2011, 07:02 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Найдем ускорение системы труба-поршень общей массы M на наклонной плоскости. На систему действуют сила тяжести (M⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (Ftr). Из проекции второго закона Ньютона (рис. 1):

0X: M⋅a = M⋅g⋅sin α – Ftr, (1)

0Y: 0 = N – M⋅g⋅cos α, (2)

где Ftr = μ⋅N, N = M⋅g⋅cos α (из уравнения (2)). Тогда из уравнения (1) получаем

M⋅a = M⋅g⋅sin α – μ⋅M⋅g⋅cos α,

a = g⋅(sin α – μ⋅cos α). (3)

Рассмотрим силы, действующие на поршень: сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N1), сила давления газа слева (F1 = p1S) и сила давления газа справа (F2 = p2S) (рис. 2). Запишем проекцию второго закона Ньютона и выразим из него давление p1:

0X: m⋅a = m⋅g⋅sin α – p1S + p2S,
 
\[ p_{1} = \frac{m \cdot \left(g \cdot \sin \alpha - a \right)}{S} + p_{2} = \Delta p + p_{2},\;\;\; (4) \]

где c учетом уравнения (3)
 
\[ \Delta p = \frac{m \cdot \left(g \cdot \sin \alpha - a \right)}{S} = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha}{S}. \]  (5)


Пусть 2V — объем воздуха во всей трубе, тогда V — это объем воздуха слева и справа от поршня в горизонтальном положении (поршень занимает среднее положение),

2V = V1 + V2 или V = (V1 + V2)/2. (6)

Запишем уравнения Бойля-Мариотта (изотермический процесс) для воздуха:

слева от поршня      
p⋅V = p1V1, (7)
справа от поршня      
p⋅V = p2V2. (8 )

Решим систему уравнений (4), (6)-(8 ). Например,
 
\[ p_{2} = \frac{p \cdot V}{V_{2}} = \frac{p}{V_{2}} \cdot \frac{V_{1} + V_{2}}{2}.
 \]

\[ p \cdot \frac{V_{1} + V_{2}}{2} = \left(\Delta p + p_{2} \right) \cdot V_{1} = \Delta p \cdot V_{1} + p_{2} \cdot V_{1} = \Delta p \cdot V_{1} + \frac{p}{V_{2}} \cdot \frac{V_{1} + V_{2}}{2} \cdot V_{1}, \]

\[ V_{2}^{2} - \frac{2 \Delta p \cdot V_{1}}{p} \cdot V_{2} - V_{1}^{2} = 0. \]

Найдем корни квадратного уравнения и учтем, что объем V2 > 0:
 
\[ V_{2} = V_{1} \cdot \left(\frac{\Delta p}{p} + \sqrt{\left(\frac{\Delta p}{p} \right)^{2} + 1} \right). \]

Тогда с учетом уравнения (5) получаем
 
\[ \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{\Delta p}{p} + \sqrt{\left(\frac{\Delta p}{p} \right)^{2} + 1} = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha}{S \cdot p} + \sqrt{\left(\frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha}{S \cdot p} \right)^{2} + 1}, \]

V2/V1 = 1,2.
« Последнее редактирование: 26 Марта 2011, 12:12 от alsak »

Sneggh

  • Гость
Извините, почему у поршня такое же ускорение как и трубы?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Мы рассматриваем уже устоявшийся процесс, когда первоначальные колебания поршня прекратятся.

Sneggh

  • Гость
Разве поршень во время скатывания трубы не будет ускорятся относительно трубы?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Нет. Это колебательная система: по мере движения поршня вниз, давление слева будет увеличиваться (справа уменьшаться) и через некоторое время равнодействующая станет равной нулю.

Sneggh

  • Гость
Это колебательная система: по мере движения поршня вниз, давление слева будет увеличиваться (справа уменьшаться) и через некоторое время равнодействующая станет равной нулю.
И все-таки сложно до этого додуматься... :-\

Sneggh

  • Гость
Аааа, если представить эту систему в покое, то так и получается! Точно! А потом второй закон ньютона, аналогия с лифтом! Да, да, да.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24