Автор Тема: Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 51947 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
214. Тело массой m = 2 кг равномерно перемещается по горизонтальной поверхности под действием силы, направленной под углом α = 45° к горизонту. При перемещении s = 6 м эта сила совершает работу А = 20 Дж. Найти коэффициент трения тела о поверхность.

Решение. Механическая работа равна

A = F⋅Δr⋅cos α, (1)

где Δr = s. Значение силы F найдем, используя второй закон Ньютона.
На тело действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (Ftr) и внешняя сила (F). Так как груз движется, то сила трения – это сила трения скольжения. Из второго закона Ньютона (рис. 1):

\[ 0 = \vec{F} + m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{tr} + \vec{N}, \]

0X: 0 = F⋅cos α – Ftr, (2)

0Y: 0 = F⋅sin α – m∙g + N, (3)

где Ftr = μ⋅N, N = m∙g – F⋅sin α (из уравнения (3)). Из уравнения (2) получаем

0 = F⋅cos α – μ∙m∙g + μ∙F⋅sin α,

\[ F = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{{\rm cos\;}\alpha + \mu \cdot {\rm sin\;}\alpha }. \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1):
 
\[ A = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot s \cdot {\rm cos\;} \alpha }{{\rm cos\;}\alpha + \mu \cdot {\rm sin\;}\alpha } = \frac{\mu \cdot m \cdot g \cdot s}{1 + \mu \cdot {\rm tg\;}\alpha }, \]
 
\[ A + A \cdot \mu \cdot {\rm tg\;}\alpha = \mu \cdot m \cdot g \cdot s, \; \; \; \mu = \frac{A}{m \cdot g \cdot s - A \cdot {\rm tg\;}\alpha }, \]

μ = 0,2.
« Последнее редактирование: 31 Марта 2011, 12:48 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
216. Охотник стреляет с лодки. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой M = 100 кг, масса дроби m = 40 г и средняя начальная скорость дроби υ0 = 400 м/с? Ствол ружья во время выстрела направлен под углом α = 60° к горизонту.

Решение. Найдем скорость лодки после выстрела при помощи закона сохранения импульса (рис. 1):
 
\[ 0 = m \cdot \vec{\upsilon}_{0} + M \cdot \vec{\upsilon }_{1}, \]

0Х: 0 = –m⋅υ0⋅cos α + M⋅υ1,

\[ \upsilon_{1} = \frac{m \cdot \upsilon_{0} \cdot \cos \alpha}{M}, \]

υ1 = 8⋅10–2 м/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
217. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носителя массой М = 50 кг и головного защитного конуса массой m = 10 кг. Конус отбрасывается вперед сжатой пружиной. При испытаниях на Земле с закрепленной ракетой пружина сообщала конусу скорость υ0 = 5,1 м/с. Какова будет относительная скорость конуса и ракеты, если их разделение произойдет на орбите?

Решение. Задачу будем решать, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту на которой находится ракета.

1 процесс. Испытания на Земле с закрепленной ракетой.
Полная механическая энергия системы пружина-конус в начальном состоянии (при сжатой пружине) (рис. 1) равна

W0 = Wp max.

Полная механическая энергия системы пружина-конус в конечном состоянии

W1 = m⋅υ02/2.

Так как на систему не действует внешняя сила (закреплена только ракета), то выполняется закон сохранения механической энергии

Wp max = m⋅υ02/2.  (1)

2 процесс. Испытания на орбите.
Полная механическая энергия системы ракета-конус в начальном состоянии (при сжатой пружине) (рис. 2) равна

W0 = Wp max.

Полная механическая энергия системы ракета-конус в конечном состоянии

W2 = m⋅υ12/2 + M⋅υ22/2.

И из закона сохранения механической энергии получаем

Wp max = m⋅υ12/2 + M⋅υ22/2.  (2)

Так же будет выполняться и закон сохранения импульса
 
\[ 0 = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: 0 = m⋅υ1M⋅υ2. (3)

Решим систему уравнение (1)-(3). Например,
 
\[ \upsilon _{1} = \frac{M \cdot \upsilon _{2}}{m}, \; \; \; \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}, \]

\[ m \cdot \upsilon_{0}^{2} = m \cdot \left(\frac{M \cdot \upsilon _{2}}{m} \right)^{2} + M \cdot \upsilon _{2}^{2}, \; \; \; m^{2} \cdot \upsilon _{0}^{2} = M^{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} + m \cdot M \cdot \upsilon _{2}^{2} = \left(M + m \right) \cdot M \cdot \upsilon _{2}^{2},
 \]

\[ \upsilon _{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}}{\sqrt{\left(M + m \right) \cdot M}}, \, \, \, \upsilon _{1} = \frac{M \cdot \upsilon _{0}}{\sqrt{\left(M + m \right) \cdot M}}. \]

Относительную скорость найдем через закон сложения скоростей (см. рис. 2):
 
\[ \vec{\upsilon }_{1} = \vec{\upsilon }_{2} + \vec{\upsilon }_{1/2}, \]

0X: υ1 = –υ2 + υ1/2х,

\[ \upsilon _{1/2x} = \upsilon _{1} + \upsilon _{2} = \frac{\left(M + m\right) \cdot \upsilon _{0} }{\sqrt{\left(M + m \right) \cdot M}} = \upsilon _{0} \sqrt{\frac{M + m}{M}} \],

υ1/2х = 5,6 м/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
218. Снаряд массой m = 40 кг, летевший в горизонтальном направлении со скоростью υ = 600 м/с, разорвался на 2 части массами m1 = 30 кг и m2 = 10 кг. Большая часть стала двигаться в прежнем направлении со скоростью υ1 = 900 м/с. Определить модуль и направление скорости меньшей части снаряда.

Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса (рис. 1):
 
\[ m \cdot \vec{\upsilon } = m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: m⋅υ = m1⋅υ1 + m2⋅υ2x, (1)

0Y: 0 = m2⋅υ2y или υ2y = 0.
Из уравнения (1) получаем
\[ \upsilon _{2x} = \frac{m \cdot \upsilon - m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{2}}, \]

υ2x = –300 м/с. Так как υ2y = 0, а υ2x < 0, то скорость υ2 направлена в противоположную сторону оси 0Х. Значение (модуль) этой скорости равно 300 м/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
220. Плот массой m1 плывет по реке со скоростью υ1. На плот с берега перпендикулярно направлению движения плота прыгает человек массой m2 со скоростью υ2. Определить скорость плота с человеком. Силой трения плота о воду пренебречь.

Решение. Так как тела движутся не вдоль одной прямой, но в одной плоскости, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направим ось 0Х вдоль начальной скорости плот, ось 0Y — вдоль начальной скорости человека, т.к. векторы скорости плота и человека составляют прямой угол (рис. 1). Воспользуемся законом сохранения импульса:
 
\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} = \left(m_{1} + m_{2} \right) \cdot \vec{\upsilon }, \]

0Х: m1⋅υ1 = (m1 + m2)⋅υх, (1)

0Y: m2⋅υ2 = (m1 + m2)⋅υy (2)

(направление скорости υ нам не известно). Скорость системы «плот-человек» υ будет равна
 
\[ \upsilon = \sqrt{\upsilon _{x}^{2} + \upsilon _{y}^{2}}. \]

Выразим проекции скорости υ из уравнений (1) и (2) и подставим в последнее выражение:
 
\[ \upsilon_{x} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{1} + m_{2}}, \, \, \, \upsilon _{y} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} + m_{2}}, \]

\[ \upsilon = \sqrt{\left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2} + \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{\left(m_{1} \cdot \upsilon_{1} \right)^{2} + \left(m_{2} \cdot \upsilon_{2} \right)^{2}}}{m_{1} + m_{2}}. \]

Для определения направления скорости υ найдем угол α к оси 0Х (рис. 2):
 
\[ {\rm tg}\alpha = \frac{\upsilon _{y}}{\upsilon _{x}}, \, \, \, \alpha = {\rm arctg} \frac{\upsilon _{y}}{\upsilon_{x}} = {\rm arctg}\left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cdot \upsilon _{1}} \right) = {\rm arctg}\left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}}{m_{1} \cdot \upsilon _{1}} \right). \]

Примечание. 1. Угол α можно было определить и через sin, и через cos.
2. Скорость векторная величина, поэтому вопрос «определить скорость плота» требует нахождения и значения скорости, и ее направления. Автор сборника дает ответ только для значения.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
221. Движущийся шар сталкивается с покоящимся шаром. После удара модуль импульса каждого из шаров равен модулю импульса системы до удара. Определить, под каким углом разлетаются шары.

Решение. Так как тела движутся не вдоль одной прямой, но в одной плоскости, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направим ось 0Х вдоль начальной скорости шара, ось 0Y — перпендикулярно оси 0Х. Пусть один из импульсов шаров после удара направлен под углом α к оси 0Х, второй — под углом β (рис. 1). Воспользуемся законом сохранения импульса:
 
\[ \vec{p}_{01} = \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}, \]

0Х: p01 = p1⋅cos α + p2⋅cos β, (1)

0Y: 0 = p1⋅sin α – p2⋅sin β, (2)

где p01 = p1 = p2 = p (по условию). Тогда из уравнения (2) получаем, что

sin α = sin β или α = β.

С учетом этого, уравнение (1) примет вид

p = 2p⋅cos α, cos α = 1/2, α = 60°.

Тогда угол γ, под каким разлетаются шары, будет равен

γ = α + β, γ = 120 °.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
222. В прямую призму, масса которой M, а поперечное сечение представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник, попадает шарик массой m < M, летящий горизонтально со скоростью υ, и после удара движется вертикально вверх (рис. 1). Считая удар абсолютно упругим, найти скорость шарика υ1 и призмы υ2 после удара. Сопротивлением воздуха и трением призмы о горизонтальную подставку пренебречь. До удара призма покоилась.

Решение. Так как тела движутся не вдоль одной прямой, но в одной плоскости, то необходимо выбрать двухмерную систему координат. Направим ось 0Х вдоль начальной скорости шарика, ось 0Y — перпендикулярно оси 0Х. Воспользуемся законом сохранения импульса и энергии для системы шарик-призма. За нулевую высоту примем высоту горизонтальной подставки.
Вначале (до столкновения) двигается только один шарик массой m со скоростью υ. Пусть центр тяжести призмы находится на высоте h1, а шарик — на высоте h2 (рис. 1). Тогда полная механическая энергия системы шарик-призма и начальный импульс системы будут равны
 
\[ W_{0} = M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2}, \; \; \; \vec{p}_{0} = m \cdot \vec{\upsilon}. \]

Затем (сразу же после столкновения) двигаются и шарик со скоростью υ1, и призма со скоростью υ2. Высота центра тяжести призмы не изменится, т.е. остается на высоте h1, высота шарика в момент отскока так же останется прежней, т.е. h2. Тогда полная механическая энергия системы шарик-призма и конечный импульс системы будут равны
 
\[ W = M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}, \; \; \; \vec{p} = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}. \]

Так как на систему не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха и трением призмы о горизонтальную подставку пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии и импульса:
 
\[ M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} = M \cdot g \cdot h_{1} + m \cdot g \cdot h_{2} + \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} \]
или
\[ \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2},\;\;\; (1) \]

\[ m \cdot \vec{\upsilon } = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: m⋅υ = M⋅υ2. (2)

Из уравнения (2) найдем скорость υ2:
 
\[ \upsilon _{2} = \frac{m \cdot \upsilon }{M}, \]

из уравнения (1) — скорость υ1:
 
\[ \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{M}{m} \cdot \upsilon _{2}^{2} } = \sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{M}{m} \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon }{M} \right)^{2} } = \sqrt{\upsilon ^{2} -\frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{M}} = \upsilon \cdot \sqrt{1-\frac{m}{M}}. \]

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
223. Пуля, летящая с определенной скоростью, углубляется в дощатый барьер на l = 10 см. На сколько углубится в тот же барьер такая же пуля, имеющая вдвое большую скорость? Сила сопротивления барьера в обоих случаях одинаковая.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится пуля, поэтому Wp0 = Wp = 0.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W = Wk0 = m⋅υ12/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = 0.

На пулю действует внешняя сила Fc – сила сопротивления барьера. Работа этой силы равна

Av = Fc⋅Δr⋅cos α,

где Δr = l, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону скорости движения пули).
Запишем закон изменения механической энергии

Аv = W – W0,
или
Fc⋅l = –m⋅υ12/2,    Fc⋅l = m⋅υ12/2. (1)

Если пуля будет лететь со скоростью υ2 = 2υ1 (вдвое большая скорость), то уравнение (1) примет вид:

Fc⋅l2 = m⋅υ22/2. (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 
\[ \frac{F_{c} \cdot l_{2}}{F_{c} \cdot l} = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \cdot \frac{2}{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}, \, \, \, \frac{l_{2}}{l} = \frac{\upsilon_{2}^{2}}{\upsilon_{1}^{2}} = \frac{\left(2\upsilon _{1} \right)^{2}}{\upsilon _{1}^{2}} = 4, \, \, \, l_{2} = 4l, \]

l2 = 0,4 см.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
224. Тело массой m = 100 г падает с высоты h = 5 м на чашу пружинных весов (рис. 1) и сжимает пружину жесткостью k = 1⋅103 Н/м на величину x. Определить x, если массы чаши и пружинных весов пренебрежимо малы.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой окажется чаша весов вместе с телом (рис. 2).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии

W0 = m⋅g⋅h0,

где h0 = h + x.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = k⋅x2/2.

Так как на систему не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:

\[ m\cdot g\cdot \left( h+x \right) = \frac{k \cdot x^{2}}{2}, \, \, \, \frac{k \cdot x^{2}}{2}-m\cdot g\cdot x-m\cdot g\cdot h=0. \]

Найдем корни квадратного уравнения и учтем при этом, что x > 0 (подробнее см. рис. 3).

\[ x=\frac{m\cdot g}{k}+\sqrt{{{\left( \frac{m\cdot g}{k} \right)}^{2}}+\frac{2m\cdot g\cdot h}{k}}=\frac{m\cdot g}{k}\cdot \left( 1+\sqrt{1+\frac{2k\cdot h}{m\cdot g}} \right), \]

x = 0,1 м.
« Последнее редактирование: 10 Апреля 2011, 12:52 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
225. Тело массой m = 1 кг бросили с некоторой высоты с начальной скоростью υ0 = 20 м/с, направленной под углом α = 30° к горизонту. Определить кинетическую энергию тела через t1 = 2 с после начала его движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1 способ. За тело отсчета выберем точку, лежащую на поверхности земли и на одной вертикали с точкой бросания, ось 0Х направим вправо, ось 0Y — вверх. Тогда y0 = h, x0 = 0 (рис. 1).
Запишем уравнения проекций скорости и координаты на выбранные оси. При этом учтем, что ускорение g направлено вертикально вниз.

На ось 0Х: υх = υ0х = υ0⋅cos α (рис. 2), т.к. ax = 0.

На оси 0Y: υy = υ0y + gy⋅t, где υ0y = υ0⋅sin α, gy = –g.
Тогда
υy = υ0⋅sin α – g⋅t (1).

Обозначим υ1 — скорость тела через время t1 = 2 c (рис. 3):

\[ \upsilon _{1}^{2} = \upsilon _{1x}^{2} + \upsilon _{1y}^{2}, \]    (2)

где υ1х = υ0х = υ0⋅cos α. Найдем υ1у из уравнения (1):

υ1y = υ0⋅sin α – g⋅t1.
Из уравнения (2)
 
\[ \upsilon _{1}^{2} = \left(\upsilon _{0} \cdot \cos \alpha \right)^{2} + \left(\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha - g \cdot t_{1} \right)^{2} = \]

\[ =\upsilon _{0}^{2} \cdot \left(\cos ^{2} \alpha +\sin ^{2} \alpha \right)-2\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot g \cdot t_{1} + \left(g \cdot t_{1} \right)^{2} = \upsilon _{0}^{2} -2\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot g \cdot t_{1} +\left(g \cdot t_{1} \right)^{2}. \]

В итоге кинетическая энергия тела равна
 
\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} -2\upsilon _{0} \cdot \sin \alpha \cdot g \cdot t_{1} + \left(g \cdot t_{1} \right)^{2} \right), \]

Wk = 200 Дж.

2 способ.
« Последнее редактирование: 06 Мая 2011, 18:36 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24