Автор Тема: Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 51193 раз)

0 Пользователей и 2 Гостей просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Решение задач по физике из книги Савченко Н.Е. Решение задач по физике. – Мн.: Высш. школа, 2003. – 479 с.

205 206 207 208 209 210 211 212 213 214
215 216 217 218 219 220 221 222 223 224
225 226 227 228 229 230 231 232 233 234
235 236 237 238 239 240 241 242 243 244
245 246 247 248 249 250 251 252 253 254
255 256 257 258 259 260 261 262 263
« Последнее редактирование: 17 Марта 2018, 18:58 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
205. Пуля массой m = 10 г, летящая со скоростью υ1 = 800 м/с, попадает в доску толщиной d = 50 мм и вылетает из нее со скоростью υ2 = 100 м/с. Определить силу сопротивления доски, считая эту силу постоянной.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится пуля, поэтому Wp0 = Wp = 0.

Полная механическая энергия тела в начальном состоянии
 
\[ W = W_{k0} = \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 
\[ W = W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

На пулю действует внешняя сила – сила сопротивления доски. Работа этой силы равна

Av = Fc⋅Δr⋅cos α,

где Δr = d, α = 180° (т.к. сила сопротивления направлена в противоположную сторону скорости движения пули).

Запишем закон об изменении механической энергии

Аv = W – W0,

\[ -F_{c} \cdot d = \frac{m \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} - \frac{m \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2}, \; \; \; F_{c} = \frac{m}{2d} \cdot \left(\upsilon_{1}^{2} - \upsilon_{2}^{2} \right), \]

Fc = 6,3⋅104 Н.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
206. Цепь массой m = 5 кг, лежащую на столе, берут за один конец и равномерно поднимают вертикально вверх на высоту, при которой нижний конец отстоит от стола на расстоянии, равном длине цепи l = 2 м. Чему равна работа по подъему цепи?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность стола.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии (рис. 1, а)

W0 = 0.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (рис. 1, б)

W = m⋅g⋅h,

где h = l + l/2 =1,5l — высота, на которую был поднят центр тяжести цепи.

На цепь действует внешняя сила, которая и совершает работу Аv. Запишем закон об изменении механической энергии

Аv = W – W0,
Аv = m⋅g⋅h = 1,5m⋅g⋅l,

Аv = 150 Дж.
« Последнее редактирование: 26 Марта 2011, 16:09 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
207. Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы телеграфный столб массой m1 = 200 кг, к вершине которого прикреплена крестовина массой m2 = 30 кг, перевести из горизонтального положения в вертикальное? Длина столба l = 10 м.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли.
Полная механическая энергия системы столб-крестовина в начальном состоянии (рис. 1, а)

W0 = 0.

Полная механическая энергия системы столб-крестовина в конечном состоянии (рис. 1, б)

W = m1gh1 + m2gh2,

где h1 = l/2, h2 = l — высота, на которую был поднят центр тяжести цепи.

На столб действует внешняя сила, которая и совершает работу Аv. Запишем закон об изменении механической энергии

Аv = W – W0,

Аv = m1g⋅h1 + m2g⋅h2 = (m1/2 + m2)⋅g⋅l,

Аv = 13 кДж.

Примечание. Работа будет минимальной, если столб поставят вертикально, не отрывая от земли.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
208. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять груз массой m = 30 кг на высоту h = 10 м с ускорением а = 0,50 м/с2?

Решение. Механическая работа равна

A = F⋅Δr⋅cos α, (1)

где Δr = h, α = 0°, т.к. направления силы F, которая совершает работу, и перемещения совпадают.
Значение силы F найдем, используя второй закон Ньютона. На груз действуют сила тяжести (m⋅g) и сила F, поднимающая груз (рис. 1). Тогда
 
\[ m \cdot \vec{a} = \vec{F} + m \cdot \vec{g}, \]

0Y: m∙a = F – m∙g,

F = m⋅(a + g).

После подстановки в уравнение (1) получаем

A = m∙(а + g)∙h,

А = 3,15⋅103 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
209. Какую работу совершает электровоз за t = 10 мин, перемещая по горизонтальному пути состав массой m = 3000 т с постоянной скоростью υ = 72 км/ч, если коэффициент сопротивления движению μ = 0,005? Коэффициент сопротивления движению равен отношению модуля силы сопротивления к модулю силы нормальной реакции опоры.

Решение. Механическая работа электровоза равна

A = F⋅Δr⋅cos α, (1)

где Δr = υ⋅t (т.к. движение равномерное), α = 0°, т.к. направления силы тяги F и перемещения совпадают. Найдем значение силы F.
На тело действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения скольжения (Ftr) и сила тяги (F) (рис. 1). Из второго закона Ньютона
 
\[ 0 = \vec{N} + \vec{F} + m \cdot \vec{g} + \vec{F_{tr}}, \]

0Х: 0 = F – Ftr или F = Ftr,

0Y: 0 = N – m⋅g или N = m⋅g,

где Ftr = μ⋅N = μ⋅m⋅g. Тогда

F = μ⋅m⋅g.

После подстановки в уравнение (1) получаем

А = μ⋅m⋅g⋅υ⋅t,

А = 1,8⋅109 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
210. Санки массой m соскальзывают с вершины горы высотой h и, пройдя некоторое расстояние, останавливаются. Какую работу надо совершить, чтобы втащить санки по той же траектории обратно на вершину горы?

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту основания горы.

Рассмотрим вначале движение санок вниз (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W01 = m⋅g⋅h.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W1 = 0.

На санки действует внешняя сила — сила трения скольжения санок Ftr, которая совершает работу Аv1. Работа этой силы равна, во-первых (закон об изменении механической энергии),

Аv1 = W1W01 = –m⋅g⋅h, (1)
во-вторых,
Аv1 = –(Ftr1s1 + Ftr2s2). (2)

Рассмотрим теперь движение санок вверх (рис. 2).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W02 = 0.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W2 = m⋅g⋅h.

На санки действуют две внешние сила: сила трения скольжения санок Ftr (работа этой силы Аv2) и сила F, поднимающая санки вверх (работа этой силы Аv3). Запишем закон об изменении механической энергии

Аv2 + Аv3 = W2W02 = m⋅g⋅h. (3)

Работа силы трения равна

Аv2 = –(Ftr1s1 + Ftr2s2).

Так как значение сил трения Ftr1 и Ftr2 не изменились (поменялись только направления), не изменились пройденные пути s1 и s2, то, с учетом уравнений (2) и (1), получаем

Аv2 = Аv1 = –m⋅g⋅h.

Подставим полученное выражение в уравнение (3) и найдем работу силы F:

Аv3 = m⋅g⋅hАv2 = m⋅g⋅h – (–m⋅g⋅h) = 2m⋅g⋅h.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
211. Человек массой m1 = 60 кг прыгает с неподвижной тележки массой m2 = 30 кг, стоящей на рельсах, в направлении вдоль путей. При этом тележка перемещается в противоположную сторону на s = 2,0 м. Считая коэффициент трения при движении тележки μ = 0,10, найти работу, которую совершает человек при прыжке.

Решение. Задачу разобьем на четыре части.
1 часть. Работу человека при прыжке найдем, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли.
Полная механическая энергия системы человек-тележка в начальном состоянии (до прыжка) (рис. 1) равна

W0 = 0.

Полная механическая энергия системы человек-тележка в конечном состоянии (после прыжка)
 
\[ W = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

На систему действует внешняя сила — человек, который и совершает работу Аv. Запишем закон об изменении механической энергии

Аv = W – W0,

\[ A_{v} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}.\;\;\; (1) \]

2 часть. Для нахождения кинетической энергии тележки, воспользуемся еще раз законом сохранения энергии.
Полная механическая энергия тележки в начальном состоянии (в начале движения тележки) (рис. 2) равна
 
\[ W_{02} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия тележки в конечном состоянии (при остановке)

W2 = 0.

На тележку действует внешняя сила — сила трения тележки Ftr, которая совершает работу Аv1. Работа этой силы равна, во-первых (закон об изменении механической энергии),
 
\[ A_{v1} = W_{2} - W_{02} =-\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2},\;\;\; (2) \]

во-вторых,
Аv1 = –Ftr⋅s. (3)

3 часть. Силу трения Ftr найдем через законы динамики. На тело действуют сила тяжести (m2g), сила реакции опоры (N) и сила трения (Ftr) (рис. 3). Из проекции второго закона Ньютона

0Y: 0 = N – m2g или N = m2g.

Сила трения равна

Ftr = μ⋅N = μ⋅m2g.

После подстановки в уравнения (3) и (2) получаем
 
\[ \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} = F_{tr} \cdot s = \mu \cdot m_{2} \cdot g \cdot s.\;\;\; (4) \]

4 часть. Скорость человека после прыжка найдем при помощи закона сохранения импульса (см. рис. 1):

0Х: 0 = –m1⋅υ1 + m2⋅υ2,

\[ \upsilon_{1} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}}{m_{1}}. \]

Тогда кинетическая энергия человека будет равна
 
\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2} = \frac{m_{1}}{2} \cdot \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}}{m_{1}} \right)^{2} = \frac{m_{2}^{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2m_{1}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \right).
 \]

Подставим полученное выражение в уравнение (1) и учтем уравнение (4):
 
\[ A_{v} = \frac{m_{2}}{m_{1}} \cdot \left(\frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} \right) + \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1 \right) \cdot \frac{m_{2} \cdot \upsilon_{2}^{2}}{2} = \left(\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1 \right) \cdot \mu \cdot m_{2} \cdot g \cdot s, \]

Аv = 90 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
212. Тело массой m = 1 кг движется прямолинейно так, что зависимость его координаты от времени описывается уравнением x = 10 + 20t – 4t2, в котором все величины выражены в единицах СИ. Определить кинетическую энергию этого тела через t = 2 с после начала движения.

Решение. Чтобы определить значение кинетической энергии тела через t = 2 с, надо найти значение скорости в этот момент времени.
1 способ (для тех, кто не умеет искать производную). Запишем уравнение координаты в общем виде
 
\[ x = x_{0} + \upsilon_{0x} \cdot t + \frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}
 \]

и уравнение скорости

υx = υ0x + ax⋅t.

Проекция начальной скорости υ0x — величина, стоящая в уравнении координаты перед t. Тогда в уравнении

x = 10 + 20t – 4t2 (1)

это величина равна υ0x = 20 м/с. Проекция ускорения ах  — удвоенная величина, стоящая перед t2, и в уравнении (1) она равна ах = –8 м/с2. Получаем следующее уравнение скорости

υx = 20 – 8t.

2 способ. Скорость находится как первая производная от координаты, т.е.

υx = x´ = (10 + 20t – 4t2)´ = 20 – 8t.

Значение скорости через t = 2 с:

υx(2) = 20 – 8⋅2 = 4 (м/с).

Кинетическая энергия равна
 
\[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}, \]

Wk(2) = 8 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
213. Брусок массой m = 1 кг покоится на горизонтальной шероховатой поверхности (рис. 1). К нему прикреплена пружина жесткостью k = 20 Н/м. Какую работу надо совершить для того, чтобы сдвинуть с места брусок, растягивая пружину в горизонтальном направлении, если коэффициент трения между бруском и поверхностью μ = 0,2?

Решение. На тело действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения (Ftr) и сила упругости пружины (Fu), которая увеличивается по мере растяжения пружины (рис. 2). Пусть в момент времени, когда брусок сдвинется, сила упругости будет равна Fu1. Ускорение бруска в этот момент будет равно нулю (еще одна «тонкость» физики: тело начинает двигаться, но ускорение так мало, что мы им пренебрегаем). Из второго закона Ньютона
 
0Х: 0 = Fu1Ftr или Fu1 = Ftr,

0Y: 0 = N – m⋅g или N = m⋅g,

где Ftr = μ⋅N = μ⋅m⋅g (т.к. тело начало скользить по поверхности). Тогда

Fu1 = μ⋅m⋅g.

С другой стороны по закону Гука сила упругости равна

Fu1 = k⋅Δl.

С учетом предыдущей формулы, получаем

μ⋅m⋅g = k⋅Δl. (1)

Так как сила, действующая на брусок, изменяется, то для расчета работы этой силы использовать формулу A = F⋅Δr⋅cos α нельзя.
Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту шероховатой поверхность.
Полная механическая энергия системы брусок-пружина в начальном состоянии равна

W0 = 0.

Полная механическая энергия системы брусок-пружина в конечном состоянии
 
\[ W = \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2}. \]

На брусок действует внешняя сила — сила упругости пружины, которая и совершает работу Аv. Запишем закон об изменении механической энергии

Аv = W – W0,

\[ A_{v} = \frac{k \cdot \Delta l^{2}}{2}. \]  (2)

Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
 
\[ \Delta l = \frac{\mu \cdot m \cdot g}{k},\; \; \; A_{v} = \frac{k}{2} \cdot \left(\frac{\mu \cdot m \cdot g}{k} \right)^{2} = \frac{\left(\mu \cdot m \cdot g \right)^{2}}{2k}, \]

А = 0,1 Дж.