Автор Тема: Человек переходит по тележке  (Прочитано 10209 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Lex

  • Гость
Человек переходит по тележке
« : 26 Декабря 2010, 13:15 »
Тележка стоит на гладких рельсах. Человек переходит с одного ее конца на другой. На какое расстояние переместится при этом тележка? Масса человека 60 кг, масса тележки 120 кг, ее длина 3 м.
« Последнее редактирование: 11 Марта 2011, 19:39 от alsak »

Sneggh

  • Гость
Re: Тележка стоит на гладких рельсах
« Ответ #1 : 26 Декабря 2010, 15:58 »
Ответ: 1 м.
Не могу грамотно оформить. :D

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Тележка стоит на гладких рельсах
« Ответ #2 : 28 Декабря 2010, 19:02 »
1 способ. Воспользуемся следствием, вытекающим из закона сохранения импульса: при отсутствии внешних сил центр тяжести системы не может переместиться.
Для нахождения координаты центра тяжести воспользуемся следующей формулой

\[ x = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2}}{m_{1} +m_{2}}. \]

Когда человек стоит на левой концу тележки (рис. 1, точка А), центр тяжести системы тележка-человек находится на вертикали, проходящей через точку О. Найдем координату центра тяжести относительно точки А. Обозначим координаты центра тяжести системы х = АО, человека — х1 = 0, тележки — x2 = AC = l/2. Кроме того m1 = 60 кг, m2 = 120 кг, l = 3 м. Тогда
 
\[ x = AO = \frac{m_{2} \cdot AC}{m_{1} + m_{2}} =
\frac{m_{2} \cdot l}{2 \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)}.
 \]

Когда человек перешел на правый край тележки (рис. 1, точка D), центр масс той же системы находится на вертикали, проходящей через точку Е. Обозначим координаты центра тяжести системы х4 = АЕ, человека — х3 = AD, тележки — x2 = AC = l/2. Тогда
 
\[ x_{4} = AE = \frac{m_{1} \cdot l + m_{2} \cdot \frac{l}{2}}
{m_{1} +m_{2}} = \frac{2m_{1} \cdot l + m_{2} \cdot l}
{2 \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)}.
 \]

Так как во время движения человека никакие внешние силы на систему тележки-человек не действуют, то центр тяжести системы не перемещается. Поэтому тележка должна переместиться так, чтобы точка Е совпала с прежним положением точки О (рис. 2), т.е. тележка должна переместиться влево на расстояние
 
\[ EO = AE - AO = \frac{2m_{1} \cdot l+m_{2} \cdot l}
{2\cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)} - \frac{m_{2} \cdot l}
{2 \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)} = \frac{m_{1} \cdot l}{m_{1} + m_{2}}, \]

ЕО = 1 м.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Тележка стоит на гладких рельсах
« Ответ #3 : 28 Декабря 2010, 19:31 »
2 способ. Начальный импульс системы тележка-человек равен нулю. Предположим, что человек начал переходит с левого края тележки на правый равномерно со скоростью υ относительно тележки. Так как сил сопротивления нет, то импульс системы тележка-человек не должен изменяться, т.е. во все время движения человека тележка должна двигаться в противоположном направлении со скоростью u так, чтобы общий импульс был равен нулю. Скорость человека относительно земли υ1 будет равна
 
\[ \vec{\upsilon}_{1} = \vec{\upsilon}_{2} + \vec{\upsilon}_{1/2}, \]

где υ2 = u — скорость тележки, υ1/2 = υ — скорость человека относительно тележки. Проекция на ось 0X (рис. ):

υ1x = –u + υ.

Тогда закон сохранения импульса относительно Земли запишем следующим образом:
 
\[ 0 = m_{1} \cdot \vec{\upsilon}_{1} + m_{2} \cdot \vec{u}, \]

0Х: 0 = m1υ1xm2u = m1⋅(υ – u) – m2u. (1)

Перемещение человека относительно тележки будет равно длине тележки l, поэтому υ = l/t, где t — время движения. Обозначим перемещение тележки за это же время s, тогда u = s/t. Подставим значения этих скоростей в уравнение (1):
 
\[ m_{1} \cdot \left(\frac{l}{t} - \frac{s}{t} \right) - m_{2} \cdot \frac{s}{t} = 0,\; \;
\frac{s}{t} \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right) = \frac{m_{1} \cdot l}{t}, \; \;
s = \frac{m_{1} \cdot l}{m_{1} + m_{2}}, \]

s = 1 м.

Кирилл

  • Гость
Re: Человек переходит по тележке
« Ответ #4 : 11 Марта 2012, 20:38 »
а почему во втором способе закон сохранения импульса относительно Земли записываем так
0=m1U1+m2U2      ?  разве не нужно при этом сложить массы тележки и человека? ведь тележка двигается со скоростью u с человеком наверху, не значит ли это что в законе сохранения испульса это тоже надо учитывать?

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Человек переходит по тележке
« Ответ #5 : 12 Марта 2012, 06:36 »
а почему во втором способе закон сохранения импульса относительно Земли записываем так
0=m1U1+m2U2      ?  разве не нужно при этом сложить массы тележки и человека? ведь тележка двигается со скоростью u с человеком наверху, не значит ли это что в законе сохранения испульса это тоже надо учитывать?
Во-первых, то, что тележка двигается со скоростью u учтено в решении:
Цитировать
где υ2 = u — скорость тележки,
во-вторых, сложить массы тележки и человека можно только в том случае, если бы их скорости были равны (т.е. человек стоял на тележке).