Задачи и вопросы по физике > Термодинамика
Молекулярная физика и термодинамика
Сергей:
5. Найти изменения внутренней энергии, работу газа и количество теплоты, полученное газом во всех процессах цикла.
Решение.
1 → 2, адиабатный процесс. Q = 0.
\[ \begin{align}
& A=-\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot \int\limits_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{dT=-}\nu \cdot {{C}_{V}}\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}),{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,i=4,2, \\
& A=-\nu \cdot \frac{i}{2}\cdot R\cdot ({{T}_{2}}-{{T}_{1}}).A=-2,5\cdot \frac{4,2}{2}\cdot 8,31\cdot (394-541,5)=6435. \\
& \Delta U=-A.\Delta U=-6435. \\
\end{align} \]Q = 0, А = 6435 Дж, ∆U = -6435 Дж.
2 → 3, изохорный процесс, ∆V = 0, А = 0.
\[ Q=\Delta U,\Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{3}}-{{T}_{2}}),\Delta U=\frac{4,2}{2}\cdot 2,5\cdot 8,31\cdot (216,6-394)=-7739,5. \]А = 0, ∆U = -7739,5 Дж, Q = -7739,5 Дж.
3 → 4, изотермический процесс, ∆Т = 0, ∆U=0.
Работа газа при изотермическом процессе определяется по формуле:\[ \begin{align}
& A=\int\limits_{{{V}_{3}}}^{{{V}_{4}}}{pdV,}A={{p}_{3}}\cdot {{V}_{3}}\int\limits_{{{V}_{3}}}^{{{V}_{4}}}{\frac{dV}{V}}=\nu \cdot R\cdot {{T}_{3}}\cdot \ln \frac{{{V}_{4}}}{{{V}_{3}}}.A=2,5\cdot 8,31\cdot 216,6\cdot \ln \frac{10\cdot {{10}^{-3}}}{32,724\cdot {{10}^{-3}}}=-5399,8. \\
& Q=A. \\
\end{align} \]А = -5399,8 Дж, ∆U = 0, Q =-5399,8 Дж.
4 →1, изобарный процесс.\[ \begin{align}
& \Delta U=\frac{\iota }{2}\cdot \nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{4}}),A=\nu \cdot R\cdot ({{T}_{1}}-{{T}_{4}}),Q=A+\Delta U. \\
& \Delta U=\frac{4,2}{2}\cdot 2,5\cdot 8,31\cdot (541,5-216,6)=14174,5. \\
& A=2,5\cdot 8,31\cdot (541,5-216,6)=6749,8.\,Q=20924,4. \\
\end{align} \]А = 6749,8 Дж, ∆U = 14174,5 Дж, Q =20924,4 Дж.
Сергей:
6. Вычислить КПД цикла и сравнить его с КПД цикла Карно, для которого температура нагревателя равна максимальной температуре в цикле, а температура охладителя – минимальной.
Решение. Вычислим КПД цикла по формуле
\[ \begin{align}
& \eta =\frac{A}{{{Q}_{1}}}.A={{A}_{12}}+{{A}_{23}}+{{A}_{34}}+{{A}_{41}}.\eta =\frac{{{A}_{12}}+{{A}_{23}}+{{A}_{34}}+{{A}_{41}}}{{{Q}_{1}}}. \\
& \eta =\frac{6435+0-5399,8+6749,8}{20924,4}=0,37. \\
\end{align} \]Q1 – количество теплоты которое газ получал от нагревателя.
Q > 0 на участке 4 → 1.
Q1 = Q41 = 20924,4 Дж.
Определим КПД цикла Карно\[ \eta =1-\frac{{{T}_{\min }}}{{{T}_{\max }}}.\eta =1-\frac{216,6}{541,5}=0,6.
\]Ответ: КПД цикла 37%, КПД цикла Карно 60%. КПД цикла Карно больше КПД цикла.
Сергей:
7. Найти КПД холодильной машины, работающей по циклу, проходимому против часовой стрелки.
Решение. Если повернуть процесс вспять (пустить его против часовой стрелки), то мы получим модель холодильной установки. Определим холодильный коэффициент как отношение отнимаемой теплоты к совершаемой при этом работе, холодильный коэффициент может быть больше единицы.\[ \begin{align}
& k=\frac{\left| {{Q}_{2}} \right|}{{{Q}_{1}}-\left| {{Q}_{2}} \right|},k=\frac{\left| {{Q}_{2}} \right|}{A},A={{A}_{12}}+{{A}_{23}}+{{A}_{34}}+{{A}_{41}},{{Q}_{2}}={{Q}_{23}}+{{Q}_{34}}, \\
& k=\frac{\left| {{Q}_{23}}+{{Q}_{34}} \right|}{{{A}_{12}}+{{A}_{23}}+{{A}_{34}}+{{A}_{41}}}.k=\frac{7739,5+5399,8}{6435+0-5399,8+6749,8}=1,67. \\
\end{align}
\]k = 1,67.
Сергей:
8. Найти средние, наиболее вероятные и среднеквадратичные скорости компонентов в каком-нибудь (по Вашему выбору) состоянии газа.
Решение. Определим средние, наиболее вероятные и среднеквадратичные скорости компонентов в состоянии 1. Т1 = 541,5 К.
M (Аr)– молярная масса молекулы аргона, М (Аr)= 40∙10-3 кг/моль, M (О2)– молярная масса молекулы кислорода, М (О2)= 32∙10-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная.
Наиболее вероятная скорость определяется по формуле:\[ {{\upsilon }_{B}}=\sqrt{\frac{2\cdot R\cdot T}{M}}.\ \ \ (1).{{\upsilon }_{B}}(Ar)=\sqrt{\frac{2\cdot 8,31\cdot 541,5}{40\cdot {{10}^{-3}}}}=474,3.{{\upsilon }_{B}}({{O}_{2}})=\sqrt{\frac{2\cdot 8,31\cdot 541,5}{32\cdot {{10}^{-3}}}}=530,3.
\]υВ(Аr) = 474,3 м/с, υВ (О2) = 530,3 м/с.
Средняя арифметическая скорость определяется по формуле:\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{CA}}=\sqrt{\frac{8\cdot R\cdot T}{\pi \cdot M}}\ (2). \\
& {{\upsilon }_{CA}}(Ar)=\sqrt{\frac{2\cdot 8,31\cdot 541,5}{3,14\cdot 40\cdot {{10}^{-3}}}}=267,68.{{\upsilon }_{CA}}({{O}_{2}})=\sqrt{\frac{2\cdot 8,31\cdot 541,5}{3,14\cdot 32\cdot {{10}^{-3}}}}=299,3. \\
\end{align} \]υСА (Аr) = 267,68 м/с, υСА (О2) = 299,3 м/с.
Средняя квадратическая скорость определяется по формуле:\[ \begin{align}
& {{\upsilon }_{K}}=\sqrt{\frac{3\cdot R\cdot T}{M}}(3). \\
& {{\upsilon }_{K}}(Ar)=\sqrt{\frac{3\cdot 8,31\cdot 541,5}{40\cdot {{10}^{-3}}}}=581.{{\upsilon }_{K}}({{O}_{2}})=\sqrt{\frac{3\cdot 8,31\cdot 541,5}{32\cdot {{10}^{-3}}}}=649,5. \\
\end{align}
\]υК (Аr) = 581 м/с, υК (О2) = 649,5 м/с.
Сергей:
9. Какова была бы средняя длина свободного пробега молекул и среднее число столкновений за 1 с в состоянии 1, если бы в сосуде находился только газ 1 массой (m1+m2)? Каковы были бы при этом коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности?
Решение.
Средняя длина свободного пробега молекулы аргона определяется по формуле:\[ \lambda =\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}^{2}}\cdot n}\ \ \ (1). \]d – эффективный диаметр молекулы аргона (справочные данные), d = 3,6∙10-10 м, n – концентрация молекул аргона.
Концентрацию молекул аргона определим по формуле:\[ n=\frac{N}{V},N=\frac{m}{M}\cdot {{N}_{A}}(4),n=\frac{m}{M\cdot V}\cdot {{N}_{A}}(2). \]Где: M – молярная масса молекулы аргона, М = 40∙10-3 кг/моль, R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная, масса газа
m = m1+m2, m = 88∙10-3 кг. V = 25∙10-3 м3, NА = 6,02∙1023 моль-1 – число Авогадро.
Подставим (2) в (1) определим длину свободного пробега молекулы аргона:\[ \lambda =\frac{M\cdot V}{\sqrt{2}\cdot \pi \cdot {{d}^{2}}\cdot m\cdot {{N}_{A}}}\ \ \ (3).\lambda =\frac{40\cdot {{10}^{-3}}\cdot 25\cdot {{10}^{-3}}}{\sqrt{2}\cdot 3,14\cdot {{(3,6\cdot {{10}^{-10}})}^{2}}\cdot 88\cdot {{10}^{-3}}\cdot 6,02\cdot {{10}^{23}}}=3,29\cdot {{10}^{-8}}. \]λ = 3,29∙10-8 м.
υСА (Аr) = 267,68 м/с. Среднее число соударений в секунду молекул кислорода при этих условиях определим по формуле:\[ \nu =\frac{N}{t}=\frac{{{\upsilon }_{CA}}}{\lambda },\ N=\frac{{{\upsilon }_{CA}}}{\lambda }\cdot t.N=\frac{267,68}{3,29\cdot {{10}^{-8}}}\cdot 1=81,36\cdot {{10}^{8}}.
\]N = 81,36∙108.
Коэффициент диффузии D определяется по формуле:\[ D=\frac{1}{3}\cdot {{\upsilon }_{CA}}\cdot \lambda .D=\frac{1}{3}\cdot 267,68\cdot 3,29\cdot {{10}^{-8}}=2,9\cdot {{10}^{-6}}. \]D = 2,9∙10-6 м2/с.
Динамическая вязкость газа определяется по формуле \[ \eta =\frac{1}{3}\cdot \rho \cdot {{\upsilon }_{CA}}\cdot \lambda ,\rho =\frac{m}{V},\eta =\frac{1}{3}\cdot \frac{m}{V}\cdot {{\upsilon }_{CA}}\cdot \lambda .\eta =\frac{1}{3}\cdot \frac{88\cdot {{10}^{-3}}}{25\cdot {{10}^{-3}}}\cdot 267,68\cdot 3,29\cdot {{10}^{-8}}=10,3\cdot {{10}^{-6}}.
\]η = 10,3∙10-6 кг/(м∙с).
В соответствии с кинетической теорией для газа коэффициент теплопроводности равен:\[ \begin{align}
& \chi =\frac{1}{3}\cdot \rho \cdot {{\upsilon }_{CA}}\cdot \lambda \cdot {{c}_{V}},\chi =\eta \cdot {{c}_{V}},{{c}_{V}}=\frac{{{C}_{V}}}{m},{{C}_{V}}=\frac{i}{2}\cdot R,i=3,{{c}_{V}}=\frac{3\cdot R}{2\cdot m}, \\
& \chi =\eta \cdot \frac{3\cdot R}{2\cdot m}.\chi =10,3\cdot {{10}^{-6}}\cdot \frac{3\cdot 8,31}{2\cdot 88\cdot {{10}^{-3}}}=1,46\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]χ = 1,46∙10-3 Вт/(м·K).
Навигация
Перейти к полной версии