Автор Тема: Два одинаковых металлических заряженных шара  (Прочитано 418 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2400
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
Два одинаковых металлических заряженных шара находятся на расстоянии r = 50 см. Сила отталкивания шаров F1 = 100 мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и стала равной F2 = 200 мкН. Вычислить заряды Q1 и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними. Сделать рисунок.

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Решение. Запишем закон Кулона для шариков до соприкосновения
\[ {{F}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{Q}_{1}} \right|\cdot \left| {{Q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}}(1). \]
При соприкосновении заряд межу шариками перераспределится, учитываем, что шарики одинаковые, то на них будут одинаковые заряды Q. Запишем закон сохранения электрического заряда:
\[ {{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}=2\cdot Q,Q=Q_{1}^{'}=Q_{2}^{'}=\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{2}(2). \]
Запишем закон Кулона для шариков после соприкосновения
\[ {{F}_{2}}=\frac{k\cdot \left| Q{{'}_{1}} \right|\cdot \left| Q{{'}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{\left| Q \right|}^{2}}}{{{r}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{(\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{2})}^{2}}}{{{r}^{2}}},{{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}}{4\cdot {{r}^{2}}}(3). \]
Решим систему уравнений (1) и (3) вычислим заряды Q1 и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения
\[ \begin{align}
  & {{F}_{1}}=\frac{k\cdot \left| {{Q}_{1}} \right|\cdot \left| {{Q}_{2}} \right|}{{{r}^{2}}},{{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{{{F}_{1}}\cdot {{r}^{2}}}{k},{{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{100\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{0,5}^{2}}}{9\cdot {{10}^{9}}},{{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9}(1). \\
 & {{F}_{2}}=\frac{k\cdot {{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}}{4\cdot {{r}^{2}}},{{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}=\frac{4\cdot {{F}_{2}}\cdot {{r}^{2}}}{k},{{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}=\frac{4\cdot 200\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{0,5}^{2}}}{9\cdot {{10}^{9}}},{{({{Q}_{1}}+{{Q}_{2}})}^{2}}=\frac{200\cdot {{10}^{-15}}}{9}(3). \\
 & Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+2\cdot {{Q}_{1}}\cdot {{Q}_{2}}=\frac{200\cdot {{10}^{-15}}}{9},Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+2\cdot \frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9}=\frac{200\cdot {{10}^{-15}}}{9},Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}=\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}. \\
\end{align} \]
Составляем квадратное уравнение и находим его корни
\[ \begin{align}
  & {{Q}_{1}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot {{Q}_{2}}},(1).{{(\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot {{Q}_{2}}})}^{2}}+Q_{2}^{2}=\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9},Q_{2}^{4}-\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}\cdot Q_{2}^{2}+\frac{625\cdot {{10}^{-30}}}{81}=0, \\
 & Q_{2}^{2}=x,{{x}^{2}}-\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}\cdot x+\frac{625\cdot {{10}^{-30}}}{81}=0, \\
 & D=\frac{22500\cdot {{10}^{-30}}}{81}-4\cdot \frac{625\cdot {{10}^{-30}}}{81}=\frac{20000\cdot {{10}^{-30}}}{81}. \\
 & {{x}_{1}}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}-\sqrt{\frac{20000\cdot {{10}^{-30}}}{81}}}{2}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}-\frac{141\cdot {{10}^{-15}}}{9}}{2}=0,5\cdot {{10}^{-15}}=5\cdot {{10}^{-16}}, \\
 & {{x}_{2}}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}+\sqrt{\frac{20000\cdot {{10}^{-30}}}{81}}}{2}=\frac{\frac{150\cdot {{10}^{-15}}}{9}+\frac{141\cdot {{10}^{-15}}}{9}}{2}=16\cdot {{10}^{-15}}=160\cdot {{10}^{-16}}. \\
 & {{Q}_{2}}=\sqrt{5\cdot {{10}^{-16}}}=2,2\cdot {{10}^{-8}},{{Q}_{1}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot 2,2\cdot {{10}^{-8}}}=12,6\cdot {{10}^{-8}}, \\
 & {{Q}_{2}}=\sqrt{160\cdot {{10}^{-16}}}=12,6\cdot {{10}^{-8}},{{Q}_{1}}=\frac{25\cdot {{10}^{-15}}}{9\cdot 12,6\cdot {{10}^{-8}}}=2,2\cdot {{10}^{-8}}. \\
\end{align} \]
Ответ: Q1 = 12,6∙10-8 Кл, Q2 = 2,2∙10-8 Кл,
Q1 = 2,2∙10-8 Кл, Q2 = 12,6∙10-8 Кл.
« Последнее редактирование: 23 Февраля 2019, 06:07 от alsak »