Автор Тема: Какой путь проделает частица?  (Прочитано 2068 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2401
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
Какой путь проделает частица?
« : 19 Апреля 2018, 14:04 »
Частица начала своё движение из начала координат, и её скорость зависит от времени по закону u(t) = (i∙A + j∙B)∙((t/τ))5, где A, B – постоянные величины, i, j – единичные орты в декартовой системе координат. Какой путь проделает частица за время t = 1 с, если τ = 1 с. А = 2 м/c, В = 3 м/c. Сделать рисунок.
а) 0,20 м; б) 0,30 м; в) 0,40 м; г) 0,50 м; д) 0,60 м;

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Re: Какой путь проделает частица?
« Ответ #1 : 22 Апреля 2018, 18:09 »
Решение. По условию задачи частица начала своё движение из начала координат, и её скорость зависит от времени по закону
\[ \begin{align}
  & \vec{\upsilon }(t)=(A\cdot \vec{i}+B\cdot \vec{j})\cdot {{((\frac{t}{\tau }))}^{5}}, \\
 & \vec{\upsilon }(t)=A\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{5}}\cdot \vec{i}+B\cdot {{(\frac{t}{\tau })}^{5}}\cdot \vec{j},\vec{\upsilon }(t)=2\cdot {{(\frac{t}{1})}^{3}}\cdot \vec{i}+3\cdot {{(\frac{t}{1})}^{5}}\cdot \vec{j}, \\
 & \vec{\upsilon }(t)=2\cdot {{t}^{5}}\cdot \vec{i}+3\cdot {{t}^{5}}\cdot \vec{j}(1). \\
\end{align} \]
Скорость тела меняется и задан закон этого изменения на некотором отрезке от 0 до t с. Тогда путь пройденный телом можно определить через определенный интеграл
\[ s={{s}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{\upsilon (t)dt.} \]
Определим какой путь проделает частица за время t
\[ \begin{align}
  & x={{x}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{2\cdot {{t}^{5}}dt}={{x}_{0}}+\left. 2\cdot \frac{1}{6}\cdot {{t}^{6}} \right|_{0}^{t}={{x}_{0}}+\frac{2\cdot {{t}^{6}}}{6},{{x}_{0}}=0,x=\frac{{{t}^{6}}}{3}(2). \\
 & y={{y}_{0}}+\int\limits_{0}^{t}{3\cdot {{t}^{5}}dt}={{y}_{0}}+\left. 3\cdot \frac{1}{6}\cdot {{t}^{6}} \right|_{0}^{t}={{y}_{0}}+\frac{3\cdot {{t}^{6}}}{6},{{y}_{0}}=0,y=\frac{3\cdot {{t}^{6}}}{6}=\frac{{{t}^{6}}}{2}(3). \\
 & s=\sqrt{{{(\frac{{{t}^{6}}}{3})}^{2}}+{{(\frac{{{t}^{6}}}{2})}^{2}}}(4). \\
 & s=\sqrt{{{(\frac{{{1}^{6}}}{3})}^{2}}+{{(\frac{{{1}^{6}}}{2})}^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{4+9}{36}}=\frac{\sqrt{13}}{6}=0,6. \\
\end{align} \]
Ответ: д) 0,60 м.
\[ \begin{align}
  & {{v}_{x}}={x}'(t)=2\cdot {{t}^{5}};{{v}_{y}}={y}'(t)=3\cdot {{t}^{5}}; \\
 & L=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{{{(2\cdot {{t}^{5}})}^{2}}+{{(3\cdot {{t}^{5}})}^{2}}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{4\cdot {{t}^{10}}+9\cdot {{t}^{10}}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{13\cdot {{t}^{10}}}}dt=\int\limits_{0}^{1}{{{(13\cdot {{t}^{10}})}^{\frac{1}{2}}}}dt= \\
 & =\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{13}\cdot {{t}^{5}}}dt=\sqrt{13}\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{5}}}dt=\left. \sqrt{13}\cdot \frac{{{t}^{6}}}{6} \right|_{0}^{1}=\frac{\sqrt{13}}{6}=0,6. \\
\end{align} \]
« Последнее редактирование: 30 Апреля 2018, 06:32 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24