Соленоид, выполненный в виде картонного каркаса

[Антон Огурцевич]

7. Соленоид, выполненный в виде картонного каркаса длиной l = 0,50 м и диаметром D=2,50 см с однослойной обмоткой из медной проволоки (ρ = 1,7∙10^-8 Ом∙м) диаметром d = 0,20 мм с плотно прилегающими друг к другу витками включен в электрическую цепь ЭДС источника ε = 4,24 В с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. Считая незначительным сопротивление подводящих проводов, определить: мгновенное значение объёмной плотности энергии магнитного поля соленоида в момент времени τ = 7,7 мкс после замыкания ключа К в положение 1. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Мгновенное значение объёмной плотности энергии магнитного поля соленоида в момент времени τ определим по формуле

\[ w=\frac{{{W}_{M}}}{V}(1),V=S\cdot l(2),{{W}_{M}}=\frac{L\cdot {{I}^{2}}}{2}(3),w=\frac{L\cdot {{I}^{2}}}{2\cdot S\cdot l}(4). \]

Где: W_m – энергия магнитного поля соленоида, V – объем соленоида, L – индуктивность соленоида, I – мгновенное значение силы тока в обмотке соленоида через время τ.
Индуктивность соленоида, полученного при намотке провода на картонный каркас определим по формуле

\[ L=\mu \cdot {{\mu }_{0}}\cdot {{N}^{2}}\cdot \frac{S}{l\ }\ \ \ (5).
 \]

μ₀ = 4∙π∙10^-7 Н/А² – магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды, μ = 1.
 S – площадь поперечного сечения соленоида, l – длина селеноида, N – количество витков селеноида.
Количество витков соленоида определим, как отношение длины соленоида на диаметр медного провода из которого изготовлен соленоид

\[ l=N\cdot d,N=\frac{l}{d}\ \ \ (6). \]

Площадь поперечного сечения соленоида определим по формуле   

\[ S=\frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{4}(7).S=\frac{3,14\cdot {{(2,5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{4}=4,9\cdot {{10}^{-4}}. \]

  (7) и (6) подставим в (5) определим индуктивность соленоида, полученного при намотке провода на картонный каркас

\[ \begin{align}
  & L=\mu \cdot {{\mu }_{0}}\cdot {{(\frac{l}{d})}^{2}}\cdot \frac{\pi \cdot {{D}^{2}}}{l\cdot 4\ },\ L=\mu \cdot {{\mu }_{0}}\cdot \frac{\pi \cdot l\cdot {{D}^{2}}}{4\cdot {{d}^{2}}}\ \ \ (8). \\
 & L=1\cdot 4\cdot 3,14\cdot {{10}^{-7}}\cdot \frac{3,14\cdot 0,5\cdot {{(2,5\cdot {{10}^{-2}})}^{2}}}{4\cdot {{(0,2\cdot {{10}^{-3}})}^{2}}}=7,7\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align}
 \]

L = 7,7∙10^-3 Гн.
Определим сопротивление медной проволоки из которой изготовлен соленоид

\[  \begin{align}
  & R=\rho \cdot \frac{l}{{{S}_{0}}}(9),{{S}_{0}}=\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}(10),R=\rho \cdot \frac{4\cdot l}{\pi \cdot {{d}^{2}}}(11). \\
 & R=\frac{1,7\cdot {{10}^{-8}}\cdot 4\cdot 0,5}{3,14\cdot {{(0,2\cdot {{10}^{-3}})}^{2}}}=0,27. \\
\end{align}
 \]

S₀ – площадь поперечного сечения медного проводника.
Мгновенное значение I силы тока в цепи, обладающей активным сопротивлением R и индуктивностью L, после замыкания цепи определяется по формуле

\[ \begin{align}
  & I={{I}_{m}}\cdot (1-{{e}^{-\frac{R}{L}\cdot t}})(12),{{I}_{m}}=\frac{E}{R}\ \ \ (13).\ \ \ I=\frac{E}{R}\cdot (1-{{e}^{-\frac{R}{L}\cdot t}})(14). \\
 & I=\frac{4,24}{0,27}\cdot (1-{{2,7}^{-\frac{0,27\cdot 7,7\cdot {{10}^{-6}}}{7,7\cdot {{10}^{-3}}}}})=4,21\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align}
 \]

Е ― э.д.с. источника тока; t ― время, прошедшее с момента замыкания цепи, I_m - максимальное значение силы тока в цепи.
(7) (8 ) и (14) подставим в (4) и определим мгновенное значение объёмной плотности энергии магнитного поля соленоида в момент времени τ

\[ w=\frac{7,7\cdot {{10}^{-3}}\cdot {{(4,21\cdot {{10}^{-3}})}^{2}}}{2\cdot 0,5\cdot 4,9\cdot {{10}^{-4}}}=27,85\cdot {{10}^{-5}}.
 \]

Ответ: 27,85∙10^-5 Дж.