Автор Тема: Найти модуль суммы векторов и модуль векторного произведения  (Прочитано 9192 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2401
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
9.2. Найти модуль суммы векторов |a + b| и модуль векторного произведения |[a × b]|. Ответ округлить до двух значащих цифр. Сделать рисунок.
« Последнее редактирование: 09 Февраля 2018, 12:59 от Антон Огурцевич »

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
1) Сумма векторов определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}(1). \\
 & Ox:{{c}_{x}}={{a}_{x}}+{{b}_{x}}(2),\,Oy:{{c}_{y}}={{a}_{y}}+{{b}_{y}}(3), \\
 & \left| {\vec{c}} \right|=\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\sqrt{c_{x}^{2}+c_{y}^{2}}(4). \\
 & {{a}_{x}}=x-{{x}_{0}},{{a}_{x}}=1-5=-4,{{a}_{y}}=y-{{y}_{0}},{{a}_{y}}=6-4=2, \\
 & {{b}_{x}}=x-{{x}_{0}},{{b}_{x}}=5-7=-2,{{b}_{y}}=y-{{y}_{0}},{{b}_{y}}=1-7=-6, \\
 & {{c}_{x}}=-4+(-2)=-6,{{c}_{y}}=2+(-6)=-4. \\
 & \left| {\vec{c}} \right|=\left| \vec{a}+\vec{b} \right|=\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}=\sqrt{52}=7,21. \\
\end{align} \]
2). Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c. Длину вектора с определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & \left| {\vec{c}} \right|=\left| {\vec{a}} \right|\cdot \left| {\vec{b}} \right|\cdot \sin \theta (5).\left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}, \\
 & \left| {\vec{a}} \right|=\sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{20},\ \left| {\vec{b}} \right|=\sqrt{{{(-2)}^{2}}+{{(-6)}^{2}}}=\sqrt{40}. \\
\end{align} \]
Угол между векторами (рис) определим по теореме косинусов, вектор а и вектор b отложим из одного пункта.
\[ \begin{align}
  & {{(a+b)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos \theta (6). \\
 & \cos \theta =\frac{{{(a+b)}^{2}}-({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}{2\cdot a\cdot b},\ \cos \theta =\frac{{{(\sqrt{52})}^{2}}-({{(\sqrt{20})}^{2}}+{{(\sqrt{40})}^{2}})}{2\cdot \sqrt{20}\cdot \sqrt{40}}=\frac{-8}{40\cdot \sqrt{2}}. \\
 & \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }\,(7). \\
 & \left| {\vec{c}} \right|=\sqrt{20}\cdot \sqrt{40}\cdot \sqrt{1-{{(\frac{-8}{40\cdot \sqrt{2}})}^{2}}}=27,998=28. \\
\end{align} \]
Ответ: 7,21 м, 28 м2.
« Последнее редактирование: 16 Февраля 2018, 06:11 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24