Автор Тема: Сплошной парафиновый шар с диэлектрической проницаемостью  (Прочитано 1033 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2400
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
79. Сплошной парафиновый шар с диэлектрической проницаемостью, равной 2, радиусом 10 см равномерно заряжен с объёмной плотностью заряда 1 мкКл/м3. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости потенциала от радиуса. Сделать рисунок.

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
Потенциал от заряженного шара вычислим через электрическое поле, при этом удобно ноль потенциала установить на бесконечности.  Общая формула для потенциала всевозможных шаров (полых, сплошных):
\[ \varphi =-\int\limits_{\infty }^{r}{Edr,{{E}_{1}}=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}},\,,{{E}_{2}}=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{R}^{3}}}\cdot r,\varphi =-\int\limits_{\infty }^{R}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}dr}-\int\limits_{R}^{r}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{R}^{3}}}\cdot rdr}. \]
Е1 – напряженность за шаром (напряженность поля точечного заряда), Е2 – напряженность внутри шара.
Первый интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда из бесконечности до поверхности шара, второй интеграл от поверхности до центра шара.
\[ \begin{align}
  & -\int\limits_{\infty }^{R}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{r}^{2}}}dr}=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R},\int\limits_{R}^{r}{\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot {{R}^{3}}}\cdot rdr}=\frac{k\cdot q\cdot {{r}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }-\frac{k\cdot q\cdot {{R}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }, \\
 & \varphi =\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R}-\frac{k\cdot q\cdot {{r}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }+\frac{k\cdot q\cdot {{R}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }=\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R}+\frac{k\cdot q\cdot {{R}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }-\frac{k\cdot q\cdot {{r}^{2}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }, \\
 & \varphi =\frac{k\cdot q}{\varepsilon \cdot R}+\frac{k\cdot q}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}}). \\
\end{align} \]
Объёмную плотность заряда шара определим по формуле:
\[ \begin{align}
  & \rho =\frac{q}{V},V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}},q=\rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}.\varphi =\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{\varepsilon \cdot R}+\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{3}}}{{{R}^{3}}\cdot 2\cdot \varepsilon }\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}}), \\
 & \varphi =\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot {{R}^{2}}}{\varepsilon }+\frac{k\cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi }{2\cdot \varepsilon }\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}}),k=\frac{1}{4\cdot \pi \cdot {{\varepsilon }_{0}}}, \\
 & \varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}+\frac{\rho }{6\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot ({{R}^{2}}-{{r}^{2}})(1). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
  & r=0,\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}+\frac{\rho }{6\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot {{R}^{2}},\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{2\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},\varphi =\frac{{{10}^{-6}}\cdot {{0,1}^{2}}}{2\cdot 2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=282,4. \\
 & r=R,\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}+\frac{\rho }{6\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot ({{R}^{2}}-{{R}^{2}}),\varphi =\frac{\rho \cdot {{R}^{2}}}{3\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}},\varphi =\frac{{{10}^{-6}}\cdot {{0,1}^{2}}}{3\cdot 2\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}=188,3. \\
\end{align} \]
Ответ: 282,4 В, 188,3 В.
« Последнее редактирование: 23 Января 2018, 06:07 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24