Дифференциальное уравнение свободных колебаний

[Антон Огурцевич]

12. Дифференциальное уравнение свободных колебаний в LC-контуре имеет вид: d²q/dt² + 10¹²∙q = 0, ёмкость конденсатора C = 1 нФ. Определить индуктивность контура. Записать уравнение колебаний тока в контуре, если в начальный момент заряд на обкладках конденсатора максимален и равен q_max = 0,1 мкКл. Построить график I = f(t) в пределах двух периодов колебаний. Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний в LC-контуре имеет вид

\[ \frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+2\cdot \beta \frac{dq}{dt}+\omega _{0}^{2}q=0 \]

β – коэффициент затухания, β = 0

\[ \frac{{{d}^{2}}q}{d{{t}^{2}}}+\omega _{0}^{2}q=0 \]

ω² = 10¹², ω = 10⁶ рад/с.
Определим индуктивность контура

\[ \omega =\frac{1}{\sqrt{L\cdot C}},{{\omega }^{2}}=\frac{1}{L\cdot C},L=\frac{1}{{{\omega }^{2}}\cdot C}.L=\frac{1}{{{({{10}^{6}})}^{2}}\cdot {{10}^{-9}}}={{10}^{-3}}.

 \]

Запишем уравнение колебаний заряда в контуре, если в начальный момент заряд на обкладках конденсатора максимален и равен q_max, используем функцию косинус
q = q_mах∙соs(ω₀∙t + φ₀), если t = 0 то q = q_mах∙соsω₀∙0 , соs0 = 1, φ₀ = 0, q = q_mах.
q =0,1∙10^-6 ∙соs10⁶∙t.
Запишем уравнение колебаний тока в контуре

\[ \begin{align}
  & i=\frac{dq}{dt},i=({{q}_{\max }}\cdot cos{{\omega }_{0}}\cdot t{)}'=-{{q}_{\max }}\cdot {{\omega }_{0}}\cdot sin{{\omega }_{0}}\cdot t, \\
 & i=-0,1\cdot {{10}^{-6}}\cdot {{10}^{6}}\cdot sin{{10}^{6}}\cdot t, \\
 & i=-0,1\cdot sin{{10}^{6}}\cdot t. \\
\end{align} \]