Нагревание летящего железного ядра

[Nataha]

Помогите решить олимпиадную задачу.
Во время войны Пруссии и Дании (1864 г.) в ночном бою "при удачном попадании в бронированный борт броненосца видели сверкание внезапно раскалившегося ядра" (т. е. нагрев больше, чем на 700 °С). Оценить, какую скорость имели перед ударом железные ядра массой m = 12 кг, если в тепло переходит почти 80 % кинетической энергии. Известно, что половина из этой части расходуется на нагрев борта, причем передняя часть ядра раскаляется примерно втрое сильнее, чем остальная часть. Удельная теплоемкость железа с = 460 Дж/(кг⋅°С).

[alsak]

Будем считать, что передняя часть ядра — это половина ядра. Так как она «раскаляется примерно втрое сильнее», то передняя часть нагревается в три раза больше. А так как массы передней части и задней равны, то и энергии она получает втрое больше.
Пусть Q₁ — это энергия, которую получит задняя часть ядра, тогда 3Q₁ — энергия, которую получит передняя часть ядра. Вся энергия, полученная ядром, будет равна

Q_ядра = Q₁ + 3Q₁ = 4Q₁. (1)

По условию, в тепло переходит η = 80 % = 0,80 кинетической энергии W_k, причем «половина из этой части расходуется на нагрев борта», следовательно, на нагрев ядра расходуется оставшаяся половина этой части, т.е.

Q_ядра = 1/2⋅η⋅W_k = 0,4W_k, (2)

где  \[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2} \].

Так как передняя часть ядра нагревается на Δt₂ = 700 °С, то

3Q₁ = c⋅m/2⋅Δt₂. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[ Q_{1} = \frac{c \cdot m \cdot \Delta t_{2}}{6}, \, \, \, 4Q_{1} = 0,4 \cdot \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}, \, \, \, \upsilon = \sqrt{\frac{20Q_{1}}{m}} = \sqrt{\frac{10c \cdot \Delta t_{2}}{3}}
 \]

υ = 1036 м/с.
Масса ядра — лишнее данное.

Примечание. Значение скорости получилось примерно в 2 раза больше реальной (400-500 м/с). Но для оценочной задачи это допустимо.

[Nataha]

Спасибо за разъяснения. Кстати, хотелось бы знать Ваше мнение по поводу оформления работ (задач в частности).Нужны ли полные выкладки в буквенном выражении, т.е. необходимо ли получить конечную формулу для неизвестной величины?

[alsak]

Решение задач в общем виде это более сложный уровень решения задач, и в профильных классах я стараюсь заставить учеников решать  так. Кроме того, есть ряд задач, которые решаются только в общем виде.

[Nataha]

У меня возникло сомнение - правильно ли считать нагрев на 700 градусов только части ядра? В условии задачи пояснение дано конкретно после слова "ядро", что, по-моему, подразумевает нагрев целого ядра.

[alsak]

Nataha писал(а):

У меня возникло сомнение — правильно ли считать нагрев на 700 градусов только части ядра?

Я это предположение сделал на основании следующей фразы условия:

причем передняя часть ядра раскаляется примерно втрое сильнее, чем остальная часть.

.
По моему "раскаляется" в данном тексте аналогично "нагревается".

[Nataha]

Есть такая же задача, но с другим условием: ...если почти вся кин. эн. идет на нагрев ядра, а передняя треть ядра раскаляется примерно вдвое сильнее, чем остальная часть.
 В пояснении к ней сказано: кол-во теплоты, идущее на нагрев пер. части ядра m⋅v²/2⋅1/2 = c⋅m/3⋅Δt (коэффициент 1/2 в левой части, потому что передняя треть раскаляется вдвое сильнее, чем задняя, а значит на ее нагрев идет половина всей энергии, пошедшей на нагрев ядра). Не могу понять почему 1/2?

[alsak]

Так как «передняя треть ядра раскаляется примерно вдвое сильнее», то считаем, что эта часть нагрелась в два раза больше, т.е. Δt₂ = 2Δt₁, где Δt₂ = 700 °С. Пусть Q₁ — это энергия, которую получит задняя часть ядра, Q₂ — энергия, которую получит передняя часть ядра. Сравним эти энергии. Так как масса передней части ядра m₂ = m/3, то масса задней части — m₁ = 2/3m. Тогда
 

\[ Q_{1} = c \cdot \frac{2m}{3} \cdot \Delta t_{1}, \, \, \, Q_{2} = c \cdot \frac{m}{3} \cdot \Delta t_{2} = c \cdot \frac{m}{3} \cdot 2 \Delta t_{1} = Q_{1}. \]

Следовательно, и передняя часть ядра, и задняя получают одинаковое количество энергии, т.е. Q₁ = Q₂. Вся энергия, полученная ядром, будет равна

Q_ядра = Q₁ + Q₂ = 2Q₂. (1)

По условию, на нагрев ядра идет вся кинетическая энергия W_k, поэтому

Q_ядра = W_k, (2)

где  \[ W_{k} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}. \]
Так как передняя часть ядра нагревается на Δt₂ = 700 °С, то

Q₂ = c⋅m/3⋅Δt₂. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

\[ 2Q_{2} = \frac{m \cdot \upsilon^{2}}{2}, \, \, \, \upsilon = \sqrt{\frac{4Q_{1}}{m}} = \sqrt{\frac{4c \cdot \Delta t}{3}}
 \]

υ = 655 м/с.

[Nataha]

Значит ли это, что, если в первом условии задачи принять за переднюю часть 1/4 ядра, то пер. и задн. части ядра тоже получат одинаковое кол-во энергии? И окончательное уравнение примет вид:
1/2⋅0,4⋅m⋅v²/2 = c⋅m/4⋅Δt?
И вообще получается, что при определении скорости масса ядра не имеет значения. Зачем она дана в задаче?

[alsak]

В первом условии «передняя часть ядра раскаляется примерно втрое сильнее», поэтому считаем, что эта часть нагрелась в три раза больше, т.е. Δt₂ = 3Δt₁, где Δt₂ = 700 °С. Так как масса передней части ядра m₂ = m/4, то масса задней части — m₁ = 3/4m. Тогда
 

\[ Q_{1} = c \cdot \frac{3m}{4} \cdot \Delta t_{1}, \, \, \, Q_{2} = c \cdot \frac{m}{4} \cdot \Delta t_{2} = c \cdot \frac{m}{4} \cdot 3 \Delta t_{1} = Q_{1}. \]

Nataha писал(а):

И вообще получается, что при определении скорости масса ядра не имеет значения.Зачем она дана в задаче?

И почему-то многие стараются использовать все данные, которые используются в задаче. Это не совсем правильно. Введение в условие задачи лишних (или недостающих) данных – один из эффективных способов, помогающий проверить понимание условия задачи.