Какой заряд переносится?

[Антон Огурцевич]

2.6. Какой заряд переносится за 10 с, если 1) ток равномерно возрастает от 0 до 3 А; 2) ток убывает от 20 А до 0, при этом за каждые 0,01 с он убывает вдвое? Сделать рисунок.

[Сергей]

Решение.
1) ток равномерно возрастает от 0 до 3 А;
Установим зависимость силы тока от времени:

\[ I={{I}_{0}}+\alpha \cdot t,\ \alpha =\frac{I-{{I}_{0}}}{t},\ \alpha =\frac{3-0}{10}=0,3.\ I=0,3\cdot t\ \ \ (1). \]

Определим заряд:

\[ I=\frac{dq}{dt},\ dq=I\cdot dt,\ q=\int\limits_{0}^{10}{I\cdot dt}=\int\limits_{0}^{10}{0,3\cdot t\cdot dt}=\left. \frac{0,3\cdot {{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{10}=\frac{0,3\cdot 100}{2}=15. \]

2) ток убывает от 20 А до 0, при этом за каждые 0,01 с он убывает вдвое:
Установим закон убывания тока. В начальный момент ток I₀, через 0,01 с ток I₀/2, еще через 0,01 ток I₀/4.

\[ I={{I}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{0,01}}},\ I={{I}_{0}}\cdot {{2}^{-100\cdot t}}\ \ \ (1). \]

Определим заряд:

\[ \begin{align}
  & I=\frac{dq}{dt},\ dq=I\cdot dt,\  \\
 & q=\int\limits_{0}^{10}{{{I}_{0}}}\cdot {{2}^{-100\cdot t}}\cdot dt=20\cdot \int\limits_{0}^{10}{{{2}^{-100\cdot t}}\cdot dt}=\left. 20\cdot \frac{{{2}^{-100\cdot t}}}{-100\cdot \ln 2} \right|_{0}^{10}= \\
 & =\frac{20}{-100\cdot {{2}^{1000}}\cdot \ln 2}-\frac{20\cdot {{2}^{0}}}{-100\cdot \ln 2}=0,2885. \\
\end{align} \]