Автор Тема: Динамика из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 63741 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #70 : 27 Февраля 2011, 12:56 »
174. Каким должен был бы быть период вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тела на экваторе находились в состоянии невесомости? Радиус Земли R = 6370 км.

Решение. По третьему закону Ньютона, с какой силой тело давит на Землю (вес тела P), с такой же по величине силой, но противоположной по направлению, планета будет действовать на тело (сила реакции опоры N), т.е. P = N.
На тело действуют сила тяжести (m⋅g) и сила реакции опоры (N = P = 0 — по условию), которая направлена перпендикулярно поверхности Земли. Из-за вращения планеты тело вращается по окружности, радиус которой на экваторе равен радиусу Земли (рис. 1), центростремительное ускорение направлено к центру вращения (центру Земли). Из второго закона Ньютона:
 
\[ m \cdot \vec{a}_{c} = m \cdot \vec{g} + \vec{N} = m \cdot \vec{g}, \]

0X: m⋅aс = m⋅g или aс = g,

где ac = ω2R, ω = 2π/T. Тогда
 
\[ \left(\frac{2 \pi}{T} \right)^{2} \cdot R = g, \; \; \; T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{R}{g}}, \]

T = 5,0⋅103 с = 83,5 мин.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #71 : 27 Февраля 2011, 17:45 »
170. Определить массу Солнца, зная, что средняя линейная скорость Земли на орбите υ = 30 км/с, а радиус орбиты Земли R = 1,5⋅108 км. Гравитационная постоянная G = 6,67⋅10–11 Н⋅м2/кг2.

Решение. Земля является спутником Солнца, поэтому можно применить формулу для расчета скорости спутника вокруг планеты
 
\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M_{c}}{R}},
 \]

где Mc — масса Солнца.
*Эту формулу несложно вывести из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения: \[ m \cdot \frac{\upsilon^{2}}{R} = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}}. \]
Тогда
 
\[ M_{c} = \frac{\upsilon^{2} \cdot R}{G}, \]

Mc = 2,0⋅1030 кг.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #72 : 03 Марта 2011, 18:58 »
171. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса r = 4,7⋅109 м со скоростью υ = 1⋅104 м/с. Какова средняя плотность планеты, если ее радиус R = 1,5⋅108 м? Гравитационная постоянная G = 6,67⋅10-11 Н⋅м2/кг2.

Решение. Формула для расчета скорости спутника вокруг планеты
 
\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M_{c}}{r}}, \]

где Mp = ρ⋅Vp = ρ⋅4/3⋅π⋅R3 — масса планеты. Тогда
 
\[ \upsilon^{2} = G \cdot \frac{M_{p}}{r} = \frac{G}{r} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3}, \, \, \, \rho = \frac{3r \cdot \upsilon^{2}}{4 \pi \cdot G \cdot R^{3}}, \]

ρ = 499 кг/м3.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #73 : 04 Марта 2011, 17:47 »
172. Два искусственных спутника Земли движутся в одном направлении со скоростями υ1 и υ2 по окружностям, лежащим в одной плоскости. Определить минимальное расстояние между спутниками. Радиус Земли R, ускорение свободного падения на поверхности Земли g0.

Решение. Скорость искусственного спутника (ИС) вокруг Земли (массой M, радиуса R) на высоте h равна
 
\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M}{R+h}}. \]

По условию вместо массы Земли задано ускорение свободного падения g0, которое у поверхности Земли равно
 
\[ g_{0} = G \cdot \frac{M}{R^{2}}. \]
Тогда 
\[ M = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{G}, \; \; \; \upsilon^{2} = \frac{G \cdot M}{R+h} = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{R+h}.\;\;\; (1) \]

Для ИС на высоте h1 и h2 уравнение (1) примет вид
 
\[ \upsilon_{1}^{2} = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{R+h_{1}}, \; \; \; \upsilon_{2}^{2} = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{R+h_{2}}.\;\;\; (2) \]

Расстояние между спутниками будет минимальным, если они расположены на одном радиусе большей орбиты (рис. 1). Тогда с учетом уравнений (2) получаем, расстояние между спутниками равно
 
\[ \Delta h = h_{2} - h_{1} = \left(\frac{g_{0} \cdot R^{2}}{\upsilon_{2}^{2}} - R \right) - \left(\frac{g_{0} \cdot R^{2}}{\upsilon_{1}^{2}} - R \right) = g_{0} \cdot R^{2} \cdot \left(\frac{1}{\upsilon_{2}^{2}} - \frac{1}{\upsilon_{1}^{2}} \right). \]

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #74 : 04 Марта 2011, 18:24 »
175. Найти первую космическую скорость для планеты, масса которой в n1 = 3 раза больше массы Земли, а радиус больше земного в n2 = 2 раза. Первую космическую скорость для Земли считать равной υ1 = 8 км/с.

Решение. Первая космическая скорость — это скорость искусственного спутника (ИС) вблизи поверхности планеты. Первая космическая скорость для Земли (массой M, радиуса R) равна
 
\[ \upsilon_{1} = \sqrt{G \cdot \frac{M}{R}}, \]

для планеты (массой Mp, радиуса Rp)
 
\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M_{p}}{R_{p}}}, \]

где Mp = n1M, Rp = n2R  — по условию. Решим систему двух уравнений. Например,
 
\[ \frac{\upsilon}{\upsilon_{1}} = \sqrt{\frac{G \cdot M_{p}}{R_{p}} \cdot \frac{R}{G \cdot M}} = \sqrt{\frac{M_{p} \cdot R}{R_{p} \cdot M}} = \sqrt{\frac{n_{1} \cdot M \cdot R}{n_{2} \cdot R \cdot M}} = \sqrt{\frac{n_{1}}{n_{2}}}, \; \; \upsilon = \upsilon_{1} \cdot \sqrt{\frac{n_{1}}{n_{2}}}, \]

υ = 9,8 км/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #75 : 05 Марта 2011, 08:33 »
118. Два привязанных к концам нити бруска, массы которых m1 = 0,5 кг и m2 = 0,3 кг, движутся по горизонтальной поверхности под действием горизонтальной силы F = 4 Н, приложенной ко второму бруску. С каким ускорением движутся бруски? Какова сила натяжения связывающей их нити? Коэффициент трения между брусками и плоскостью μ = 0,1.

Решение. На тело 1 действуют сила тяжести (m1g), сила реакции опоры (N1), сила трения (Ftr1) и сила натяжения нити (Т1), на тело 2 действуют сила тяжести (m2g), сила реакции опоры (N2), сила трения (Ftr2), сила натяжения нити (Т2) и сила тяги (F) (рис. 1). Ускорение направлено в сторону силы F.
Запишем уравнения второго закона Ньютона в векторной форме для двух тел:
 
\[ m_{1} \cdot \vec{a}_{1} = \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} + m_{1} \cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr1}, \, \, \, m_{2} \cdot \vec{a}_{2} = \vec{N}_{2} +\vec{F} + m_{2} \cdot \vec{g} + \vec{T}_{2} + \vec{F}_{tr2}. \]

Проекции этих уравнений

0Х: m1a1 = Т1Ftr1, m2a2 = F – Т2Ftr2;

0Y: 0 = N1m1g, 0 = N2m2g,

где Т1 = Т2 = Т, т.к. тела связаны невесомой (по умолчанию) нитью; а1 = а2 = а, т.к. тела связаны друг с другом, Ftr1 = μ⋅N1, Ftr2 = μ⋅N2, т.к. тела движутся, N1 = m1g, N2 = m2g (из проекций на ось 0Y). Решим систему уравнений. Например,

m1a = Т – Ftr1, m2a = F – Т – Ftr2,

(m1 + m2)⋅a = –Ftr1 + F – Ftr2,

 
\[ a = \frac{F - F_{tr1} - F_{tr2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{F - \mu \cdot m_{1} \cdot g - \mu \cdot m_{2} \cdot g}{m_{1} + m_{2}} = \frac{F - \mu \cdot g \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)}{m_{1} + m_{2}} = \frac{F}{m_{1} + m_{2}} - \mu \cdot g, \]

\[ T = m_{1} \cdot a + F_{tr1} = m_{1} \cdot \left(\frac{F}{m_{1} + m_{2}} - \mu \cdot g \right) + \mu \cdot m_{1} \cdot g = \frac{m_{1} \cdot F}{m_{1} + m_{2}}, \]

а = 4 м/с2, Т = 2,5 Н.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #76 : 05 Марта 2011, 16:36 »
123. Две гири массами m1 = 4,0 кг и m2 = 3,0 кг подвешены на концах нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Меньшая гиря находится на h = 2,8 м ниже, чем большая (рис. 1). Определить через какое время гири окажутся на одной высоте, если дать им возможность двигаться без начальной скорости под действием сил тяжести. Массой нити и блока пренебречь.

Решение. Так как m1 > m2, то ускорение первой гири будет направлено вниз, ускорение второй — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (m1g) и сила натяжения нити (Т1), на тело 2 — сила тяжести (m2g) и сила натяжения нити (Т2) (рис. 2). Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

m1a1 = –m1g + Т1m2a2 = Т2m2g,

где Т1 = Т2 = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а1 = а2 = а, т.к. тела связаны.
Решим систему уравнений и найдем ускорение гирь. Например,

m1a = –m1g + Тm2a = Тm2g,

(m1 + m2)⋅a = m1gТ + Т – m2g = (m1m2)⋅g,

\[ a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot g. \]

Так как ускорения грузов равны, то за одно и то же время они пройдут равные расстояния, следовательно, каждый из грузов до встречи должен пройти путь s = h/2. Перемещение второго груза при равноускоренном движении равно
 
\[ \Delta r_{y} = \upsilon_{0y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2}, \]

где υ0y = 0 (по условию), ay = a (см. рис. 2). Пусть до встречи груз двигался t = t1, тогда Δry = h/2. В итоге получаем
 
\[ \frac{h}{2} = \frac{a \cdot t_{1}^{2}}{2}, \; \; t_{1} = \sqrt{\frac{h}{a}} = \sqrt{\frac{h}{g} \cdot \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} - m_{2}}}, \]

t1 = 1,4 с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #77 : 06 Марта 2011, 08:18 »
132. К бруску массой m1 = 2 кг, лежащему на столе, привязана нерастяжимая нить. Ко второму концу нити, перекинутой через укрепленный на краю стола блок, привязан груз массой m2 = 0,5 кг. Определить коэффициент трения бруска о стол, если, двигаясь без начальной скорости, брусок за время t = 2 с прошел путь s = 1 м. Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. На тело 1 действуют сила тяжести (m1g), сила реакции опоры (N1), сила трения (Ftr) и сила натяжения нити (Т1). На тело 2 действуют сила тяжести (m2g) и сила натяжения нити (Т2) (рис. 1). Запишем проекции второго закона Ньютона:

0Х: m1a1 = Т1Ftr, (1)

0Y: 0 = N1m1g,

m2a2 = m2gТ2, (2)

где Т1 = Т2 = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а1 = а2 = а, т.к. тела связаны, Ftr = μ⋅N1, N1 = m1g — из проекции уравнения для первого тела на ось 0Y.
Ускорение системы a найдем из уравнений кинематики. Перемещение бруска при равноускоренном движении равно

Δry = υ0yt + ay⋅t2/2,

где υ0y = 0 (по условию), ay = a (см. рис. 1), Δry = s. Тогда

s = a⋅t2/2, a = 2s/t2. (3)

Решим систему уравнений (1) - (2). Например,

m1a = Т – Ftr, m2a = m2g – Т,

(m1 + m2)⋅a = Т – Ftr + m2g – Т = m2g – Ftr,

Ftr = m2g – (m1 + m2)⋅a, μ⋅m1g = m2g – (m1 + m2)⋅a,
 
\[ \mu = \frac{m_{2}}{m_{1}} - \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cdot g} \cdot a = \frac{m_{2}}{m_{1}} - \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cdot g} \cdot \frac{2s}{t^{2}}, \]

μ = 0,19.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #78 : 07 Марта 2011, 07:38 »
133. К концам нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок, прикреплены гири массами m1 = 1 кг и m2 = 2 кг. Обе гири движутся с ускорением а = 3,27 м/с2. Найти ускорение свободного падения для данного места. Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. Так как m2 > m1, то ускорение второй гири будет направлено вниз, ускорение первой — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (m1g) и сила натяжения нити (Т1), на тело 2 — сила тяжести (m2g) и сила натяжения нити (Т2) (рис. 2). Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

m1a1 = –m1g + Т1, –m2a2 = Т2m2g,

где Т1 = Т2 = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а1 = а2 = а, т.к. тела связаны.
Решим систему уравнений и найдем ускорение гирь. Например,

m1a = –m1g + Т, –m2a = Т – m2g,

(m1 + m2)⋅a = –m1g + Т – Т + m2g = (m2m1)⋅g,

\[ g = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2} - m_{1}} \cdot a, \]

g = 9,8 м/с2.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Динамика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #79 : 07 Марта 2011, 07:47 »
134. На концах нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены тела массой m = 240 г каждое. Какую массу должен иметь добавочный груз, положенный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за время t = 4,0 с путь s = 160 см? Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. Пусть добавочный груз на правом теле, тогда m2 = m + Δm. Ускорение второго тела будет направлено вниз, ускорение первого — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (mg) и сила натяжения нити (Т1), на тело 2 — сила тяжести (m2g) и сила натяжения нити (Т2) (рис. 1). Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

m⋅a1 = –m⋅g + Т1,  –m2a2 = Т2m2g,

где Т1 = Т2 = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а1 = а2 = а, т.к. тела связаны.
Решим систему уравнений и найдем ускорение гирь. Например,

m⋅a = –m⋅g + Т, –m2a = Т – m2g,

(m + m2)⋅a = –m⋅g + Т – Т + m2g = (m2m)⋅g,

(m + Δm)⋅a = Δm⋅g, Δm⋅(g – a) = 2m⋅a. (1)

Ускорение системы a найдем из уравнений кинематики. Перемещение тела 1 при равноускоренном движении равно

Δry = υ0yt + ay⋅t2/2,

где υ0y = 0 (по условию), ay = a (см. рис. 1), Δry = s. Тогда

s = a⋅t2/2, a = 2s/t2. (3)

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 
\[ \Delta m = \frac{2m}{g - a} \cdot a = \frac{2m}{g - 2s/t^{2}} \cdot \frac{2s}{t^{2}} = \frac{2m \cdot t^{2}}{g \cdot t^{2} - 2s} \cdot \frac{2s}{t^{2}} = \frac{4m \cdot s}{g \cdot t^{2} - 2s}, \]

Δm = 9,8⋅10–3 кг.