Динамика из сборника Савченко Н.Е.

[alsak]

174. Каким должен был бы быть период вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тела на экваторе находились в состоянии невесомости? Радиус Земли R = 6370 км.

Решение. По третьему закону Ньютона, с какой силой тело давит на Землю (вес тела P), с такой же по величине силой, но противоположной по направлению, планета будет действовать на тело (сила реакции опоры N), т.е. P = N.
На тело действуют сила тяжести (m⋅g) и сила реакции опоры (N = P = 0 — по условию), которая направлена перпендикулярно поверхности Земли. Из-за вращения планеты тело вращается по окружности, радиус которой на экваторе равен радиусу Земли (рис. 1), центростремительное ускорение направлено к центру вращения (центру Земли). Из второго закона Ньютона:
 

\[ m \cdot \vec{a}_{c} = m \cdot \vec{g} + \vec{N} = m \cdot \vec{g}, \]

0X: m⋅a_с = m⋅g или a_с = g,

где a_c = ω²⋅R, ω = 2π/T. Тогда
 

\[ \left(\frac{2 \pi}{T} \right)^{2} \cdot R = g, \; \; \; T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{R}{g}}, \]

T = 5,0⋅10³ с = 83,5 мин.

[alsak]

170. Определить массу Солнца, зная, что средняя линейная скорость Земли на орбите υ = 30 км/с, а радиус орбиты Земли R = 1,5⋅10⁸ км. Гравитационная постоянная G = 6,67⋅10^–11 Н⋅м²/кг².

Решение. Земля является спутником Солнца, поэтому можно применить формулу для расчета скорости спутника вокруг планеты
 

\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M_{c}}{R}},
 \]

где M_c — масса Солнца.
*Эту формулу несложно вывести из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения: \[ m \cdot \frac{\upsilon^{2}}{R} = G \cdot \frac{m \cdot M}{R^{2}}. \]
Тогда
 

\[ M_{c} = \frac{\upsilon^{2} \cdot R}{G}, \]

M_c = 2,0⋅10³⁰ кг.

[alsak]

171. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса r = 4,7⋅10⁹ м со скоростью υ = 1⋅10⁴ м/с. Какова средняя плотность планеты, если ее радиус R = 1,5⋅10⁸ м? Гравитационная постоянная G = 6,67⋅10^-11 Н⋅м²/кг².

Решение. Формула для расчета скорости спутника вокруг планеты
 

\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M_{c}}{r}}, \]

где M_p = ρ⋅V_p = ρ⋅4/3⋅π⋅R³ — масса планеты. Тогда
 

\[ \upsilon^{2} = G \cdot \frac{M_{p}}{r} = \frac{G}{r} \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot R^{3}, \, \, \, \rho = \frac{3r \cdot \upsilon^{2}}{4 \pi \cdot G \cdot R^{3}}, \]

ρ = 499 кг/м³.

[alsak]

172. Два искусственных спутника Земли движутся в одном направлении со скоростями υ₁ и υ₂ по окружностям, лежащим в одной плоскости. Определить минимальное расстояние между спутниками. Радиус Земли R, ускорение свободного падения на поверхности Земли g₀.

Решение. Скорость искусственного спутника (ИС) вокруг Земли (массой M, радиуса R) на высоте h равна
 

\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M}{R+h}}. \]

По условию вместо массы Земли задано ускорение свободного падения g₀, которое у поверхности Земли равно
 

\[ g_{0} = G \cdot \frac{M}{R^{2}}. \]

Тогда 

\[ M = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{G}, \; \; \; \upsilon^{2} = \frac{G \cdot M}{R+h} = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{R+h}.\;\;\; (1) \]

Для ИС на высоте h₁ и h₂ уравнение (1) примет вид
 

\[ \upsilon_{1}^{2} = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{R+h_{1}}, \; \; \; \upsilon_{2}^{2} = \frac{g_{0} \cdot R^{2}}{R+h_{2}}.\;\;\; (2) \]

Расстояние между спутниками будет минимальным, если они расположены на одном радиусе большей орбиты (рис. 1). Тогда с учетом уравнений (2) получаем, расстояние между спутниками равно
 

\[ \Delta h = h_{2} - h_{1} = \left(\frac{g_{0} \cdot R^{2}}{\upsilon_{2}^{2}} - R \right) - \left(\frac{g_{0} \cdot R^{2}}{\upsilon_{1}^{2}} - R \right) = g_{0} \cdot R^{2} \cdot \left(\frac{1}{\upsilon_{2}^{2}} - \frac{1}{\upsilon_{1}^{2}} \right). \]

[alsak]

175. Найти первую космическую скорость для планеты, масса которой в n₁ = 3 раза больше массы Земли, а радиус больше земного в n₂ = 2 раза. Первую космическую скорость для Земли считать равной υ₁ = 8 км/с.

Решение. Первая космическая скорость — это скорость искусственного спутника (ИС) вблизи поверхности планеты. Первая космическая скорость для Земли (массой M, радиуса R) равна
 

\[ \upsilon_{1} = \sqrt{G \cdot \frac{M}{R}}, \]

для планеты (массой M_p, радиуса R_p)
 

\[ \upsilon = \sqrt{G \cdot \frac{M_{p}}{R_{p}}}, \]

где M_p = n₁⋅M, R_p = n₂⋅R  — по условию. Решим систему двух уравнений. Например,
 

\[ \frac{\upsilon}{\upsilon_{1}} = \sqrt{\frac{G \cdot M_{p}}{R_{p}} \cdot \frac{R}{G \cdot M}} = \sqrt{\frac{M_{p} \cdot R}{R_{p} \cdot M}} = \sqrt{\frac{n_{1} \cdot M \cdot R}{n_{2} \cdot R \cdot M}} = \sqrt{\frac{n_{1}}{n_{2}}}, \; \; \upsilon = \upsilon_{1} \cdot \sqrt{\frac{n_{1}}{n_{2}}}, \]

υ = 9,8 км/с.

[alsak]

118. Два привязанных к концам нити бруска, массы которых m₁ = 0,5 кг и m₂ = 0,3 кг, движутся по горизонтальной поверхности под действием горизонтальной силы F = 4 Н, приложенной ко второму бруску. С каким ускорением движутся бруски? Какова сила натяжения связывающей их нити? Коэффициент трения между брусками и плоскостью μ = 0,1.

Решение. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁⋅g), сила реакции опоры (N₁), сила трения (F_tr1) и сила натяжения нити (Т₁), на тело 2 действуют сила тяжести (m₂⋅g), сила реакции опоры (N₂), сила трения (F_tr2), сила натяжения нити (Т₂) и сила тяги (F) (рис. 1). Ускорение направлено в сторону силы F.
Запишем уравнения второго закона Ньютона в векторной форме для двух тел:
 

\[ m_{1} \cdot \vec{a}_{1} = \vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} + m_{1} \cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr1}, \, \, \, m_{2} \cdot \vec{a}_{2} = \vec{N}_{2} +\vec{F} + m_{2} \cdot \vec{g} + \vec{T}_{2} + \vec{F}_{tr2}. \]

Проекции этих уравнений

0Х: m₁⋅a₁ = Т₁ – F_tr1, m₂⋅a₂ = F – Т₂ – F_tr2;

0Y: 0 = N₁ – m₁⋅g, 0 = N₂ – m₂⋅g,

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. тела связаны невесомой (по умолчанию) нитью; а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны друг с другом, F_tr1 = μ⋅N₁, F_tr2 = μ⋅N₂, т.к. тела движутся, N₁ = m₁⋅g, N₂ = m₂⋅g (из проекций на ось 0Y). Решим систему уравнений. Например,

m₁⋅a = Т – F_tr1, m₂⋅a = F – Т – F_tr2,

(m₁ + m₂)⋅a = –F_tr1 + F – F_tr2,

 

\[ a = \frac{F - F_{tr1} - F_{tr2}}{m_{1} + m_{2}} = \frac{F - \mu \cdot m_{1} \cdot g - \mu \cdot m_{2} \cdot g}{m_{1} + m_{2}} = \frac{F - \mu \cdot g \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)}{m_{1} + m_{2}} = \frac{F}{m_{1} + m_{2}} - \mu \cdot g, \]

\[ T = m_{1} \cdot a + F_{tr1} = m_{1} \cdot \left(\frac{F}{m_{1} + m_{2}} - \mu \cdot g \right) + \mu \cdot m_{1} \cdot g = \frac{m_{1} \cdot F}{m_{1} + m_{2}}, \]

а = 4 м/с², Т = 2,5 Н.

[alsak]

123. Две гири массами m₁ = 4,0 кг и m₂ = 3,0 кг подвешены на концах нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Меньшая гиря находится на h = 2,8 м ниже, чем большая (рис. 1). Определить через какое время гири окажутся на одной высоте, если дать им возможность двигаться без начальной скорости под действием сил тяжести. Массой нити и блока пренебречь.

Решение. Так как m₁ > m₂, то ускорение первой гири будет направлено вниз, ускорение второй — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁⋅g) и сила натяжения нити (Т₁), на тело 2 — сила тяжести (m₂⋅g) и сила натяжения нити (Т₂) (рис. 2). Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

–m₁⋅a₁ = –m₁⋅g + Т₁,  m₂⋅a₂ = Т₂ – m₂⋅g,

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны.
Решим систему уравнений и найдем ускорение гирь. Например,

–m₁⋅a = –m₁⋅g + Т,  m₂⋅a = Т – m₂⋅g,

(m₁ + m₂)⋅a = m₁⋅g – Т + Т – m₂⋅g = (m₁ – m₂)⋅g,

\[ a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot g. \]

Так как ускорения грузов равны, то за одно и то же время они пройдут равные расстояния, следовательно, каждый из грузов до встречи должен пройти путь s = h/2. Перемещение второго груза при равноускоренном движении равно
 

\[ \Delta r_{y} = \upsilon_{0y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2}, \]

где υ_0y = 0 (по условию), a_y = a (см. рис. 2). Пусть до встречи груз двигался t = t₁, тогда Δr_y = h/2. В итоге получаем
 

\[ \frac{h}{2} = \frac{a \cdot t_{1}^{2}}{2}, \; \; t_{1} = \sqrt{\frac{h}{a}} = \sqrt{\frac{h}{g} \cdot \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} - m_{2}}}, \]

t₁ = 1,4 с.

[alsak]

132. К бруску массой m₁ = 2 кг, лежащему на столе, привязана нерастяжимая нить. Ко второму концу нити, перекинутой через укрепленный на краю стола блок, привязан груз массой m₂ = 0,5 кг. Определить коэффициент трения бруска о стол, если, двигаясь без начальной скорости, брусок за время t = 2 с прошел путь s = 1 м. Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁∙g), сила реакции опоры (N₁), сила трения (F_tr) и сила натяжения нити (Т₁). На тело 2 действуют сила тяжести (m₂∙g) и сила натяжения нити (Т₂) (рис. 1). Запишем проекции второго закона Ньютона:

0Х: m₁⋅a₁ = Т₁ – F_tr, (1)

0Y: 0 = N₁ – m₁⋅g,

m₂⋅a₂ = m₂⋅g – Т₂, (2)

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны, F_tr = μ⋅N₁, N₁ = m₁⋅g — из проекции уравнения для первого тела на ось 0Y.
Ускорение системы a найдем из уравнений кинематики. Перемещение бруска при равноускоренном движении равно

Δr_y = υ_0y⋅t + a_y⋅t²/2,

где υ_0y = 0 (по условию), a_y = a (см. рис. 1), Δr_y = s. Тогда

s = a⋅t²/2, a = 2s/t². (3)

Решим систему уравнений (1) - (2). Например,

m₁⋅a = Т – F_tr, m₂⋅a = m₂⋅g – Т,

(m₁ + m₂)⋅a = Т – F_tr + m₂∙g – Т = m₂⋅g – F_tr,

F_tr = m₂⋅g – (m₁ + m₂)⋅a, μ⋅m₁⋅g = m₂⋅g – (m₁ + m₂)⋅a,
 
\[ \mu = \frac{m_{2}}{m_{1}} - \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cdot g} \cdot a = \frac{m_{2}}{m_{1}} - \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cdot g} \cdot \frac{2s}{t^{2}}, \]

μ = 0,19.

[alsak]

133. К концам нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок, прикреплены гири массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг. Обе гири движутся с ускорением а = 3,27 м/с². Найти ускорение свободного падения для данного места. Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. Так как m₂ > m₁, то ускорение второй гири будет направлено вниз, ускорение первой — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (m₁⋅g) и сила натяжения нити (Т₁), на тело 2 — сила тяжести (m₂⋅g) и сила натяжения нити (Т₂) (рис. 2). Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

m₁⋅a₁ = –m₁⋅g + Т₁, –m₂⋅a₂ = Т₂ – m₂⋅g,

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны.
Решим систему уравнений и найдем ускорение гирь. Например,

m₁⋅a = –m₁⋅g + Т, –m₂⋅a = Т – m₂⋅g,

(m₁ + m₂)⋅a = –m₁⋅g + Т – Т + m₂⋅g = (m₂ – m₁)⋅g,

\[ g = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2} - m_{1}} \cdot a, \]

g = 9,8 м/с².

[alsak]

134. На концах нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены тела массой m = 240 г каждое. Какую массу должен иметь добавочный груз, положенный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за время t = 4,0 с путь s = 160 см? Массой нити, блока и трением в блоке пренебречь.

Решение. Пусть добавочный груз на правом теле, тогда m₂ = m + Δm. Ускорение второго тела будет направлено вниз, ускорение первого — вверх. На тело 1 действуют сила тяжести (m⋅g) и сила натяжения нити (Т₁), на тело 2 — сила тяжести (m₂⋅g) и сила натяжения нити (Т₂) (рис. 1). Запишем проекции второго закона Ньютона на ось 0Y:

m⋅a₁ = –m⋅g + Т₁,  –m₂⋅a₂ = Т₂ – m₂⋅g,

где Т₁ = Т₂ = Т, т.к. массой нити пренебрегаем, а₁ = а₂ = а, т.к. тела связаны.
Решим систему уравнений и найдем ускорение гирь. Например,

m⋅a = –m⋅g + Т, –m₂⋅a = Т – m₂⋅g,

(m + m₂)⋅a = –m⋅g + Т – Т + m₂⋅g = (m₂ – m)⋅g,

(m + Δm)⋅a = Δm⋅g, Δm⋅(g – a) = 2m⋅a. (1)

Ускорение системы a найдем из уравнений кинематики. Перемещение тела 1 при равноускоренном движении равно

Δr_y = υ_0y⋅t + a_y⋅t²/2,

где υ_0y = 0 (по условию), a_y = a (см. рис. 1), Δr_y = s. Тогда

s = a⋅t²/2, a = 2s/t². (3)

Подставим полученное выражение в уравнение (1)
 

\[ \Delta m = \frac{2m}{g - a} \cdot a = \frac{2m}{g - 2s/t^{2}} \cdot \frac{2s}{t^{2}} = \frac{2m \cdot t^{2}}{g \cdot t^{2} - 2s} \cdot \frac{2s}{t^{2}} = \frac{4m \cdot s}{g \cdot t^{2} - 2s}, \]

Δm = 9,8⋅10^–3 кг.