Автор Тема: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 41423 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #50 : 06 Июня 2012, 21:04 »
75. Тело, брошенное под некоторым углом к горизонтальной плоскости, падает на нее через τ = 2 с. Какой наибольшей высоты оно достигало? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Выберем систему координат с началом в точке бросания тела, ОY направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (см. рис). За начало отсчета времени примем момент бросания тела. Движение тела можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения вдоль оси OX со скоростью υ и движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ0y вдоль оси OY. Это движение описывается кинематическими уравнениями:
\[ \begin{align}
  & x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2},y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \\
 & {{\upsilon }_{x}}={{\upsilon }_{0x}}+{{a}_{x}}\cdot t,{{\upsilon }_{y}}={{\upsilon }_{0y}}+{{a}_{y}}\cdot t \\
\end{align}
 \]
При выбранной системе координат х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0·cosα0, υ0y = υ0·sinα0, ах = 0, ау = -g. Поэтому через t с после бросания тела координаты и зависимость проекций скорости от времени выразятся уравнениями:
\[ \begin{align}
  & x={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \cos {{\alpha }_{0}},(1) \\
 & y={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
υх = υ0·cosα0, υy = υ0·sinα0 - g·t.
В момент падения тела y = 0, t = τ. На основании уравнения (2) имеем
\[ \tau =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}}{g} \]
Время подъема до максимальной высоты t1 найдем из уравнения для υy, учитывая, что в верхней точке траектории υy = 0
0= υ0·sinα0 - g·t1
Откуда
\[ {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}}{g} \]
Сравнивая время полета и время подъема на максимальную высоту, приходим к выводу, что
\[ {{t}_{1}}=\frac{\tau }{2}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}}{g}(3) \]
Максимальную высоту подъема определим из уравнения (2), подставив в него t1 вместо t и выразив υ0·sinα0 из уравнения (3)
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}=\frac{\tau \cdot g}{2}, \\
 & {{h}_{\max }}={{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}\cdot {{t}_{1}}-\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{\tau \cdot g}{2}\cdot \frac{\tau }{2}-\frac{g\cdot {{\left( \frac{\tau }{2} \right)}^{2}}}{2}=\frac{{{\tau }^{2}}\cdot g}{8} \\
\end{align}
 \]
hmax = 5 м

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #51 : 07 Июня 2012, 16:17 »
34. Расстояние между двумя лодочными станциями моторная лодка проходит по течению реки за t1 = 10 мин, а против течения — за t2 = 30 мин. За какое время это расстояние проплывет по течению упавший в воду спасательный круг?
Решение. Пусть υm — собственная скорость моторной лодки (или скорость лодки относительно воды υm = υm/t), υt — скорость течения, υ1 — скоростью лодки относительно берега при движении по течению, υ2 — скоростью лодки относительно берега при движении против течения, АВ = s — расстояние между лодочными станциями. Во всех случаях ось 0Х будем направлять вдоль скорости лодки υm.
Спасательный круг плывет со скоростью, равной скорости течения υt, поэтому расстояние между станциями он проплывет за время

t3 = st.   (1)

1 случай: лодка идет по течению (рис. 1). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде:
\[\vec{\upsilon }_{1} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]
0Х: υ1 = υt + υm.

В этом случае лодка совершает перемещение Δr1 = sr1x > 0, т.к. лодка движется вдоль 0Х). Время движения лодки
\[ t_{1} =\frac{\Delta r_{1} }{\upsilon _{1} } =\frac{s}{\upsilon _{t} +\upsilon _{m} }. \;\;\; (2)\]

2 случай: лодка идет против течения (рис. 2). Запишем закон сложения скоростей в следующем виде (υ2x > 0, т.к. по условию лодка относительно берега движется против течения):
\[\vec{\upsilon }_{2} =\vec{\upsilon }_{t} +\vec{\upsilon }_{m/t} ,\]
0Х: υ2 = –υt + υm.

И в этом случае лодка совершает перемещение Δr2 = sr2x > 0, т.к. лодка движется вдоль 0Х). Время движения лодки
\[ t_{2} =\frac{\Delta r_{2} }{\upsilon _{2} } =\frac{s}{\upsilon _{m} -\upsilon _{t} } . \;\;\; (3)\]

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[\begin{array}{c} {\frac{s}{t_{1} } =\upsilon _{m} +\upsilon _{t} ,\; \; \frac{s}{t_{2} } =\upsilon _{m} -\upsilon _{t} ,\; \; \; \frac{s}{t_{1} } -\frac{s}{t_{2} } =\upsilon _{m} +\upsilon _{t} -\left(\upsilon _{m} -\upsilon _{t} \right)=2\upsilon _{t} ,} \\ {\upsilon _{t} =\frac{s}{2} \cdot \left(\frac{1}{t_{1} } -\frac{1}{t_{2} } \right)=\frac{s}{2} \cdot \frac{t_{2} -t_{1} }{t_{1} \cdot t_{2} } ,\; \; \; t_{3} =\; s\cdot \frac{2}{s} \cdot \frac{t_{1} \cdot t_{2} }{t_{2} -t_{1} } =\; 2\cdot \frac{t_{1} \cdot t_{2} }{t_{2} -t_{1} } ,} \end{array}\]
t3 = 30 мин.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #52 : 07 Июня 2012, 16:28 »
35. Расстояние s между пунктами А и В равно 80 км. Из пункта А в направлении АВ выезжает со скоростью υ1 = 50 км/ч мотоциклист. Одновременно из пункта В выезжает в том же направлении автомобиль со скоростью υ2 = 30 км/ч. Через какое время τ и на каком расстоянии s1 от точки А мотоциклист догонит автомобиль? Решить задачу алгебраическим и графическим способами.
Решение. Аналитический координатный способ. Составим уравнение движения каждого тела. Для этого за точку 0 примем положение точки А, ось 0Х направим в сторону движения мотоциклиста (рис. 1). Тела движутся равномерно, поэтому (первое тело — это мотоциклист, который движется вдоль оси 0Х, второе — автомобиль, так же движется вдоль оси 0Х):

x1 = υ1t,   (1)

x2 = l + υ2t,   (2)
где l = AB = 80 км.
Пусть t1 — время встречи тел. Тогда

x1 = x2,   υ1t1 = l + υ2t1,
\[t_{1} =\frac{l}{\upsilon _{1} -\upsilon _{2} } ,\]
t1 = 4 ч. Место встречи (расстояние от начального положения автомобиля)

x1(t1) = 200 км.

Графический способ. Используя уравнения (1) и (2), построим график x(t) для этих тел (рис. 2). Так как это линейные функции, то для построения каждого графика достаточно 2 точки:
Мотоциклист
  12
t, ч 0 8
x, км 0 400

Автомобиль
  12
t, ч 0 8
x, км 80 320

Графики пересекаются в точке C, координаты которой и определяют место (xС = 200 км) и время встречи (tС = 4 ч).

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #53 : 07 Июня 2012, 18:30 »
45. Тело за время t = 6 с переместилось на s = 270 см. Первые три секунды тело двигалось с постоянным ускорением, а последние три – равномерно. Определить начальную скорость тела, если за пятую секунду его перемещение s5 = 40 см.
Решение: перемещение s разобьем на две части: s1 – при равноускоренном движении и s2  - при равномерном. Т.к. при равномерном движении тело за пятую секунду переместилось на s5, то и за четвёртую на s5 и шестую тоже на s5  (начиная с четвёртой секунды, тело двигалось равномерно). Тогда путь, пройденный при равномерном движении:
s2 = 3∙s5
При этом скорость тела при равномерном движении равна по модулю перемещению за 5 секунду:
\[ \upsilon =\frac{s_{5} }{t_{5} } =\frac{s_{5} }{1} =\left|s_{5} \right|. \]
На первом участке движения (движение с постоянным ускорением) путь (перемещение) определим через среднюю скорость: начальная скорость υ0, конечная скорость – υ, тогда средняя скорость
\[ \upsilon _{cp} =\frac{\upsilon _{0} +\upsilon}{2}.  \]
(скорость изменяется линейно, поэтому средняя скорость равна средней арифметической). Тогда перемещение при равноускоренном движении (учтём, что тело двигалось 3 секунды):
\[ s_{1} =\frac{\upsilon _{0} +\upsilon }{2} \cdot 3=\frac{3\cdot \left(\upsilon _{0} +s_{5} \right)}{2}. \]
Перемещение s за время t:
\[ \begin{array}{l} {s=s_{1} +s_{2} =3\cdot s_{5} +\frac{3\cdot \left(\upsilon _{0} +s_{5} \right)}{2} ,} \\ {s=\frac{6\cdot s_{5} +3\cdot \upsilon _{0} +3\cdot s_{5} }{2} ,} \\ {\upsilon _{0} =\frac{2\cdot s-9\cdot s_{5} }{3} =\frac{4\cdot s-18\cdot s_{5}}{6}.} \end{array} \]
Учтём, что t = 6 с, и получим ответ:
\[ \upsilon _{0} =\frac{4\cdot s-18\cdot s_{5}}{t}. \]
Ответ: 60 см/с = 0,6 м/с.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #54 : 07 Июня 2012, 18:33 »
44. Двигаясь равноускоренно без начальной скорости, тело, пройдя некоторый путь, приобрело скорость υ = 14 м/с. Чему была равна скорость тела, когда оно прошло половину этого пути?
Решение: воспользуемся связью начальной скорости тела, конечной скорости, ускорения и пройденного пути при равноускоренном движении:
\[ \upsilon ^{2} -\upsilon _{0}^{2} =2\cdot a\cdot l. \]
Начальная скорость равна нулю, пройдя путь l скорость тела υ, пройдя половину пути: l/2 – скорость тела υ1. Получаем систему уравнений:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon ^{2} =2\cdot a\cdot l,\upsilon _{1}^{2} =2\cdot a\cdot \frac{l}{2} ,\upsilon _{1}^{2} =\frac{\upsilon ^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{1} =\frac{\upsilon }{\sqrt{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 10 м/с.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #55 : 07 Июня 2012, 18:38 »
43. Тело, двигаясь равноускоренно, за первые t1 = 5,0 с своего движения прошло путь l1= 100 м, а за первые t2 = 10 с – l2 = 300 м. Определить начальную скорость тела.
Решение: воспользуемся формулой для расчёта пути  при равноускоренном, прямолинейном движении:
\[ l=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}. \]
Составим систему уравнений на основании данных задачи:
\[ \begin{array}{l} {l_{1} =\upsilon _{0} \cdot t_{1} +\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} ,} \\ {l_{2} =\upsilon _{0} \cdot t_{2} +\frac{a\cdot t_{2}^{2} }{2} .} \end{array} \]
Решим систему, например:
\[ \begin{array}{l} {l_{1} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} =\frac{a\cdot t_{1}^{2} }{2} ,l_{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{2} =\frac{a\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {\frac{l_{1} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} }{l_{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{2} } =\frac{t_{1}^{2} }{t_{2}^{2} } ,l_{1} \cdot t_{2}^{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{1} \cdot t_{2}^{2} =l_{2} \cdot t_{1}^{2} -\upsilon _{0} \cdot t_{2} \cdot t_{1}^{2},} \end{array} \]
\[ \upsilon _{0} =\frac{l_{2} \cdot t_{1}^{2} -l_{1} \cdot t_{2}^{2} }{t_{2} \cdot t_{1}^{2} -t_{1} \cdot t_{2}^{2}}. \]
Ответ: 10 м/с.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #56 : 07 Июня 2012, 18:50 »
42. Двигатели ракеты, запущенной вертикально вверх с поверхности земли, работали в течение времени t = 1,0 мин и сообщали ракете постоянное ускорение a =3g. Какой максимальной высоты достигла ракета? Ускорение свободного падения считать постоянным и равным 9,8 м/с2.
Решение: первые 60 секунд ракета разгонялась. Запишем уравнение движения ракеты в выбранной системе координат, при  t1< t:
\[ y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t_{1} +\frac{a_{y} \cdot t_{1}^{2}}{2}. \]
Здесь проекция ускорения на ось y: ay=a=3g, начальная скорость тела υ0 = 0, начальная координата тела в выбранной системе отсчёта y0=0 (см. рис.):
\[ y=\frac{a\cdot t_{1}^{2}}{2}. \]
подставляя время движения t, определим высоту, на которой окажется на которой окажется ракета:
\[ h=\frac{3g\cdot t^{2}}{2}.  \]
Скорость ракеты в этот момент будет направлена вверх, найдём её из уравнения зависимости проекции скорости тела от времени:
\[ \begin{array}{l} {\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +a_{y} \cdot t_{1} ,} \\ {\upsilon =a\cdot t=3g\cdot t.} \end{array} \]
Далее ракета свободно падает с высоты h, имея начальную скорость υ, направленную вверх. Снова воспользуемся уравнением координаты и скорости, записав их для времени t2 > t:
y0 = h,   υ0y=υ,  ay = – g,
тогда:
\[ \begin{array}{l} {y=h+\upsilon \cdot t_{2} -\frac{g\cdot t_{2}^{2} }{2} ,} \\ {\upsilon _{y} =\upsilon -g\cdot t_{2}.} \end{array} \]
В верхней точке траектории ракета буден находится на максимальной высоте, её скорость будет равна нулю. Т.е при t2 = tn имеем: y = hmaxy = 0.
\[ \begin{array}{l} {h_{\max } =h+\upsilon \cdot t_{n} -\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} ,} \\ {0=\upsilon -g\cdot t_{n}.} \end{array} \]
Выразим время подъёма из второго уравнения, подставим в первое и учтём полученные выражения для h и υ:
\[ \begin{array}{l} {t_{n} =\frac{\upsilon }{g} =\frac{3g\cdot t}{g} =3t,} \\ {h_{\max } =\frac{3g\cdot t^{2} }{2} +3g\cdot t\cdot 3t-\frac{g\cdot \left(3t\right)^{2} }{2} ,} \\ {h_{\max } =6g\cdot t^{2}.} \end{array} \]
Ответ: 2,1∙105 м = 2,1∙102 км.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #57 : 07 Июня 2012, 19:00 »
41. Свободно падающее тело прошло последние l = 63,7 м за τ = 1,0 с. С какой высоты падало тело?
Решение: систему отсчёта выберем следующим образом: ось y направим вертикально вверх, начало отсчёта на поверхности земли. Запишем уравнение движения тела в выбранной системе координат:
\[ \begin{array}{l} {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {y=h-\frac{g\cdot t^{2}}{2}.} \end{array} \]
Здесь проекция ускорения на ось y: ay = ¬- g, начальная скорость тела υ0 = 0, начальная координата тела в выбранной системе отсчёта y0=h – искомой высоте. Путь в момент касания земли пройдёт время падения: t = tn, y = 0:
\[ 0=h-\frac{g\cdot t_{n}^{2}}{2} ,h=\frac{g\cdot t_{n}^{2}}{2}. \]
В момент времени t = tn - τ, координата тела y = l:
\[ l=h-\frac{g\cdot \left(t_{n} -\tau \right)^{2}}{2}. \]
Подставим h  и определим время падения:
\[ \begin{array}{l} {l=\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} -\frac{g\cdot \left(t_{n} -\tau \right)^{2} }{2} =\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} -\frac{g\cdot t_{n}^{2} }{2} +g\cdot t_{n} \cdot \tau -\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {t_{n} =\frac{l}{g\cdot \tau } +\frac{\tau }{2}.} \end{array} \]
Тогда получаем искомую высоту:
\[ h=\frac{g}{2} \cdot \left(\frac{l}{g\cdot \tau } +\frac{\tau }{2} \right)^{2}. \]
Ответ: 240 м (g = 9,8 м/с2)

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #58 : 07 Июня 2012, 19:07 »
40. Двигаясь равноускоренно, материальная точка в первые два равных последовательных промежутка времени по τ = 4,0 с каждый проходит пути l1= 20 м и l2 = 30 м. Определить ускорение и начальную скорость точки.
Решение: систему отсчёта выберем следующим образом: ось x направим в направлении движения тела, за начало отсчёта возьмем начальное положение тела. В этом случае координата тела в любой момент времени равна пройденному пути. Запишем уравнение движения тела в выбранной системе координат (считаем, что начальная скорость тела и ускорение имеют направление, совпадающее с  положительным направлением оси координат):
\[ \begin{array}{l} {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {l=\upsilon _{0} \cdot t+\frac{a\cdot t^{2}}{2}.} \end{array} \]
Составим систему уравнений, воспользовавшись данными задачи:
\[ \begin{array}{l} {l_{1} =\upsilon _{0} \cdot \tau +\frac{a\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {l_{1} +l_{2} =\upsilon _{0} \cdot 2\tau +\frac{a\cdot \left(2\tau \right)^{2} }{2}.} \end{array} \]
Сделаем преобразования:
\[ \begin{array}{l} {2l_{1} =2\upsilon _{0} \cdot \tau +a\cdot \tau ^{2} ,} \\ {l_{1} +l_{2} =2\upsilon _{0} \cdot \tau +2a\cdot \tau ^{2} .} \end{array} \]
Вычитая из первого уравнения второе, найдём ускорение.
Помножив первое уравнение на два, и отняв от него второе, найдём начальную скорость.
\[ \begin{array}{l} {a=\frac{l_{2} -l_{1} }{\tau ^{2} } ,} \\ {\upsilon _{0} =\frac{3l_{1} -l_{2}}{2\cdot \tau}.} \end{array} \]
Ответ: 0,63 м/с2;   3,8 м/с.

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #59 : 07 Июня 2012, 21:51 »
76. Камень брошен под углом α0 = 30° к горизонту со скоростью υ0= 10 м/с. Через сколько времени камень будет на высоте h = 1 м? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Выберем систему координат с началом в точке бросания тела, ОY направим вертикально вверх, ось ОХ – горизонтально (см. рис). За начало отсчета времени примем момент бросания тела. Движение тела можно представить как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения вдоль оси OX со скоростью υ и движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью υ0y вдоль оси OY. Это движение описывается кинематическими уравнениями:
\[ x={{x}_{0}}+{{\upsilon }_{0x}}\cdot t+\frac{{{a}_{x}}\cdot {{t}^{2}}}{2},y={{y}_{0}}+{{\upsilon }_{0y}}\cdot t+\frac{{{a}_{y}}\cdot {{t}^{2}}}{2} \]
При выбранной системе координат х0 = 0, у0 = 0, υ = υ0·cosα0, υ0y = υ0·sinα0, ах = 0, ау = -g. Поэтому через t с после бросания пройденный путь и высота подъема:
\[ \begin{align}
  & l={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \cos {{\alpha }_{0}},(1) \\
 & h={{\upsilon }_{0}}\cdot t\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(2) \\
\end{align}
 \]
где l – дальность полета, h – высота подъема. Решая уравнение (2) относительно времени t получим квадратное  уравнение:
g·t2 - 2·υ0·sinα0·t + 2·h = 0
Дискриминант
d = 4· υ20·sin2α0 – 8 g·h = 4·(υ20·sin2α0 – 2 g·h)
Тогда
\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\sqrt{4\cdot \left( \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot g\cdot h \right)}}{2\cdot g}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}-\sqrt{\left( \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot g\cdot h \right)}}{g}=0,3c \\
 & {{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}\cdot \sin {{\alpha }_{0}}+\sqrt{\left( \upsilon _{0}^{2}\cdot {{\sin }^{2}}{{\alpha }_{0}}-2\cdot g\cdot h \right)}}{g}=0,8c \\
\end{align}
 \]
Таким образом, тело побывает на высоте 1 м дважды; при подъеме и при падении
« Последнее редактирование: 07 Июня 2012, 22:03 от djek »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24