Автор Тема: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 41805 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Kivir

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #70 : 13 Июня 2012, 00:22 »
62. Из одной точки одновременно бросают с одинаковыми скоростями υ0  два тела: одно вертикально вверх, второе горизонтально. Найти расстояние между телами через промежуток времени τ после бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
Систему отсчёта выберем следующим образом: начало отсчёта в точке бросания, ось x – горизонтально, осьy – вертикально вверх (направление осей совпадает с направлением начальных скоростей тел). Запишем уравнение движения тел (зависимость координаты тела от времени):
\[ \begin{array}{l} {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} ,} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2}.} \end{array} \]
Здесь проекция ускорения на ось y: ay= – g, проекция ускорения на ось x: ax= 0, проекция начальной скорости первого тела на ось y: υ0y = υ0, на ось x:  υ0x = 0, проекция начальной скорости второго тела на ось y: υ0y = 0, на ось x:  υ0x = υ0, начальные координаты тел в выбранной системе отсчёта равны нулю. Пусть в  момент времени τ координата первого тела – y1, координаты второго тела – x2 и y2. (см. рис.). Тогда:
\[ \begin{array}{l} {y_{1} =\upsilon _{0} \cdot \tau -\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {y_{2} =-\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} ,} \\ {x_{2} =\upsilon _{0} \cdot \tau.} \end{array} \]
Расстояние между телами l – это гипотенуза прямоугольного треугольника, с катетами длиной (y1 + y2) и x2. Воспользуемся теоремой Пифагора:
\[ \begin{array}{l} {l=\sqrt{\left(y_{1} +y_{2} \right)^{2} +x_{2}^{2} } =\sqrt{\left(\upsilon _{0} \cdot \tau -\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} +\frac{g\cdot \tau ^{2} }{2} \right)^{2} +\left(\upsilon _{0} \cdot \tau \right)^{2}},} \\ {l=\sqrt{2} \cdot \upsilon _{0} \cdot \tau.} \end{array} \]
Способ второй: систему отсчёта выберем нестандартно: свяжем систему отсчёта с первым телом. Т.е. получаем, что система отсчёта движется относительно земли с ускорением свободного падения и (что важно ) первое тело в этой системе покоится, а второе движется равномерно в горизонтальном направлении и равномерно в вертикальном направлении вниз (представьте, что Вы сидите на первом теле и смотрите на второе). За время τ второе тело удалится от первого (от начала отсчёта) на расстояние, равное   υ0∙τ   по горизонтали и на такое же расстояние (υ0∙τ) по вертикали. Тогда расстояние от второго тела до первого легко определить по теореме Пифагора:
\[ \begin{array}{l} {l=\sqrt{\left(\upsilon _{0} \cdot \tau \right)^{2} +\left(\upsilon _{0} \cdot \tau \right)^{2}},} \\ {l=\sqrt{2} \cdot \upsilon _{0} \cdot \tau.} \end{array} \]

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #71 : 13 Июня 2012, 19:03 »
67. Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось в точку бросания через τ = 10 с. Какова начальная скорость тела? На какую максимальную высоту оно поднималось? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Координатную ось OY направим вертикально вверх, начало координат О совместим с точкой бросания (см. рис.).  Время будем отсчитывать с момента бросания. Тогда координата тела и проекция его скорости на ось OY в момент времени t равны соответственно:
\[ \begin{align}
  & y={{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2},(1) \\
 & \upsilon ={{\upsilon }_{0}}-g\cdot t(2) \\
\end{align}
 \]
Для точки, находящейся на высоте h, y = h.
Определим время t1 подъема, используя уравнение (2) с учетом того, что в верхней точке траектории скорость равна нулю:
\[ \begin{align}
  & 0={{\upsilon }_{0}}-g\cdot {{t}_{1}}(3) \\
 & {{\upsilon }_{0}}=g\cdot {{t}_{1}}(4) \\
 & {{t}_{1}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}}{g}(5) \\
\end{align}
 \]
Оценим, как время t1 подъема связано со временем всего полета τ. В момент возвращения тела в точку бросания его координата равна нулю. С учетом уравнения (1)
\[ 0={{\upsilon }_{0}}\cdot \tau -\frac{g\cdot {{\tau }^{2}}}{2},\tau =\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}}{g} \]
Таким образом, время подъема к верхней точке траектории равно половине всего времени полета. Учитывая это, воспользуемся уравнением (4) для нахождения начальной скорости
\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{\tau }{2} \\
 & {{\upsilon }_{0}}=\frac{g\cdot \tau }{2} \\
\end{align}
 \]
Для нахождения максимальной высоты подъема подставим в уравнение (1) время подъема t1 и полученное выражение для начальной скорости υ0
\[ H={{\upsilon }_{0}}\cdot {{t}_{1}}-\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot g}=\frac{g\cdot {{\tau }^{2}}}{8} \]
υ0 = 50 м/с; Н = 1,3·102 м.
« Последнее редактирование: 13 Июня 2012, 20:32 от djek »

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #72 : 13 Июня 2012, 20:34 »
66. Определить начальную скорость, с которой тело брошено вертикально вверх, если точку, находящуюся на высоте h = 60 м, оно проходило 2 раза с промежутком времени τ = 4,0 с. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Координатную ось OY направим вертикально вверх, начало координат О совместим с точкой бросания (см. рис.).  Время будем отсчитывать с момента бросания. Тогда координата тела в момент времени t равна:
\[ y={{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(1) \]
Тело побывает на высоте h первый раз в момент времени t1, двигаясь вверх и второй раз в момент времени t2, двигаясь вниз. Определим эти моменты времени, решая уравнение (1) относительно t и учитывая, что в выбранной системе координат для точки, находящейся на высоте h, y = h. Например:
g·t2 - 2·υ0·t + 2·h = 0
d = 4· υ20· – 8 g·h = 4·(υ20 – 2 g·h)
\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}-\sqrt{4\cdot \left( \upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h \right)}}{2\cdot g}=\frac{{{\upsilon }_{0}}-\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}}{g}; \\
 & {{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}}{g} \\
\end{align}
 \]
По условию задачи
\[ \tau ={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\frac{2\cdot \sqrt{\upsilon _{0}^{2}-2\cdot g\cdot h}}{g} \]
Решим это уравнение относительно υ0
\[ {{\upsilon }_{0}}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{g\cdot \left( {{\tau }^{2}}\cdot g+8\cdot h \right)} \]
υ0 = 40 м/с


« Последнее редактирование: 14 Июня 2012, 17:14 от djek »

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #73 : 14 Июня 2012, 17:19 »
65. С неподвижного относительно земли вертолета сбросили без начальной скорости тело. Спустя t1 = 1,0 с было сброшено тоже без начальной скорости второе тело. Определить расстояние между телами через t2 = 2,0 с от начала падения первого тела. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Координатную ось OY направим вертикально вниз. Начало координат О свяжем с неподвижным относительно земли вертолетом. Время будем отсчитывать с момента падения первого тела. Тогда в выбранной системе координат,  координата первого тела  у2 = l2, координата второго тела у1 = l1
Искомое расстояние:
l = l2 - l1
\[ \begin{align}
  & {{l}_{2}}=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2};{{l}_{1}}=\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}; \\
 & l={{l}_{2}}-{{l}_{1}}=\frac{g\cdot t_{2}^{2}}{2}-\frac{g\cdot t_{1}^{2}}{2}=\frac{g}{2}\cdot \left( t_{2}^{2}-t_{1}^{2} \right) \\
\end{align}
 \]
l = 15 м
« Последнее редактирование: 14 Июня 2012, 18:18 от djek »

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #74 : 15 Июня 2012, 20:08 »
64. Скорость тела, брошенного вертикально вниз с некоторой высоты, через t1 = 1,0 с увеличилась по сравнению с начальной в n1 = 6,0 раз. Во сколько раз увеличится его скорость через t2 = 2,0 с после броска? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение.
Координатную ось OY направим вертикально вниз. Начало координат О свяжем с точкой бросания тела. Время будем отсчитывать от момента броска тела. Тогда в выбранной системе координат проекция его скорости на ось OY в момент времени t равны соответственно:
\[ \begin{align}
  & {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{1}};{{\upsilon }_{2}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{2}} \\
 & {{n}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{1}};{{n}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{0}}={{\upsilon }_{0}}+g\cdot {{t}_{2}} \\
 & \left( {{n}_{1}}-1 \right)\cdot {{\upsilon }_{0}}=g\cdot {{t}_{1}} \\
 & \left( {{n}_{2}}-1 \right)\cdot {{\upsilon }_{0}}=g\cdot {{t}_{2}} \\
\end{align}
 \]
Разделим уравнения и выразим n2
\[ \begin{align}
  & \frac{{{n}_{1}}-1}{{{n}_{2}}-1}=\frac{{{t}_{1}}}{{{t}_{2}}} \\
 & {{n}_{2}}=1+\frac{{{t}_{2}}\cdot \left( {{n}_{1}}-1 \right)}{{{t}_{1}}} \\
\end{align}
 \]
n2 = 11

djek

  • Гость
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #75 : 15 Июня 2012, 21:37 »
63. С крыши дома высотой H = 20 м вертикально вверх брошен камень со скоростью υ0 = 10 м/с. Определить скорость камня на высоте h = 10 м над землей и скорость его в момент удара о землю. Сопротивление воздуха не
учитывать.
Решение.
Начало координат совместим с точкой О, ось OY направим вертикально верх (см. рис.). Время будем отсчитывать с момента броска камня. Тогда координата тела и проекция его скорости на ось OY в момент времени t равны соответственно:
\[ y=H+{{\upsilon }_{0}}\cdot t-\frac{g\cdot {{t}^{2}}}{2}(1);\upsilon ={{\upsilon }_{0}}-g\cdot t(2) \]
В момент времени, когда тело окажется на высоте h, его скорость будет равна υ1, а координата y = h. Найдем это время, решая квадратное уравнение (1) относительно t. Например:
g·t2 - 2·υ0·t - 2·(Н – h) = 0
d = 4· υ20· + 8 g·(Н – h) = 4·(υ20 – 2 g·(Н - h)
\[ \begin{align}
  & {{t}_{1}}=\frac{2\cdot {{\upsilon }_{0}}+2\cdot \sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)}}{2\cdot g}=\frac{{{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)}}{g}; \\
 & {{t}_{2}}=\frac{{{\upsilon }_{0}}-\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)}}{g} \\
\end{align}
 \]
Физический смысл имеет только корень t1 (t2<0). Подставим значение t1 в формулу (2) и найдем скорость υ1 камня на высоте h.
\[ {{\upsilon }_{1}}={{\upsilon }_{0}}-g\cdot \frac{\left( {{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)} \right)}{g}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot \left( H-h \right)} \]
Аналогично, учитывая, что в момент падения камня его координата у = 0, найдем время падения и скорость в момент падения:
\[ \begin{align}
  & t=\frac{{{\upsilon }_{0}}+\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot H}}{g}; \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\sqrt{\upsilon _{0}^{2}+2\cdot g\cdot H} \\
\end{align}
 \]
υ1 = 17 м/с; υ2 = 22 м/с

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #76 : 25 Июля 2012, 18:58 »
54. На стержень длиной l = 0,9 м надета бусинка, которая может перемещаться по стержню без трения. В начальный момент бусинка находилась на середине стержня. Стержень начал двигаться поступательно в горизонтальной плоскости с ускорением а = 0,6 м/с2 в направлении, составляющем со стержнем угол α = 60°. Через сколько времени бусинка упадет со стержня?

Решение. Пусть стержень движется так, как показано на рис. 1. Перейти в систему отсчета, связанную со стержнем (неинерциальная система отсчета). Если бы не мешал стержень, то бусинка в этой системе должна была бы двигаться в противоположную сторону с таким же по величине ускорением ab (рис. 2). Тогда по стержню бусинка будет двигаться с ускорением ax = ab∙cos α.
С таким ускорением бусинке надо пройти расстояние s = l/2 (бусинка находилась на середине стержня), начальная скорость υ0 = 0. Тогда
\[\Delta r_{x} =\frac{l}{2} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} =\frac{a\cdot \cos \alpha \cdot t^{2} }{2} ,\; \; \; t=\sqrt{\frac{l}{a\cdot \cos \alpha } } ,\]
t = 1,7 c.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #77 : 26 Июля 2012, 19:33 »
57. Пользуясь графиком зависимости проекции скорости материальной точки от времени (рис. 1), построить график зависимости ее координаты от времени. В начальный момент координата точки равна нулю.

Решение. Графики будем строить по точкам. Запишем уравнение координаты в общем виде:
\[x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} .\]
Материальная точка изменяет свое ускорение два раза: в момент времени t1 = 2 c и в t2 = 3 c, т.е. точка за все время движения имеет три разных уравнения координат. Определим их для каждого участка с постоянным ускорением.

Участок 1: 0 c ≤ t ≤ 2 c. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[x_{1} =x_{01} +\upsilon _{01x} \cdot t_{1} +\frac{a_{1x} \cdot t_{1}^{2} }{2} ,\]
где x01 = 0 (по условию), υ01x = 2 м/с (находим из графика значение скорости в момент времени t1 = 0), t1 = t (т.к. отсчет времени на этом участке начинается с 0 с). Ускорение a1x найдем так:
\[a_{1x} =\frac{\Delta \upsilon _{x} }{\Delta t} =\frac{\upsilon _{2x} -\upsilon _{1x} }{t_{2} -t_{1} } ,\]
где пусть t2 = 2 с, t1 = 1 с, тогда из графика находим значения υ = –2 м/с, υ = 0 м/с и получаем a1x = – 2 м/с2. В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[x_{1} =2t+\frac{-2t^{2} }{2} =2t-t^{2} .\; \; \; (1)\]
График функции (1) — это парабола, для построения которой найдем пять точек (см. таблицу 1).
Таблица 1
х1, м 0,0 0,75 1,0 0,75 0,0
t, с 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

График представлен на рисунке 2 (линия АВ).


Участок 2: 2 c ≤ t ≤ 3 c. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[x_{2} =x_{02} +\upsilon _{02x} \cdot t_{2} +\frac{a_{2x} \cdot t_{2}^{2} }{2} ,\]
где x02 = x1(2 c) = 0 (начальная координата второго участка должна совпадать с конечной координатой первого участка), υ02x = –2 м/с (находим из графика значение скорости в момент времени t2 = 2 с), t2 = t – 2 (т.к. отсчет времени на втором участке начинается на 2 с после отсчета времени на первом). Ускорение a2x = 0, т.к. скорость точки не изменяется. В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[x_{2} =-2\cdot \left(t-2\right)=4-2t.\; \; \; (2)\]
График функции (2) — это прямая линия, для построения которой потребуется две точки (см. таблицу 2).
Таблица 2
х2, м 0,0 –2,0
t, с 2,0 3,0

График представлен на рисунке 2 (линия ВС).


Участок 3: 3 c ≤ t ≤ 4 c. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[x_{3} =x_{03} +\upsilon _{03x} \cdot t_{3} +\frac{a_{3x} \cdot t_{3}^{2} }{2} ,\]
где x03 = x2(3 c) = –2 м (начальная координата третьего участка должна совпадать с конечной координатой второго участка), υ03x = –2 м/с (находим из графика значение скорости в момент времени t3 = 3 с), t3 = t – 3 (т.к. отсчет времени на третьем участке начинается на 3 с после отсчета времени на первом). Ускорение a3x найдем так:
\[a_{3x} =\frac{\Delta \upsilon _{x} }{\Delta t} =\frac{\upsilon _{2x} -\upsilon _{1x} }{t_{2} -t_{1} } ,\]
где пусть t2 = 4 с, t1 = 3 с, тогда из графика находим значения υ = 0 м/с, υ = –2 м/с и получаем a3x = 2 м/с2. В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[x_{3} =-2-2\cdot \left(t-3\right)+\frac{2\cdot \left(t-3\right)^{2} }{2} =-2-2t+6+t^{2} -6t+9=t^{2} -8t+13.\; \; \; (3)\]
График функции (3) — это парабола, для построения которой найдем пять точек (см. таблицу 3).
Таблица 3
х3, м –2,0 –2,4 –2,8 –2,9 –3,0
t, с 3,0 3,25 3,5 3,75 4,0

График представлен на рисунке 2 (линия СD).
« Последнее редактирование: 27 Июля 2012, 18:35 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #78 : 27 Июля 2012, 19:38 »
58. Материальная точка может перемещаться прямолинейно вдоль оси ОХ. По известному графику зависимости проекции υx скорости данной точки (рис. 1) построить графики зависимости проекции ах ускорения и координаты x точки от времени, считая, что x = 0 при t = 0.

Решение. Так как на графике нет значений величин, то графики будем строить приблизительно (схематично). Запишем уравнение координаты в общем виде:
\[x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} .\]
Материальная точка изменяет свое ускорение один раз: в момент времени t2, т.е. точка за все время движения имеет два разных уравнения координат. Определим их для каждого участка с постоянным ускорением.

Участок 1: 0 ≤ tt2. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[ {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{\upsilon }_{01x}}\cdot {{t}_{1}}+\frac{{{a}_{1x}}\cdot t_{1}^{2}}{2}, \]
где x01 = 0 (по условию), υ01x = υ01 > 0 (находим из графика значение скорости в момент времени t = 0), t1 = t (т.к. отсчет времени на этом участке начинается с 0 с). Ускорение

a1x = –a1   (1)

(a1x < 0), т.к. скорость уменьшается. В итоге получаем следующее уравнение координаты
\[ {{x}_{1}}={{\upsilon }_{01}}\cdot t-\frac{{{a}_{1}}\cdot {{t}^{2}}}{2}.\ \ \ (2) \]
График функции (1) — это прямая перпендикулярная оси ax и проходящая через точку ax = –a1. На рисунке 2 — это линия АВ.
График функции (2) — это парабола ветвями вниз, вершина которой в точке Е. На рисунке 3 — это линия АВ.

Участок 2: t2t. Уравнение координаты в общем виде для этого участка:
\[ {{x}_{2}}={{x}_{02}}+{{\upsilon }_{02x}}\cdot {{t}^{'}}_{2}+\frac{{{a}_{2x}}\cdot t_{2}^{'2}}{2}, \]
где x02 = x21 = x1(t2) (начальная координата второго участка должна совпадать с конечной координатой первого участка), υ02x = –υ0202x < 0) (находим из графика значение скорости в момент времени t = t2), t´2 = t – t2 (т.к. отсчет времени на втором участке начинается на t2 после отсчета времени на первом). Ускорение

a2x = 0,   (3)

т.к. скорость точки не изменяется. В итоге получаем следующее уравнение координаты

x2 = x21 – υ02∙(tt2).   (4)

График функции (3) — это прямая перпендикулярная оси ax и проходящая через точку ax = 0. На рисунке 2 — это линия CE.
График функции (4) — это прямая, начинающаяся в точке B и наклоненная вниз (т.к. υ02x < 0). На рисунке 3 — это линия ВС. Так как скорости в точках В и С равные, то прямая ВС является продолжением касательной к параболе в точке В.
« Последнее редактирование: 17 Марта 2018, 19:24 от Сергей »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Кинематика из сборника Савченко Н.Е.
« Ответ #79 : 28 Июля 2012, 16:28 »
60. На рис. 1 приведен график скорости тела, движущегося прямолинейно. Построить график его перемещения и ускорения, если треугольники ОАВ, BCD и DEK равны.

Решение. Так как на графике нет значений величин, то графики будем строить приблизительно (схематично). Запишем уравнение проекции перемещения в общем виде:
\[\Delta r_{x} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2} }{2} .\]
Тело изменяет свое ускорение три раза: в точках А, С и Е, т.е. оно за все время движения имеет четыре разных уравнения проекций перемещений. Определим их для каждого участка с постоянным ускорением.
Так как угол наклона графика к оси времени везде один и то же, то ускорения на всех участках численно равны. Обозначим значения этих ускорений буквой а1.
Будут равны (это можно примерно определить из графика) и промежутки времени прохождения участков 0А, АВ, ВС, CD, DE и EK. Обозначим этот промежуток время буквой t1.
Скорости в точках A, C и E так же часленно равны (это следует из равенства ускорений и времени). Обозначим значения этих скоростей буквой υ1.

Участок 0А: Уравнение проекции перемещения в общем виде для этого участка:
\[\Delta r_{ax} =\upsilon _{0ax} \cdot t_{a} +\frac{a_{ax} \cdot t_{a}^{2} }{2} ,\]
где υ0ax = 0 (находим из графика значение скорости в момент времени t = 0), ta = t (т.к. отсчет времени на этом участке начинается с 0 с). Ускорение

aax = a1   (1)

(aax > 0), т.к. скорость увеличивается. В итоге получаем следующее уравнение проекции перемещения
\[\Delta r_{ax} =\frac{a_{1} \cdot t^{2} }{2} .\; \; \; (2)\]
График функции (1) — это прямая перпендикулярная оси ax и проходящая через точку ax = a1. На рисунке 2 — это линия A1А.
График функции (2) — это парабола ветвями вверх, вершина которой в точке 0. На рисунке 3 — это линия 0А.

Участок АС: Уравнение проекции перемещения в общем виде для этого участка (не забываем, что до этого тело уже совершило перемещение Δra = Δrax(t1)):
\[\Delta r_{cx} =\Delta r_{a} +\upsilon _{0cx} \cdot t_{c} +\frac{a_{cx} \cdot t_{c}^{2} }{2} ,\]
где Δra = a1t12/2, υ0cx = υ1 = a1t1, tc = t – t1 (т.к. отсчет времени на этом участке начинается на t1 позже начального). Ускорение

acx = –a1   (3)

(acx < 0), т.к. скорость уменьшается. В итоге получаем следующее уравнение проекции перемещения
\[\begin{array}{c} {\Delta r_{cx} =\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} +\upsilon _{1} \cdot t_{b} -\frac{a_{1} \cdot t_{b}^{2} }{2} =\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} +a_{1} \cdot t_{1} \cdot \left(t-t_{1} \right)-\frac{a_{1} \cdot \left(t-t_{1} \right)^{2} }{2} =} \\ {=\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} +a_{1} \cdot t_{1} \cdot t-a_{1} \cdot t_{1}^{2} -\frac{a_{1} \cdot t^{2} }{2} +a_{1} \cdot t\cdot t_{1} -\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2} }{2} =2a_{1} \cdot t_{1} \cdot t-\frac{a_{1} \cdot t^{2} }{2} -a_{1} \cdot t_{1}^{2} .\; \; \; (4)} \end{array}\]
График функции (3) — это прямая перпендикулярная оси ax и проходящая через точку ax = –a1. На рисунке 2 — это линия А2C.
График функции (4) — это парабола ветвями вниз, вершина которой в точке В (t = 2t1), а значения перемещений в точках A и С равны (см. примечание 2). На рисунке 3 — это линия АC.
« Последнее редактирование: 29 Июля 2012, 17:13 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24