6. Импульс тела. Закон сохранения импульса

[alsak]

Решения задач из книги:
Капельян, С.Н. Физика: пособие для подготовки к централизованному тестированию /С.Н. Капельян, В.А. Малышонок. — Минск: Аверсэв, 2011. — 480 с.

6. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Тест А1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест А2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест В2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

[Сергей]

Тест А1. 1. Если модуль импульса тела массой m =100 г р = 0,2 кг∙м/с, то модуль скорости тела составляет:
1) 1 м/с; 2) 2 м/с; 3) 4 м/с; 4) 6 м/с; 5) 8 м/с.
Решение.

\[ p=m\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{p}{m},\ \upsilon =\frac{0,2}{0,1}=2. \]

Ответ: 2) 2 м/с.

[Сергей]

Тест А1. 2. Два шарика массами m₁ = 2,0 г и m₂ = 3,0 г движутся в горизонтальной плоскости со скоростями, модули которых υ₁ = 6,0 м/с и υ₂ = 4,0 м/с соответственно. Направления движения шариков составляют друг с другом угол α = 90°. Чему равен модуль суммарного импульса шариков?
1) 0,0050 кг∙м/с; 2) 0,0070 кг∙м/с; 3) 0,010 кг∙м/с; 4) 0,017кг∙м/с; 5) 0.
Решение.
 Покажем рисунок. Модуль суммарного импульса шариков определим используя теорему косинусов.

\[ \begin{align}
  & \vec{p}={{{\vec{p}}}_{1}}+{{{\vec{p}}}_{2}},\ p=\sqrt{{{({{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}})}^{2}}+{{({{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}})}^{2}}}. \\
 & p=\sqrt{{{(2,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 6,0)}^{2}}+{{(3,0\cdot {{10}^{-3}}\cdot 4,0)}^{2}}}=16,97\cdot {{10}^{-3}}. \\
\end{align} \]

Ответ: 4) 0,017 кг∙м/с.

[Сергей]

Тест А1. 3. Вагон массой m₁ = 50 т движется со скоростью, модуль которой
υ₁ = 12 км/ч, и встречает стоящую на пути платформу массой m₂ = 30 т. Расстояние, пройденное вагоном и платформой после сцепления, если коэффициент трения μ = 0,050, составляет:
1) 2,1 м; 2) 3,2 м; 3) 4,3 м; 4) 5,6 м; 5) 8,3 м.
Решение.
Определим совместную скорость вагона и платформы после сцепления.
Для системы вагон платформа можно применить закон сохранения импульса.

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}+m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \\
 & Ox:\ {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon ,\ \upsilon =\frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}. \\
 & \upsilon =\frac{50\cdot {{10}^{3}}\cdot 12}{(50\cdot {{10}^{3}}+30\cdot {{10}^{3}})\cdot 3,6}=2,0833. \\
\end{align}

 \]

Определим   пройденный путь используя второй закон Ньютона. 
Покажем силы, которые действуют на вагон и платформу после сцепления:

\[ {{\vec{F}}_{tr}}+m\cdot \vec{g}+\vec{N}=m\cdot \vec{a}. \]

Найдем проекции на ось Ох и ось Оу:

\[ \ Ox:{{F}_{tr}}=m\cdot a\ \ \ (1),\ y:N-m\cdot g=0\ \ \ (2), \]

по определению сила трения движущегося тела находится по формуле:

\[ {{F}_{tr}}=\mu \cdot N\ \ \ (3). \]

Из (2) выразим N и подставим в (3), (3) подставим в (1) и выразим ускорение, зная ускорение и начальную скорость определим пройденный путь.

\[ \begin{align}
  & N=m\cdot g,\ {{F}_{tp}}=\mu \cdot m\cdot g,\ \mu \cdot m\cdot g=m\cdot a,\ a=\mu \cdot g,\ s=\frac{{{\upsilon }^{2}}-\upsilon _{0}^{2}}{-2\cdot a},\ \upsilon =0,\ s=\frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\cdot a}. \\
 & s=\frac{2,0833\cdot 2,0833}{2\cdot 0,05\cdot 10}=4,34. \\
\end{align} \]

Ответ: 3) 4,3 м. 

[Сергей]

Тест А1. 4. Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Ствол ружья во время выстрела направлен под углом α = 60° к горизонту. Если масса охотника с лодкой М = 70 кг, масса дроби m = 35 г, модуль средней начальной скорости дроби υ₀ = 320 м/с, то в момент выстрела модуль скорости лодки будет равен:
1) 2,0 см/с; 2) 4,0 см/с; 3) 8,0 см/с; 4) 12 см/с; 5)16 см/с.
Решение.
 Для решения задачи используем закон сохранения импульса:

\[ {{\vec{p}}_{1}}={{\vec{p}}_{2}}\ \ \ (1). \]

р₁ – импульс до взаимодействия (Охотник перед выстрелом):
 

р₁ = 0   (2).

р₂ – импульс после выстрела:

\[ {{\vec{p}}_{2}}=(M-m)\cdot \vec{\upsilon }+m\cdot {{\vec{\upsilon }}_{0}}\ \ (3). \]

Найдем проекции на ось Ох:

0 = (М – m)∙υ – m∙υ₀∙соsα    (4).

Из (4) выразим скорость легкой надувной лодки вследствие отдачи:

\[ \upsilon =\frac{m\cdot {{\upsilon }_{0}}\cdot \cos \alpha }{M-m},\ \upsilon =\frac{35\cdot {{10}^{-3}}\cdot 320\cdot 0,5}{70-35\cdot {{10}^{-3}}}=0,08. \]

υ = 0,08 м/с.
Ответ: 3) 8,0 см/с.

[Сергей]

Тест А1. 5. В двухступенчатой ракете массой m = 1200 кг после достижения скорости, модуль которой υ₀ = 200 м/с, отделилась первая ступень массой m₁ = 700 кг. Если первая ступень после отделения имела скорость, модуль которой υ₁ = 150 м/с, то вторая ступень приобретет скорость, модуль которой равен:
1) 300 м/с; 2) 270 м/с; 3) 220 м/с; 4)190 м/с; 5) 150м/с.
Решение.
Учитываем, что при отделении ступени, в начальный момент она будет двигаться, в направлении движения ракеты. Покажем рисунок. Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия. 

\[ m\cdot \vec{\upsilon }={{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+(m-{{m}_{1}})\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}. \]

Находим проекции на ось Ох и определим скорость которую приобрела вторая ступень:

\[ \begin{align}
  & Ox:m\cdot \upsilon ={{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}+(m-{{m}_{1}})\cdot {{\upsilon }_{2}}. \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\frac{m\cdot \upsilon -{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{m-{{m}_{1}}}. \\
 & {{\upsilon }_{2}}=\frac{1200\cdot 200-700\cdot 150}{1200-700}=270. \\
\end{align} \]

Ответ: 2) 270 м/с.

[Сергей]

Тест А1. 6. Тело массой m = 1 кг движется равномерно по окружности со скоростью модуль которой υ = 2 м/с. Изменение модуля импульса тела после того, как оно пройдет половину окружности составит:
1) 0; 2) 1 кг∙м/с; 3) 2 кг∙м/с; 4) 2∙√2 кг∙м/с; 5) 4 кг∙м/с.
Решение.
Покажем рисунок. Изменения импульса тела определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{2}}-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{1}}\ \ (1). \\
 & Ox:\ \Delta p=m\cdot {{\upsilon }_{2}}+m\cdot {{\upsilon }_{1}}\ ,\ {{\upsilon }_{2}}={{\upsilon }_{1}},\Delta p=2\cdot m\cdot \upsilon . \\
\end{align} \]

  ∆р = 4,0 кг∙м/с.
Ответ 5) 4 кг∙м/с.

[Сергей]

Тест А1. 7. Свободно падающий шарик массой m = 200 г ударился о пол со скоростью, модуль которой υ₀ = 5,0 м/с, и подпрыгнул на высоту h = 80 см. Модуль изменения импульса шарика при ударе равен:
1) 1,8 кг∙м/с; 2) 1,3 кг∙м/с; 3) 1,2 кг∙м/с; 4) 0,8 кг∙м/с; 5) 0,2 кг∙м/с.
Решение.
Покажем рисунок. Изменения импульса тела определим по формуле:

\[ \begin{align}
  & \Delta \vec{p}=m\cdot \vec{\upsilon }-m\cdot {{{\vec{\upsilon }}}_{0}}\ \ (1). \\
 & Oу:\ \Delta p=m\cdot \upsilon +m\cdot {{\upsilon }_{0}}\ ,\ \upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot h},\Delta p=m\cdot (\sqrt{2\cdot g\cdot h}+{{\upsilon }_{0}}). \\
 & \Delta p=0,2\cdot (\sqrt{2\cdot 10\cdot 0,8}+5)=1,8. \\
\end{align} \]

  ∆р = 1,8 кг∙м/с.
Ответ 1) 1,8 кг∙м/с.

[Сергей]

Тест А1. 8. Если шар массой m, двигавшийся со скоростью модулем υ, столкнется с неподвижны шаром такой же массы, то в результате абсолютно упругого центрального удара первый шар начнет двигаться со скоростью, модуль которой:
1) -2υ; 2) -υ; 3) –υ/2; 4) 0; 5) υ/2.
Решение.
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (υ₁ = 0), а второй движется со скоростью υ₂ = υ, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
 Ответ: 4) 0.

[Сергей]

Тест А1. 9. Два тела массами m₁ и m₂ движутся навстречу друг другу со скоростями, модули которых υ₁ = 6,0 м/с и υ₂ = 2,0 м/с соответственно. Если после неупругого соударения модули скоростей обоих тел υ = 2,0 м/с и направлены в сторону движения первого тела, то отношение их масс m₁/m₂ равно:
1) 4,0; 2) 3,0; 3) 1,4; 4)1,0; 5) 1/3.
Решение.
Для решения задачи используем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого взаимодействия.

\[ {{m}_{1}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{1}}+{{m}_{2}}\cdot {{\vec{\upsilon }}_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \vec{\upsilon }. \]

Находим проекции на ось Ох и найдем отношение m₁/m₂ :

\[ \begin{align}
  & {{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}-{{m}_{2}}\cdot {{\upsilon }_{2}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\cdot \upsilon . \\
 & \frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}}-{{\upsilon }_{2}}=\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}+\upsilon ,\ \frac{{{m}_{1}}\cdot {{\upsilon }_{1}}}{{{m}_{2}}}-\frac{{{m}_{1}}\cdot \upsilon }{{{m}_{2}}}={{\upsilon }_{2}}+\upsilon , \\
 & \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{{{\upsilon }_{2}}+\upsilon }{{{\upsilon }_{1}}-\upsilon },\ \ \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{2+2}{6-2}=1,0. \\
\end{align} \]

Ответ: 4) 1,0.