Автор Тема: Найдите время подъема тела по наклонной плоскости  (Прочитано 48313 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Alena

  • Гость
Марон. 10 класс КР-5. вариант 3
Тело брошено вверх по наклонной плоскости с углом 28 градусов. Найдите время подъема тела до остановки и время спуска, если начальная скорость тела равна 13 м/с, а коэффициент трения равен 0,2.
« Последнее редактирование: 01 Ноября 2011, 07:36 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
На тело действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N) и сила трения (Ftr): 1) когда тело скользит вверх, сила трения направлена вниз (рис. 1), 2) когда тело скользит вниз, сила трения — вверх (рис. 2). Скорость тела в первом случае уменьшается, поэтому ускорение направлено в противоположную сторону движения. Во втором случае скорость увеличивается, ускорение будет направлено в ту же сторону, что и скорость. Запишем второй закон Ньютона:
\[ m\cdot \vec{a}=\vec{N}+m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr}, \]
0Y: 0 = N – m∙g⋅cos α,

0Х: m⋅a1 = Ftr + m⋅g⋅sin α,    m⋅a2 = –Ftr + m⋅g⋅sin α,

где Ftr = μ⋅N, N = m⋅g⋅cos α (из проекции уравнения на ось 0Y). Тогда

m⋅a1 = μ⋅m⋅g⋅cos α + m⋅g⋅sin α = m⋅g⋅(μ⋅cos α + sin α),

a1 = g⋅(sin α + μ⋅cos α), (1)

a2 = g⋅(sin α – μ⋅cos α). (2)


Найдем время подъема t1. Запишем уравнение скорости

υx = υ0x + ax⋅t,

где υ0x = υ0, ax = –a1. В момент времени t = t1 (когда тело достигло максимальной высоты) скорость тела υx = 0. Тогда, с учетом уравнения (1):
\[ 0=\upsilon _{0} -a_{1} \cdot t_{1}, \; \; \; t_{1} =\frac{\upsilon _{0}}{a_{1}} =\frac{\upsilon _{0}}{g\cdot \left(\sin \alpha +\mu \cdot \cos \alpha \right)}, \]
t1 = 2,0 с.

Найдем время спуска t2. Тело, при движении вверх за время t1 и вниз за время t2, совершает одинаковое перемещение (Δr1x = Δr2x), причем при движении вверх υ0x = υ0, ax = –a1; при движении вниз υ0x = 0, ax = a2.
\[ \Delta r_{x} =\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{a_{x} \cdot t^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{0} \cdot t_{1} -\frac{a_{1} \cdot t_{1}^{2}}{2} =\frac{a_{2} \cdot t_{2}^{2}}{2}, \]
\[ t_{2} =\sqrt{\frac{1}{a_{2} } \cdot \left(2\upsilon _{0} \cdot t_{1} -a_{1} \cdot t_{1}^{2} \right)}. \]
Можно отдельно посчитать a1 и a2 и найти t2, можно решить в общем виде:
\[ t_{2} =\sqrt{\frac{1}{a_{2}} \cdot \left(2\upsilon _{0} \cdot \frac{\upsilon _{0}}{a_{1}} -a_{1} \cdot \left(\frac{\upsilon _{0}}{a_{1}} \right)^{2} \right)} =\sqrt{\frac{1}{a_{2}} \cdot \frac{\upsilon _{0}^{2}}{a_{1}}} =\frac{\upsilon _{0}}{g\cdot \sqrt{\sin ^{2} \alpha -\left(\mu \cdot \cos \alpha \right)^{2}}}, \]
t2 = 3,0 с.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24