На бруски, соскальзывающие по наклонной плоскости с некоторым ускорением действует несколько сил: сила тяжести, сила трения, сила упругости со стороны пружины, сила нормальной реакции опоры (см. рис).
Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на выбранную систему отсчёта:
x:
\[ {{m}_{1}}g\sin \alpha -{{F}_{y}}-{{F}_{tr1}}={{m}_{1}}a, \] \[ {{m}_{2}}g\sin \alpha +{{F}_{y}}-{{F}_{tr2}}={{m}_{2}}a, \]
y:
\[ {{N}_{1}}={{m}_{1}}g\cos \alpha , \] \[ {{N}_{2}}={{m}_{2}}g\cos \alpha , \]
Сила трения и сила упругости:
\[ {{F}_{tr1}}={{\mu }_{1}}{{N}_{1}}, \] \[ {{F}_{tr2}}={{\mu }_{2}}{{N}_{2}}, \] \[ {{F}_{y}}=k\Delta l. \]
Получим:
\[ {{m}_{1}}g\sin \alpha -k\Delta l-{{\mu }_{1}}{{m}_{1}}g\cos \alpha ={{m}_{1}}a, \]
\[ {{m}_{2}}g\sin \alpha +k\Delta l-{{\mu }_{2}}{{m}_{2}}g\cos \alpha ={{m}_{2}}a. \]
Разделив уравнения друг на друга (при этом избавимся от неизвестного ускорения), и, сделав простейшие математические преобразования, получим:
\[ \Delta l=\frac{{{m}_{1}}\cdot {{m}_{2}}\cdot g\cdot \cos \alpha \cdot \left( {{\mu }_{2}}-{{\mu }_{1}} \right)}{k\cdot \left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)} \]
∆
l=1,41 см.
