Определение скорости вагона в конце сортировочной горки

[Alena]

Марон. 10 класс. кр-5. вариант 1.
С сортировочной горки, высота которой равна 40 м, а длина — 400 м, начинает спускаться вагон. Определите скорость вагона в конце сортировочной горки, если коэффициент сопротивления движению вагона равен 0,05.

[dx/dt]

Работа сил сопротивления равна изменению полной механической энергии вагона:

\[ {{F}_{tr}}l=mgh-\frac{m{{u}^{2}}}{2}, \]

где силу трения можно найти по формуле:

\[ {{F}_{tr}}=\mu N=\mu mg\cos \alpha , \]

здесь α – угол наклона горки к горизонту. Косинус этого угла легко находится из прямоугольного треугольника. Вычисления дают cosα = 0,995.
Подставляя значение силы трения в первую формулу, получим:

\[ \mu mgl\cos \alpha =mgh-\frac{m{{u}^{2}}}{2}, \]

откуда скорость вагона в конце спуска:

\[ u=\sqrt{2g(h-l\mu \cos \alpha )}, \]

u = 20 м/с.

Ответ: 20 м/с.

[alsak]

Дано: h = 40 м, l = 400 м, μ = 0,05,
Найти: υ

Решение. На вагон действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения (F_tr) (рис. 1). Так как вагон движется, то сила трения – это сила трения скольжения. Запишем второй закон Ньютона:
\[ m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{tr} +\vec{N}, \]

0X: m⋅a = m⋅g_x – F_tr или m⋅a = m⋅g⋅sin α – F_tr, (1)

0Y: 0 = N – m⋅g_y или 0 = N – m⋅g⋅cos α, (2)

где

F_tr = μ⋅N, N = m⋅g⋅cos α (из уравнения (2)) и F_tr = μ⋅m⋅g⋅cos α,

\[ \sin \alpha =\frac{AC}{AB} =\frac{h}{l}, \; \; \; \cos \alpha =\frac{CB}{AB} =\frac{\sqrt{l^{2} -h^{2}}}{l} \]
(см. рис. 2). (Можно было посчитать значение синуса угла и найти угол α.) Найдем ускорение a из уравнения (1):
\[ a=\frac{m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha }{m} =g\cdot \frac{h}{l} -\mu \cdot g\cdot \frac{\sqrt{l^{2} -h^{2}}}{l} =\frac{g}{l} \cdot \left(h-\mu \cdot \sqrt{l^{2} -h^{2}} \right). \; \; \; (3) \]

Скорость вагона найдем из кинематического уравнения:
\[ \Delta r_{x} =\frac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0x}^{2}}{2a_{x}}, \]
где Δr_x = l, υ_0x = 0 (вагон начинает спускаться), υ_x = υ, a_x = a (из уравнения (3)) (см. рис. 1). Тогда
\[ l=\frac{\upsilon ^{2} }{2a}, \; \; \; \upsilon =\sqrt{2l\cdot a} =\sqrt{2l\cdot \frac{g}{l} \cdot \left(h-\mu \cdot \sqrt{l^{2} -h^{2}} \right)} =\sqrt{2g\cdot \left(h-\mu \cdot \sqrt{l^{2} -h^{2} } \right)}, \]
υ = 20 м/с.