Постоянный ток из сборника Савченко Н.Е.

[Kivir]

662. При электролизе раствора серной кислоты за t = 50 мин выделилось m = 0,30 г водорода. Определить мощность, затраченную на нагревание электролита, если его сопротивление R = 0,40 Ом. Электрохимический эквивалент водорода k = 0,01∙10^–6 кг/Кл.
Решение: будем считать, что сопротивление электролита при нагревании не изменяется. Тогда выделяемая тепловая мощность
\[ P=I^{2} \cdot R, \]
где I – сила тока, R –сопротивление электролита. Для нахождения силы тока, воспользуемся законом Фарадея для электролиза
\[ m=k\cdot I\cdot t, \]
где m – масса выделившегося вещества (водорода), k – электрохимический эквивалент, t – время. Выразив силу тока из закона Фарадея, и подставив в формулу мощности, получим ответ
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{m}{k\cdot t},}\\{P=\left(\frac{m}{k\cdot t} \right)^{2}\cdot R=\frac{m^{2} \cdot R}{k^{2} \cdot t^{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 40 Вт.

[Kivir]

663. Для проверки правильности показаний амперметра его включают последовательно с электролитической ванной. Какую абсолютную погрешность даёт амперметр, если он показывает ток силой I = 1,7 А, а за время t = 21 мин на катоде ванны откладывается m = 0,6 г никеля? Электрохимический эквивалент никеля k = 3∙10^–7 кг/Кл.
Решение: используя закон Фарадея для электролиза, определим истинную силу тока через электролит
\[ \begin{array}{l} {m=k\cdot I_{0} \cdot t,}\\{I_{0} =\frac{m}{k\cdot t}.} \end{array} \]
Абсолютная погрешность равна разности показаний амперметра и истинного значения силы тока
\[ \begin{array}{l} {\Delta I=\left|I-I_{0} \right|=\left|I-\frac{m}{k\cdot t}\right|.}\end{array} \]
Ответ: 0,1 А.

[Kivir]

664. Какой заряд проходит через раствор медного купороса за время t = 10 с, если сила тока за это время равномерно возрастает от 0 до I = 4,0 А? Сколько меди выделяется при этом на катоде? Электрохимический эквивалент меди k = 3,3∙10^–7 кг/Кл.
Решение: если изобразить график зависимости силы тока в проводнике от времени протекания тока, то заряд, прошедший через проводник, численно равен площади фигуры под данным графиком (см. рис.). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, т.е.
\[ q=\frac{I\cdot t}{2}. \]
Массу выделившейся меди определим, используя закон электролиза
\[ m=k\cdot q=k\cdot \frac{I\cdot t}{2}. \]
Ответ: 20 Кл, 6,6 мкг.

[Kivir]

665. Для получения меди включено последовательно N = 400 электролитических ванн. Площадь катодных пластин в каждой ванне S = 16 м². Плотность электрического тока j = 200 А/м². Найти массу меди, получаемой за время t = 24 ч, и расход энергии за тоже время, если напряжение на ваннах U = 100 В. Электрохимический эквивалент меди k = 3,3∙10^–7 кг/Кл.
Решение: ванны соединены последовательно, поэтому сила тока, протекающего через электролит одинакова во всех ваннах. Массу выделившейся меди определим, используя закон электролиза (учтём, что ванн N, и сила тока связана с плотностью тока j и площадью сечения проводника (площадью пластин) S: I = j∙S)
\[ m=k\cdot I\cdot t\cdot N=k\cdot j\cdot S\cdot t\cdot N. \]
Расход электроэнергии это работа постоянного электрического тока
\[ W=A=I\cdot U\cdot t\cdot N=j\cdot S\cdot U\cdot t\cdot N. \]
Ответ: 3,6∙10⁴ кг = 36,5 т; 1,1∙10¹³ Дж = 3∙10⁶ кВт∙ч.

[Kivir]

666. При никелировании пользуются током, плотность которого j = 0,14 А/дм². Сколько времени требуется для отложения слоя никеля толщиной h = 0,05 мм? Электрохимический эквивалент никеля k = 3∙10^–7 кг/Кл, плотность никеля ρ = 8,9∙10³ кг/м³.
Решение:  с одной стороны масса отложившегося никеля равна произведению плотности никеля ρ на объём V. Объём  определим, считая, что катод имеет площадь S, толщина никеля на нём h, тогда
\[ \begin{array}{l} {V=S\cdot h,}\\{m=\rho \cdot V=\rho \cdot S\cdot h.} \end{array} \]
С другой стороны массу выделившегося вещества определим используя закон Фарадея для электролиза (учтём, что сила тока связана с плотностью тока j и площадью сечения проводника (площадью пластин) S:  I = j∙S)
\[ m=k\cdot I\cdot t=k\cdot j\cdot S\cdot t. \]
Приравняв полученные выражения для массы, определим время
\[ \begin{array}{l}{\rho \cdot S\cdot h=k\cdot j\cdot S\cdot t,}\\ {t=\frac{\rho \cdot h}{k\cdot j} \cdot } \end{array} \]
Ответ: 1∙10⁵ с = 29 ч.

[Kivir]

667. Какое количество электроэнергии расходуется для получения m = 1,0 кг алюминия, если электролиз ведётся при напряжении U = 10 В, а КПД всей установки η = 80%. Молярная масса алюминия M = 27∙10^–3 кг/моль, его валентность n  = 3. Постоянная Фарадея F = 9,65∙10⁴ Кл/моль.
Решение: КПД установки равно отношению полезной работы постоянного электрического тока  A к расходуемой электрической энергии W
\[ \eta =\frac{A}{W} ,W=\frac{A}{\eta }. \]
Работа постоянного тока
\[ A=I\cdot U\cdot t. \]
Воспользуемся объединённым законом Фарадея
\[ \begin{array}{l} {m=\frac{1}{F} \cdot \frac{M}{n} \cdot I\cdot t,} \\ {m\cdot U=\frac{1}{F} \cdot \frac{M}{n} \cdot I\cdot U\cdot t,m\cdot U=\frac{1}{F} \cdot \frac{M}{n} \cdot A,} \\ {A=\frac{m\cdot U\cdot F\cdot n}{M} \cdot } \end{array} \]
Получаем
\[ W=\frac{A}{\eta} =\frac{m\cdot U\cdot F\cdot n}{\eta \cdot M}. \]
Ответ: 1,3∙10⁸ Дж = 37 кВт∙ч.

[Kivir]

668. В цепи, схема которой приведена на рис. 217, конденсатор С2 имеет ёмкость C₂ = 10 мкФ, сопротивление резистора R = 2 кОм, площадь пластин конденсатора С1 S = 100 см², а расстояние между ними d = 5 мм. Воздух между обкладками конденсатора С1 ионизируется с помощью рентгеновского излучателя мощностью ω = 2∙10¹² пар носителей заряда за 1 с в 1 м³. Заряд каждого носителя равен элементарному заряду e = 1,6∙10^–19 Кл. Все образованные в единицу времени носители долетают до пластин конденсатора С1. Определить заряд на конденсаторе С2.
Решение: т.к. к выводам цепи подано напряжение (на рис указан «+» «–») и в конденсаторе С1 происходит ионизация воздуха, то через резистор R будет протекать ток. Силу тока определим из следующих соображений: все образованные в единицу времени (t = 1) носители заряда долетают до пластин конденсатора. При этом ионизатор образует в объёме между пластинами конденсатора число носителей равное (учтём, что образуются пары носителей)
\[ N=\omega \cdot V\cdot 2=\omega \cdot S\cdot d\cdot 2. \]
Тогда сила тока в цепи
\[ I=\frac{\Delta q}{t} =\frac{N\cdot e}{t} =\frac{e\cdot \omega \cdot S\cdot d\cdot 2}{t}. \]
Конденсатор C2 подключён параллельно резистору R, поэтому напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе. По закону Ома для участка цепи, получим
\[ U=I\cdot R=\frac{e\cdot \omega \cdot S\cdot d\cdot 2}{t} \cdot R. \]
Тогда заряд на конденсаторе (используем понятие электроёмкости и учтём, что t = 1)
\[ \begin{array}{l} {q=C_{2} \cdot U,}\\{q=2\cdot e\cdot \omega \cdot S\cdot d\cdot C_{2} \cdot R.} \end{array} \]
Ответ: 6,4∙10^–13 = 6∙10^–13Кл.

[Kivir]

669. В электронно-лучевой трубке сила тока в электронном пучке I  = 600 мкА, ускоряющее напряжение U = 10 кВ. Найти, с какой силой давит электронный пучок, считая, что все электроны поглощаются экраном.
Решение: для нахождения силы воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсном виде
\[ \vec{F}\cdot \Delta t=\Delta \vec{p}, \]
здесь F – искомая сила, Δt – время её действия, Δp – изменение импульса электронов. Т.к. все электроны поглощаются экраном, то изменение импульса равно по модулю суммарному импульсу электронов перед столкновением с экраном:

Δp = p =N∙m∙υ,

здесь m = 9,1∙10^–31 кг – масса электрона, υ – скорость электрона, N - количество электронов, ударяющихся об экран за время Δt.
Количество электронов определим, воспользовавшись понятием силы тока: отношение заряда, прошедшего через сечение проводника (пучка) ко времени его прохождения
\[ \begin{array}{l} {I=\frac{\Delta q}{\Delta t} =\frac{N\cdot e}{\Delta t} ,} \\ {N=\frac{I\cdot \Delta t}{e},} \end{array} \]
здесь e = 1,6∙10^–19 Кл – элементарный заряд (модуль заряда электрона). Скорость электронов определим, воспользовавшись теоремой о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно работе сил, действующих на него. В нашем случае электроны проходят ускоряющее напряжение, т.е. работу по разгону электронов совершает электрическое поле (A = e∙U). Т.к. нет специальных оговорок, то начальную кинетическую энергию электронов будем считать равной нулю, тогда
\[ \begin{array}{l} {\Delta E_{k} =E_{k} =A,} \\ {\frac{m\cdot \upsilon ^{2} }{2} =e\cdot U,} \\ {\upsilon =\sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m} } .} \end{array} \]
Искомая сила
\[ \begin{array}{l} {F=\frac{\Delta p}{\Delta t} =\frac{N\cdot m\cdot \upsilon }{\Delta t} =\frac{I\cdot \Delta t}{e} \cdot \frac{m}{\Delta t} \cdot \sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}},}\\{F=I\cdot \sqrt{\frac{2\cdot m\cdot U}{e}}.}\end{array} \]
Ответ: 2∙10^–7 Н.

[Kivir]

646. Если вольтметр, имеющий конечное сопротивление, подключён параллельно резистору сопротивлением R₁, то он показывает напряжение U₁ = 6 В, а если параллельно резистору сопротивлением R₂, – то U₂ = 4 В (рис. 209). Каковы будут напряжения на резисторах, если вольтметр не подключать? ЭДС батареи E = 12 В, её внутреннее сопротивление пренебрежимо мало.
Решение: пусть сопротивление вольтметра – R.
Ситуация 1 – вольтметр подключён параллельно резистору R1. В этом случае сопротивление участка с вольтметром и полное сопротивление цепи
\[ R_{v1}=\frac{R\cdot R_{1}}{R+R_{1}},R_{01}=\frac{R\cdot R_{1}}{R+R_{1}} +R_{2}. \]
Тогда напряжение, которое показывает вольтметр (по закону Ома, учитывая, что внутренне сопротивление источника r = 0)
\[ U_{1}=I_{1}\cdot R_{v1}=\frac{E}{R_{01}}\cdot R_{v1} =\frac{E}{\frac{R\cdot R_{1}}{R+R_{1}} +R_{2}} \cdot \frac{R\cdot R_{1} }{R+R_{1}}. \]
После преобразований, получим
\[ R\cdot R_{1}+R_{1}\cdot R_{2} +R\cdot R_{2} =\frac{E}{U_{1}} \cdot R\cdot R_{1}. \]
Ситуация 2 - вольтметр подключён параллельно резистору R2. Рассуждая аналогично, получим второе уравнение
\[ R\cdot R_{1}+R_{1}\cdot R_{2}+R\cdot R_{2}=\frac{E}{U_{2}}\cdot R\cdot R_{2}. \]
Левые части уравнений равны, тогда приравняв правые части, получим
\[ \frac{U_{1} }{R_{1} } =\frac{U_{2}}{R_{2}}.(1) \]
Ситуация 3 – вольтметра в цепи нет. Ток в последовательно соединённых резисторах одинаков. В этом случае имеем
\[ \frac{U'_{1} }{R_{1}} =\frac{U'_{2}}{R_{2}}.(2) \]
Поскольку внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем, то напряжения на нём не будет, поэтому ЭДС E равна сумме напряжений на резисторах (из закона Ома для замкнутой цепи)
\[ U'_{1} +U'_{2} =E.(3) \]
Получили систему из трёх уравнений (1-3). Решим систему метом подстановки, например
\[ \begin{array}{l}{R_{1} =\frac{U_{1} \cdot R_{2}}{U_{2}},}\\{U'_{2} =\frac{U'_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}}=\frac{U'_{1}\cdot U_{2}}{U_{1}},U'_{1} +\frac{U'_{1} \cdot U_{2}}{U_{1}} =E}\\{U'_{1}=\frac{E}{1+\frac{U_{2} }{U_{1}}},}\\{U'_{2} =\frac{U_{2} \cdot E}{U_{1} +U_{2}}.} \end{array} \]
Ответ: 7 В, 5В.

[Kivir]

656. Два источника тока с ЭДС E₁ = 4 В и E₂ = 6 В и внутренними сопротивлениями r₁ = 0,1 Ом и r₂ = 0,4 Ом соединены последовательно. При каком сопротивлении внешней цепи напряжение на зажимах второго источника будет равно нулю?
Решение: используя закон Ома для замкнутой цепи определим ток (см. рис.)
\[ I=\frac{E_{1} +E_{2}}{R+r_{1}+r_{2}}. \]
Здесь учли, что источники соединены последовательно. Напряжение на участке цепи, если этот участок содержит источник тока с ЭДС E и внутренним сопротивлением r равно (направление обхода по току)
\[ U=E-I\cdot r. \]
Составим систему уравнений
\[ \left\{\begin{array}{l}{I\cdot\left(R+r_{1}+r_{2}\right)=E_{1}+E_{2} ,} \\ {U_{2} =E_{2}-I\cdot r_{2}.}\end{array}\right. \]
Решим систему относительно R, учитывая, что напряжение на зажимах второго источника U₂ = 0 по условию задачи, например
\[ \begin{array}{l}{I=\frac{E_{2}}{r_{2}},}\\{\frac{E_{2}}{r_{2}}\cdot \left(R+r_{1}+r_{2}\right)=E_{1}+E_{2},}\\{R=\frac{E_{1}\cdot r_{2} -E_{2} \cdot r_{1}}{E_{2}}.}\end{array} \]
Ответ: 0,17 ≈ 0,2 Ом