Автор Тема: Три цилиндра. Кто быстрее?  (Прочитано 7609 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Sneggh

  • Гость
Три цилиндра. Кто быстрее?
« : 07 Марта 2011, 17:33 »
Три цилиндрических тела с одинаковыми массами и внешними радиусами ставятся на наклонную плоскость. Первый цилиндр - сплошной, второй - полый, третий заполнен жидкостью. Сравните ускорения цилиндров при их скатывании по наклонной плоскости без скольжения.
А.\[ a_1>a_2>a_3 \].        Б. \[ a_1<a_2<a_3 \].
В. \[ a_2<a_1<a_3 \].      Г. \[ a_2>a_1>a_3 \].
Д. \[ a_1=a_2=a_3 \].

Помогите пожалуйста ответить. Желательно с объяснением. :)

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Три цилиндра. Кто быстрее?
« Ответ #1 : 07 Марта 2011, 19:54 »
В программе нашей республики эта тема не изучается совсем. По вашей программе вы должны находить моменты энерции различных тел или используете готовые формулы?

Для решения этой задачи нужно знать момент энерции цилиндра, заполненного жидкостью. В справочниках я пока его не нахожу, остальные (сплошного и полого) есть.


Sneggh

  • Гость
Re: Три цилиндра. Кто быстрее?
« Ответ #2 : 07 Марта 2011, 19:57 »
Аа. Ясно. Ну что ж поделаешь. :-\

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Три цилиндра. Кто быстрее?
« Ответ #3 : 07 Марта 2011, 20:55 »
Наверное, вы не так поняли. Решение будет выложено. Только для определения объема решения мне нужен ответ на вопрос:
По вашей программе вы должны находить моменты энерции различных тел или используете готовые формулы?
« Последнее редактирование: 07 Марта 2011, 20:58 от alsak »

Sneggh

  • Гость
Re: Три цилиндра. Кто быстрее?
« Ответ #4 : 07 Марта 2011, 22:16 »
Использовали, если мне память не изменяет, готовое. У меня эта тема как-то поверхностно в голове осталась. Но решение очень хочется посмотреть. Я уж пробовал решить экспериментально, не вышло. :D

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Три цилиндра. Кто быстрее?
« Ответ #5 : 08 Марта 2011, 08:58 »
На цилиндр действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N) и сила трения покоя (Ftr), благодаря которой цилиндр катится без проскальзывания (рис. 1). Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для точки А (точки соприкосновения цилиндра и опоры)

ε = M/J,

где M = m⋅g⋅d — момент силы тяжести относительно точки А (моменты силы трения и силы реакции опоры равны нулю), d = AB = R⋅sin α — плечо силы тяжести (рис. 2), ε = a/R — угловое ускорение, J — момент инерции цилиндра относительно точки А. По теореме Штерна момент инерции тела относительно точки, смещенной на расстоянии R от оси симметрии (точки О) равен

J = J0 + m⋅R2.

Тогда
 
\[ \frac{a}{R} = \frac{m \cdot g \cdot R \cdot \sin \alpha}{J_{0} + m \cdot R^{2}}, \; \; a = \frac{m \cdot g \cdot R^{2} \cdot \sin \alpha}{J_{0} + m \cdot R^{2}}.\;\;\; (1) \]

Из уравнения (1) следует, что чем больше момент инерции тела J0 (относительно оси симметрии), тем меньше ускорение тела.

Момент инерции первого (сплошного) цилиндра равен J01 = 1/2⋅m⋅R2,  второго (полого) — J02 = m⋅R2. Третий цилиндр состоит из двух цилиндров: полого с моментом J02 = m⋅R2, и цилиндра из жидкости с моментом J0 = 1/2⋅m2R2 (m2 — масса жидкости). Поэтому

J01 < J02 < J03
и
a1 > a2 > a3.

Ответ. А) a1 > a2 > a3.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24