Автор Тема: Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 52117 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
255. Определить мощность гидротурбины при условии, что за время t = 1 с с высоты h = 100 м падает V = 250 м3 воды. КПД турбины η = 90 %. Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3.

Решение. КПД турбины равен

η = Pn/P3,

где Pn = P — полезная мощность, т.е. мощность гидротурбины, P3 = A3/t — затраченная мощность, в данной задаче это мощность падающей воды, A3 = m∙g∙h, m = ρ∙V. Тогда
 
\[ \eta = \frac{P \cdot t}{\rho \cdot V \cdot g \cdot h}, \ \ \ P = \frac{\eta \cdot \rho \cdot V \cdot g \cdot h}{t}, \]

P = 2,25∙108 Вт.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
256. Ракета с работающим двигателем «зависла» над поверхностью Земли. Какова мощность, развиваемая двигателем, если масса ракеты m, а скорость истечения газов из двигателя ракеты равна υ? Изменением массы ракеты за счет истечения газов можно пренебречь.

Решение. Мощность двигателя равна

P = A/t. (1)

Работа двигателя A идет на сообщение энергии газу (топливу), т.е.
 
\[ A = \frac{m_g \cdot \upsilon^2}{2}-0= \frac{m_g \cdot \upsilon^2}{2},\;\;\; (2) \]

где mg — это масса газа, который двигатель выбрасывает из ракеты за некоторый промежуток времени t.
Изменение импульса газа в замкнутой системе должно привести к изменению импульса ракеты. Но в данном случае система не замкнута, под действием силы тяжести ракета «зависает», т.е. импульс силы тяжести за некоторый промежуток времени t компенсирует изменение импульса газа за этот же промежуток:

m⋅g⋅t = mg⋅υ. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 
\[ m_{g} = \frac{m \cdot g \cdot t}{\upsilon }, \; \; \; P = \frac{m_{g} \cdot \upsilon ^{2}}{2t} = \frac{m \cdot g \cdot t}{\upsilon } \cdot \frac{\upsilon ^{2}}{2t} = \frac{m \cdot g \cdot \upsilon }{2}.
 \]

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
257. Два тела бросают с высоты h0 = 20 м со скоростью υ0 = 15 м/с каждое. С какими скоростями тела упадут на землю, если первое тело брошено вертикально вверх, а второе — горизонтально? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли (рис. 1).
Полная механическая энергия каждого из тел в начальном состоянии равна
 
\[ W_{01} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} + m_{1} \cdot g \cdot h_{0}, \, \, \, W_{02} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} + m_{2} \cdot g \cdot h_{0}. \]

Полная механическая энергия каждого из тел в конечном состоянии
 
\[ W_{1} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}, \, \, \, W_{2} = \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}. \]

Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 
\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} + m_{1} \cdot g \cdot h_{0} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon_{1}^{2}}{2}, \, \, \, \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon_{0}^{2} + 2g \cdot h_{0}}, \]

\[ \frac{m_{2} \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} + m_{2} \cdot g \cdot h_{0} =\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} ,\, \, \, \upsilon _{2} = \upsilon _{1} = \sqrt{\upsilon _{0}^{2} + 2g \cdot h_{0}}, \]

υ1 = υ2 = 25 м/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
258. Мяч массой m = 100 г отпустили на высоте h0 = 2 м над полом. Какое количество теплоты выделилось при первом ударе мяча о пол, если время между первым и вторым ударами мяча о пол τ = 1,2 с? Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение свободного падения g принять равным 10 м/с2.

Решение. Разобьем задачу на две части.
1 часть. Определим скорость мяча υ1 сразу же после первого удара кинематическим способом. За нулевую высоту примем высоту поверхности пола, ось 0Y направим вверх (рис. 1). Запишем уравнение движения мяча:
 
\[ y = y_{0} + \upsilon _{0y} \cdot t + \frac{g_{y} \cdot t^2}{2},
 \]

где y0 = 0, υ0y = υ1, gy = –g. Через время t = τ = 1,2 с координата y = 0 (мяч снова ударится о пол). Тогда
 
\[ 0 = \upsilon_{1} \cdot \tau -\frac{g \cdot \tau^2 }{2}, \; \; \; \upsilon_{1} = \frac{g \cdot \tau }{2}. \]  (1)


2 часть. Определим, какое количество теплоты выделилось при первом ударе. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. Выбор нулевой высоты оставим прежним (см. рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии (на высоте h0) равна

W0 = m⋅g⋅h0.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии (сразу же после первого удара о пол)
 
W = m⋅υ12/2.

Количество теплоты, которое выделится при неупругом ударе о пол, будет равно

Q = W0W.

Или, с учетом уравнения (1)
 
\[ Q = m \cdot g \cdot h_{0} -\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = m \cdot g \cdot h_{0} -\frac{m}{2} \cdot \left(\frac{g \cdot \tau}{2} \right)^{2} = m \cdot g \cdot \left(h_{0} -\frac{g \cdot \tau ^{2}}{8} \right), \]

Q = 0,2 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
259. Пуля массой m попадает в центр лежащего на краю стола шара и застревает в нем. Определить скорость шара в момент удара о пол, если пуля летела в горизонтальном направлении со скоростью υ0 и высота стола Н. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Так как пуля застревает в шаре, то применять сразу закон сохранения энергии нельзя. Рассмотрим вначале процесс столкновения пули и шара (неупругий удар), затем движение системы шар-пуля.

Процесс столкновения пули и шара (рис. 1). Пусть M —масса шара. Так как удар неупругий, то для нахождения скорости системы шар-пуля воспользуемся законом сохранения импульса:
 
\[ m \cdot \vec{\upsilon_0 } = \left(m + M \right) \cdot \vec{\upsilon }_1, \]

0Х: m⋅υ0 = (m + M)⋅υ1
или
 
\[ \upsilon _1 = \frac{m \cdot \upsilon_0 }{m + M}.\;\;\; (1) \]


Процесс движения системы мяч-пуля. Воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту пола (рис. 2).
Полная механическая энергия системы тел в начальном состоянии равна
 
\[ W_{0} = \frac{\left(m + M \right) \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \left(m + M \right) \cdot g \cdot H. \]

Полная механическая энергия системы тел в конечном состоянии
 
\[ W = \frac{\left(m + M\right) \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}. \]

Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии. Запишем его с учетом уравнения (1):
 
\[ \frac{\left(m + M \right) \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \left(m + M \right) \cdot g \cdot H = \frac{\left(m + M \right) \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}, \]
 
\[ \upsilon _{2} = \sqrt{\upsilon _{1}^{2} + 2g \cdot H} = \sqrt{\left(\frac{m \cdot \upsilon _{0}}{m+M} \right)^{2} + 2g \cdot H}. \]


Примечание. В условии задачи (2003 г. издания и старше) не хватает данных — массы шара M.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
260. Гладкая горка массой M находится на гладком горизонтальном полу (рис. 1). На горку положили и отпустили без толчка шайбу массой m. Отношение масс n = m/М = 0,60, H = 1,3 м и h = 0,50 м. Каково расстояние от шайбы до горки в момент падения шайбы на пол? В момент отделения от горки скорость шайбы направлена горизонтально. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Разобьем задачу на два процесса.

1 процесс. Движение шайбы по горке (рис. 2). Найдем скорость шайбы υ2 в момент отрыва ее от горки. Так как горка и пол гладкие (нет трения), сопротивление воздуха не учитывается, то можно воспользоваться законом сохранения энергии и импульса для системы шайба-горка. За нулевую высоту примем высоту пола.
Полная механическая энергия системы и их импульсы в начальный момент времени (шайба на высоте H) равны:
 
\[ W_{0} = m \cdot g \cdot H, \;\;\; \vec{p}_{0} =0. \]

Полная механическая энергия системы и их импульсы в конечный момент времени (шайба на высоте h) равны:
 
\[ W = m \cdot g \cdot h+\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} +\frac{M \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}, \;\;\; \vec{p} = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2},
 \]

где υ2 — скорость горки в момент отрыва шайбы.
Запишем законы сохранения энергии и импульса:
 
\[ m \cdot g \cdot H = m \cdot g \cdot h+\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2},\;\;\; (1) \]
 
\[ 0 = m \cdot \vec{\upsilon }_{1} + M \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0Х: 0 = m∙υ1M∙υ2. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 
\[ \upsilon _{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}}{M}, \; \; \; m \cdot g \cdot \left(H-h\right) = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{M}{2} \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon _{1} }{M} \right)^{2} =\frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} \cdot \left(1+\frac{m}{M} \right), \]
 
\[ g \cdot \left(H-h\right) = \frac{\upsilon _{1}^{2} }{2} \cdot \frac{M+m}{M}, \; \; \; \upsilon _{1} = \sqrt{\frac{2g \cdot \left(H-h\right)}{M+m} \cdot M}.\;\;\; (3) \]

« Последнее редактирование: 13 Июня 2011, 13:57 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Начало
2 процесс. Движение шайбы и горки раздельно (рис. 3). За время падения t1 шайба пролетит расстояние s1, горка — расстояние s2. Тогда расстояние от шайбы до горки в момент падения шайбы на пол будет равно:

s = s1 + s2. (4)

Найдем время падения t1 шайбы, брошенной горизонтально со скоростью υ1 с высоты h. Нулевую высоту оставим прежней, ось 0Y направим вверх, ось 0Х вдоль движения шайбы (рис. 3). Запишем уравнения движения шайбы:
 
\[ y =y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\frac{g_{y} \cdot t^{2} }{2}, \; \; \; x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\frac{g_{x} \cdot t^{2} }{2}, \]

где y0 = h, υ0y = 0, gy = –g, x0 = 0, υ0x = υ1, gx = 0. Через время t = t1 шайба упадет на пол, поэтому y = 0, х = s1. Тогда
 
\[ 0=h-\frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2}, \; \; \; s_{1} = \upsilon _{1} \cdot t_{1} \]

или с учетом уравнения (3)
 
\[ t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \; \; \; s_{1} = \upsilon _{1} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{M+m} \cdot M}.\;\;\; (5) \]

Горка на гладком полу будет двигаться равномерно, поэтому
 
\[ s_{2} = \upsilon _{2} \cdot t_{1} =\frac{m\cdot \upsilon _{1} }{M} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{m}{M} \cdot \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{M+m} \cdot M}. \]  (6)

Подставим полученные уравнения (5) и (6) в уравнение (4) и учтем, что m = n⋅M (по условию):
 
\[ s = \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{M+m} \cdot M} +\frac{m}{M} \cdot \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{M+m} \cdot M} = \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{M+n \cdot M} \cdot M} + \frac{n \cdot M}{M} \cdot \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{M+n \cdot M} \cdot M} = \]
 
\[ = \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{1+n}} + n \cdot \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{1+n}} = \sqrt{\frac{4h \cdot \left(H-h\right)}{1+n} } \cdot \left(1+n \right)=2\sqrt{h \cdot \left(H-h\right) \cdot \left(1+n\right)}, \]

s = 1,6 м.

Примечание. В ответе в формуле опечатка.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
261. Пуля массой m = 20 г, летящая горизонтально со скоростью υ = 400 м/с, попадает в шар массой M = 5 кг, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити длиной l = 4 м, и отскакивает от него после упругого центрального удара. Определить угол, на который отклоняется нить.

Решение. Разобьем задачу на два процесса.

1 процесс. Упругое столкновение пули и шара. Найдем скорость шара υ2 после столкновения.
В случае упругого удара выполняются законы сохранения импульса системы и механической энергии. Запишем оба закона сохранения и учтем, что после удара шар начнет двигаться вправо, а пуля влево (пуля отскакивает от шара) (рис. 1):

0X: m∙υ = –m∙υ1 + M∙υ2,
 
\[ \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} + \frac{M \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2}. \]

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными (υ1 и υ2). Решим ее (подробнее см. рис. 3):
 
\[ \upsilon _{1} = \frac{M \cdot \upsilon _{2} - m \cdot \upsilon }{m}, \, \, \, m \cdot \upsilon ^{2} = m \cdot \left(\frac{M \cdot \upsilon _{2} -m\cdot \upsilon }{m} \right)^{2} + M \cdot \upsilon _{2}^{2}, \]

υ2 = 0 м/с или υ2 = 2m⋅υ/(m + M). (1)

Первый ответ не подходит по условию.

2 процесс. Движения шара на нити от нижнего положения до максимального. Силой сопротивления, по умолчанию, пренебрегаем, поэтому можем применять закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится шар в нижнем положении (рис. 2).
Полная механическая энергия шара в начальном состоянии с учетом уравнения (1) равна
 
\[ W_{0} = \frac{M \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} = \frac{M}{2} \cdot \left(\frac{2m \cdot \upsilon }{m+M} \right)^{2} = 2M \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon }{m+M} \right)^{2}. \]

Полная механическая энергия шара в конечном состоянии:

W = M∙g∙h,

где h = AC – AB = l – l∙cos α = l∙(1 – cos α).
Из закона сохранения механической энергии следует, что
 
\[ 2M \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon }{m+M} \right)^{2} = M \cdot g \cdot l\cdot \left(1-\cos \alpha \right), \, \, \, \alpha = \arccos \left(1-\frac{2}{g \cdot l} \cdot \left(\frac{m \cdot \upsilon }{m+M} \right)^{2} \right), \]

α = 29°.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
262. Частица, кинетическая энергия которой равна E0, сталкивается абсолютно упруго с такой же неподвижной частицей и отклоняется от первоначального направления на угол α = 60°. Определить кинетическую энергию каждой частицы после соударения.

Решение. В случае упругого удара выполняются законы сохранения импульса системы и ее механическая энергия. Запишем оба закона сохранения и учтем, что частицы равной массы m, и после упругого удара первая частица отклоняется от первоначального направления на угол α (рис. 1):
 
\[ \frac{m\cdot \upsilon _{10}^{2} }{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} +\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2}, \; \; \; \upsilon _{10}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2},\;\;\; (1) \]
 
\[ m\cdot \vec{\upsilon }_{01} =m\cdot \vec{\upsilon }_{1} +m\cdot \vec{\upsilon }_{2}, \; \; \; \vec{\upsilon }_{01} =\vec{\upsilon }_{1} +\vec{\upsilon }_{2}, \]

0X: υ10 = υ1⋅cos α + υ2x, (2)

0Y: 0 = υ1⋅sin α + υ2y. (3)
Кроме того
 
\[ \upsilon _{2}^{2} = \upsilon _{2x}^{2} + \upsilon _{2y}^{2}.\;\;\; (4) \]

Решим систему уравнений и найдем скорости υ1 и υ2. Например (подробнее см. рис. 2),

υ2x = υ10 – υ1⋅cos α, υ2y = –υ1⋅sin α,
 
\[ \upsilon _{2}^{2} = \upsilon _{10}^{2} -2\upsilon _{10} \cdot \upsilon _{1} \cdot \cos \alpha +\upsilon _{1}^{2}, \]
 
\[ \upsilon _{10}^{2} =\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{10}^{2} -2\upsilon _{10} \cdot \upsilon _{1} \cdot \cos \alpha +\upsilon _{1}^{2}, \;\;\; \upsilon _{1} =\upsilon _{10} \cdot \cos \alpha, \]
 
\[ \upsilon _{2} =\sqrt{\upsilon _{10}^{2} -2\upsilon _{10} \cdot \upsilon _{1} \cdot \cos \alpha +\upsilon _{1}^{2} } =\upsilon _{10} \cdot \sin \alpha, \]
где 
\[ \upsilon _{10}^{2} =\frac{2E_{0} }{m} \; \; \left(E_{0} =\frac{m\cdot \upsilon _{10}^{2} }{2} \right), \; \; \; \cos \alpha =\frac{1}{2}, \;\;\; \sin \alpha =\frac{\sqrt{3} }{2}. \]

Тогда кинетическая энергия каждой частицы равна
 
\[ E_{1} =\frac{m\cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} =\frac{m}{2} \cdot \upsilon _{10}^{2} \cdot \cos ^{2} \alpha =\frac{m}{2} \cdot \frac{2E_{0} }{m} \cdot \frac{1}{4} =\frac{E_{0} }{4}, \]
 
\[ E_{2} =\frac{m\cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} =\frac{m}{2} \cdot \upsilon _{10}^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha =\frac{m}{2} \cdot \frac{2E_{0} }{m} \cdot \frac{3}{4} =\frac{3E_{0} }{4}. \]


Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
263. Тело массой m1, движущееся со скоростью υ1, налетает на покоящееся второе тело и после абсолютно упругого столкновения отскакивает от него со скоростью υ2 = 2/3υ1 под углом α = 90° к первоначальному направлению движения. Определить массу второго тела.

Решение. В случае упругого удара выполняются законы сохранения импульса системы и ее механическая энергия. Запишем оба закона сохранения и учтем, что после упругого удара первая частица отклоняется от первоначального направления на угол α (рис. 1):
 
\[ \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{2}^{2} }{2} +\frac{m_{2} \cdot \upsilon _{4}^{2} }{2}, \; \; \; m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} =m_{1} \cdot \upsilon _{2}^{2} +m_{2} \cdot \upsilon _{4}^{2}, \]
 
\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} = m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{2} +m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{4}, \]

0X: m1⋅υ1 = m2⋅υ4x,

0Y: 0 = m1⋅υ2 + m2⋅υ4y.
Кроме того
 
\[ \upsilon _{4}^{2} =\upsilon _{4x}^{2} +\upsilon _{4y}^{2}. \]

Решим систему уравнений и учтем, что по условию υ2 = 2/3υ1. Например (подробнее см. рис. 2),
 
\[ \upsilon _{4}^{2} =\left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1} }{m_{2} } \right)^{2} +\left(-\frac{m_{1} \cdot \upsilon _{2} }{m_{2} } \right)^{2} =\left(\frac{m_{1} }{m_{2} } \right)^{2} \cdot \left(\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} \right), \]
 
\[ m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2} =m_{1} \cdot \upsilon _{2}^{2} +m_{2} \cdot \left(\frac{m_{1} }{m_{2} } \right)^{2} \cdot \left(\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} \right), \; \; \; m_{2} =m_{1} \cdot \frac{\upsilon _{1}^{2} +\upsilon _{2}^{2} }{\upsilon _{1}^{2} -\upsilon _{2}^{2} } =\frac{13}{5} \cdot m_{1}. \]

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24