Автор Тема: Законы сохранения из сборника Савченко Н.Е.  (Прочитано 52098 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
246. Камень падает с высоты h = 20 м без начальной скорости. Какова будет скорость камня в тот момент, когда его потенциальная энергия уменьшится в n = 2,0 раза по сравнению с первоначальным ее значением? Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W0 = Wp0 = m⋅g⋅h0,
где h0 = h.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} + W_{p},
 \]

где Wp = Wp0/n = m⋅g⋅h/n.
Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивление воздуха не учитывать), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} + \frac{m \cdot g \cdot h}{n}, \; \; \; \upsilon = \sqrt{2g \cdot h \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right)}, \]

υ = 14 м/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
247. Тележка массой m1 = 50 кг движется со скоростью υ = 2,0 м/с по горизонтальной поверхности. На тележку с высоты h = 20 см падает груз массой m2 = 50 кг и остается на тележке. Найти выделившееся при этом количество теплоты.

Решение. При неупругом ударе (груз остается на тележке) выделяется количество теплоты, равное

Q = W0W. (1)

Найдем энергии W0 и W. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой двигается тележка (рис. 1).
Полная механическая энергия системы тележка-груз в начальном состоянии

W0 = m1⋅υ2/2 + m2g⋅h.

Полная механическая энергия системы тележка-груз в конечном состоянии

W = (m1 + m2)⋅υk2/2, (2)

где υk — скорость тележки и груза после столкновения.
Так как удар неупругий, то выполняется закон сохранения импульса. Воспользуемся им для нахождения скорости υk тележки и груза после столкновения (см. рис. 1). Пусть скорость груза перед ударом о тележку равняется υ2.
 
\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon } + m_{2} \cdot \vec{\upsilon }_{2} = \left(m_{1} + m_{2} \right) \cdot \vec{\upsilon }_{k}, \]

0Х: m1⋅υ = (m1 + m2)⋅υk,  υk = m1⋅υ/(m1 + m2).

После подстановки в уравнение (2) получаем
 
\[ W = \frac{m_{1} +m_{2} }{2} \cdot \frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon \right)^{2} }{\left(m_{1} + m_{2} \right)^{2} } = \frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon \right)^{2} }{2 \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)}.
 \]

Тогда из уравнения (1) находим количество теплоты, которое выделится при неупругом ударе груза о тележку
 
\[ Q = \frac{m_{1} \cdot \upsilon ^{2} }{2} + m_{2} \cdot g \cdot h-\frac{\left(m_{1} \cdot \upsilon \right)^{2} }{2 \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)} = \]

\[ = \frac{m_{1}^{2} \cdot \upsilon ^{2} + m_{1} \cdot m_{2} \cdot \upsilon ^{2} -m_{1}^{2} \cdot \upsilon ^{2} }{2 \cdot \left(m_{1} +m_{2} \right)} +m_{2} \cdot g \cdot h = m_{2} \cdot \left(\frac{m_{1} \cdot \upsilon ^{2}}{2 \cdot \left(m_{1} + m_{2} \right)} +g \cdot h\right), \]

Q = 150 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
248. Два тела массами m1 = 1,0 кг и m2 = 2,0 кг движутся по взаимно перпендикулярным направлениям со скоростями υ1 = 10 м/с и υ2 = 15 м/с соответственно. После соударения первое тело останавливается. Какое количество теплоты выделится при ударе?

Решение. Воспользуемся законом сохранения импульса для нахождения скорости υ2k второго тела после столкновения (рис. 1):
 
\[ m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1 + m_2 \cdot \vec{\upsilon }_2 = m_2 \cdot \vec{\upsilon }_{2k}, \]

0Х: m1⋅υ1 = m2⋅υ2k х,

0Y: m2⋅υ2 = m2⋅υ2k y.
Тогда
 
\[ \upsilon _{2k}^2 = \upsilon _{2k x}^2 + \upsilon _{2k y}^2 = \left(\frac{m_1 \cdot \upsilon _1 }{m_2 } \right)^2 + \left(\frac{m_2 \cdot \upsilon _2 }{m_2 } \right)^2 = \frac{\left(m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2 +\left(m_2 \cdot \upsilon _2 \right)^2 }{m_2^2 }. \]  (1)


Количество теплоты, которое выделяется при ударе, равно

Q = W0W.

Найдем энергии W0 и W. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой двигаются тела.
Полная механическая энергия тел в начальном состоянии
 
\[ W_{0} = \frac{m_1 \cdot \upsilon _1^2}{2} + \frac{m_2 \cdot \upsilon _2^2}{2}.
 \]

Полная механическая энергия тел в конечном состоянии (с учетом уравнения (1))
 
\[ W = \frac{m_2 \cdot \upsilon _{2k}^2 }{2} = \frac{m_2 }{2} \cdot \frac{\left(m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2 + \left(m_2 \cdot \upsilon _2 \right)^2 }{m_2^2 } = \frac{\left(m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2 +\left(m_2 \cdot \upsilon _2 \right)^2 }{2m_2 }. \]

Тогда количество теплоты, которое выделится при ударе тел, будет равно
 
\[ Q = \frac{m_1 \cdot \upsilon _1^2 }{2} + \frac{m_2 \cdot \upsilon _2^2 }{2} -\frac{\left(m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2 + \left(m_2 \cdot \upsilon _2 \right)^2 }{2m_2 } = \]

\[ =\frac{m_1 \cdot m_2 \cdot \upsilon _1^2 + m_2^2 \cdot \upsilon _2^2 -\left(m_1 \cdot \upsilon _1 \right)^2 -\left(m_2 \cdot \upsilon _2 \right)^2 }{2m_2 } = \frac{m_1 \cdot \upsilon _1^2 \cdot \left(m_2 -m_1 \right)}{2m_2 }, \]

Q = 25 Дж.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
249. Горизонтально летящая пуля попадает в деревянный брус, лежащий на гладкой горизонтальной плоскости, и пробивает его. Определить, какая часть энергии пули перешла в теплоту. Масса пули m = 10 г, масса бруса M = 1 кг, начальная скорость пули υ0 = 500 м/с, скорость пули после вылета υ = 300 м/с.

Решение. Так как брус находится на гладкой горизонтальной плоскости, то после удара пули брус начнет двигаться. Воспользуемся законом сохранения импульса для нахождения скорости υ1 бруса после пробивания его пулей (рис. 1):

0Х: m⋅υ0 = m⋅υ + M⋅υ1
или
 
\[ \upsilon _{1} = \frac{m \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)}{M}.\;\;\; (1) \]


Количество теплоты, которое выделяется при ударе, равно

Q = W0W.

Найдем энергии W0 и W. За нулевую высоту примем высоту поверхности, по которой двигаются тела.
Полная механическая энергия системы пуля-брус в начальном состоянии
 
\[ W_{0} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}. \]

Полная механическая энергия системы в конечном состоянии (с учетом уравнения (1))
 
\[ W = \frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2} + \frac{M \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2} +\frac{M}{2} \cdot \left(\frac{m \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)}{M} \right)^{2} =\frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2} +\frac{m^{2} \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)^{2} }{2M}. \]

Тогда количество теплоты, которое выделится при ударе тел, будет равно
 
\[ Q = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2} }{2} -\frac{m \cdot \upsilon ^{2} }{2} -\frac{m^{2} \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)^{2} }{2M} = \frac{m}{2} \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} -\upsilon ^{2} -\frac{m \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)^{2} }{M} \right). \]

В итоге получаем, что часть энергии пули, которая перешла в теплоту, будет равна
 
\[ \frac{Q}{W_{0} } = \frac{m}{2} \cdot \left(\upsilon _{0}^{2} -\upsilon ^{2} -\frac{m \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)^{2} }{M} \right) \cdot \frac{2}{m \cdot \upsilon _{0}^{2} } =1-\left(\upsilon ^{2} -\frac{m \cdot \left(\upsilon _{0} -\upsilon \right)^{2} }{M} \right) \cdot \frac{1}{\upsilon _{0}^{2}}, \; \; \; \frac{Q}{W_{0}} = 0,64. \]

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
250. Тело бросили под некоторым углом к горизонту с начальной скоростью υ0 = 15 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия в n = 3 раза меньше начальной? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Задачу решим, используя закон сохранения энергии. За нулевую высоту примем поверхность земли (рис. 1).
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 
W0 = Wk0 = m⋅υ02/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = Wk + m⋅g⋅h,
где Wk = Wk0/n = m⋅υ02/(2n).
Так как на тело не действует внешняя сила (сопротивлением воздуха пренебречь), то выполняется закон сохранения механической энергии:
 
\[ \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2} = \frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2n} + m \cdot g \cdot h, \, \, \, h= \frac{\upsilon _{0}^{2} }{2g} -\frac{\upsilon _{0}^{2} }{2n \cdot g} = \frac{\upsilon _{0}^{2} }{2g} \cdot \left(1-\frac{1}{n} \right), \]

h = 7,5 м.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
251. От поезда массой M = 600 т, идущего с постоянной скоростью по прямолинейному горизонтальному участку пути, отрывается последний вагон массой m = 60 т. Какой путь до остановки пройдет этот вагон, если в момент его остановки поезд движется с постоянной скоростью υ = 40 км/ч? Мощность N тепловоза, ведущего состав, постоянна и равна 10 МВт. Коэффициент сопротивления движению равен отношению модуля силы сопротивления к модулю силы нормальной реакции рельсов.

Решение. Пусть скорость поезда вместе с последним вагоном будет равна υ0. Скорость вагона в момент отрыва будет равняться скорости поезда, т.е. так же υ0. Найдем эту скорость.

1 процесс: поезд и вагон двигаются вместе.
На вагон действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N1), сила натяжения связки (T1) и сила сопротивления (Ft1), на поезд — сила тяжести ((M – m)∙g), сила реакции опоры (N2), сила натяжения связки (T2), сила тяги (F1) и сила сопротивления (Ft2) (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона (поезд движется с постоянной скоростью):
 
\[ 0 = m \cdot \vec{g}+\vec{N}_{1} + \vec{T}_{1} + \vec{F}_{t1}, \, \, \, 0 = \left(M-m\right) \cdot \vec{g} + \vec{N}_{2} +\vec{T}_{2} + \vec{F}_{1} + \vec{F}_{t2}, \]

0X: 0 = –Ft1 + T1, (1)

0 = –Ft2T2 + F1, (2)

0Y: 0 = N1m∙g, (3)

0Y: 0 = N2 – (M – m)∙g, (4)

где Ft1 = μ∙N1 = μ∙m∙g (коэффициент сопротивления движению равен отношению модуля силы сопротивления к модулю силы нормальной реакции рельсов), Ft2 = μ∙N2 = μ∙(M – m)∙g. Тогда из уравнений (1)-(2) получаем

0 = –Ft1Ft2 + F1,

F1 = Ft1 + Ft2 = μ∙m∙g + μ∙(M – m)∙g = μ∙M⋅g.

Так как скорость системы постоянна и равна υ0, то N = F1∙υ0 или
 
\[ \upsilon _{0} = \frac{N}{F_{1}} = \frac{N}{\mu \cdot M \cdot g}.\;\;\; (5) \]

« Последнее редактирование: 30 Мая 2011, 17:56 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Начало.

Найдем коэффициент сопротивления μ.
2 процесс: поезд и вагон двигаются раздельно.
На вагон действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N1) и сила сопротивления (Ft1), на поезд — сила тяжести ((M – m)∙g), сила реакции опоры (N2), сила тяги (F2) и сила сопротивления (Ft2) (рис. 2). Поезд движется с постоянной скоростью υ, вагон — с ускорением av. Запишем второй закон Ньютона:

\[ m \cdot \vec{a}_v = m \cdot \vec{g}+\vec{N}_{1} + \vec{F}_{t1}, \, \, \, 0 = \left(M-m\right) \cdot \vec{g} + \vec{N}_{2} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{t2}, \]

0X: –m∙av = –Ft1 = –μ∙N1, (6)

0 = –Ft2 + F2, (7)

0Y: 0 = N1m∙g, (3)

0Y: 0 = N2 – (M – m)∙g, (4)

где Ft1 = μ∙N1 = μ∙m∙g, Ft2 = μ∙N2 = μ∙(M – m)∙g. Из уравнений (6) получаем

m∙av = μ∙m∙g, av = μ∙g. (8 )
Из уравнения (7)
F2 = Ft2 = μ∙(M – m)∙g.

Так как скорость поезда постоянна и равна υ, а мощность не изменилась, то N = F2∙υ или
 
\[ F_{2} = \frac{N}{\upsilon } = \mu \cdot \left(M-m\right) \cdot g, \; \; \; \mu = \frac{N}{\left( M-m\right) \cdot g \cdot \upsilon }.\;\;\;(9) \]

Пройденный путь s вагона найдем следующим образом:
 
\[ \Delta r_{x} = \frac{\upsilon _{kx}^{2} -\upsilon _{0x}^{2}}{2a_{x}}, \]

где Δrx = s, υkx = 0 (вагон движется до остановки), υ0x = υ0, ax = –av. Тогда с учетом уравнений (5), (8 ) и (9) получаем
 
\[ s = \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2a_{v}} = \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2\mu \cdot g} = \frac{N^{2}}{2M^{2} \cdot \mu ^{3} \cdot g^{3}} = \frac{N^{2} }{2M^{2} \cdot g^{3} } \cdot \frac{\left(M-m\right)^{3} \cdot g^{3} \cdot \upsilon ^{3}}{N^{3}} = \frac{\left(M-m\right)^{3} \cdot \upsilon ^{3}}{2M^{2} \cdot N}, \]

s = 30 м.
Примечание. Не совсем понятно, про какую массу поезда (M = 600 т) идет речь: это общая масса или масса поезда без вагона. В решении рассматривался первый вариант.

Свое решение этой задачи прислал Гусев С. (см. второй рисунок).
« Последнее редактирование: 05 Сентября 2019, 08:18 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
252. Два груза массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг свободно подвешены на нитях длиной l = 2,0 м так, что соприкасаются друг с другом. Меньший груз отклонили на угол α = 60°. Определить, на сколько изменилась потенциальная энергия груза и на какую высоту поднимутся грузы, если отклоненный груз отпустили и после удара грузы движутся вместе.

Решение. За нулевую высоту примем положение равновесия грузов (рис. 1).
Разобьем решение задачи на четыре части.

1. Найдем скорость υ1 груза массой m1 в момент удара о второй груз. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии.
Полная механическая энергия груза 1 в начальном состоянии (см. рис. 1, а):

W0 = m1g⋅h1,

где h1 = BC = AC – AB = l⋅(1 – cos α) (рис. 2).
Полная механическая энергия груза 1 в конечном состоянии:

W = m1⋅υ12/2.

Так как на груз не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:
 
\[ m_{1} \cdot g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right) = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}^{2}}{2}, \; \; \; \upsilon _{1} = \sqrt{2g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}.\;\;\; (1) \]


2. Найдем скорость υ2 двух грузов вместе сразу же после удара. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса (рис. 1, а, б) (с учетом уравнения (1)):
 
\[ m_{1} \cdot \vec{\upsilon }_{1} = \left(m_{1} +m_{2} \right) \cdot \vec{\upsilon }_{2}, \]

0X: m1⋅υ1 = (m1 + m2)⋅υ2,
 
\[ \upsilon _{2} = \frac{m_{1} \cdot \upsilon _{1}}{m_{1} +m_{2} } = \frac{m_{1}}{m_{1} +m_{2}} \cdot \sqrt{2g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}.\;\;\; (2) \]

3. Найдем высоту h2, на которую поднимутся два груза после удара. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии.
Полная механическая энергия грузов в начальном состоянии (см. рис. 1, б, в) с учетом уравнения (2):
 
\[ W_{0} = \frac{\left(m_{1} +m_{2} \right) \cdot \upsilon _{2}^{2}}{2} = \frac{\left(m_{1} + m_{2} \right)}{2} \cdot \left(\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2} } \right)^{2} \cdot 2g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right) = \frac{m_{1}^{2} \cdot g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}{m_{1} +m_{2}}. \]

Полная механическая энергия грузов в конечном состоянии:

W = (m1 + m2)⋅g⋅h2.

Так как на грузы не действует внешняя сила, то выполняется закон сохранения механической энергии:
 
\[ \frac{m_{1}^{2} \cdot g \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}{m_{1} + m_{2}} = \left(m_{1} +m_{2} \right) \cdot g \cdot h_{2}, \; \; \; h_{2} = \frac{m_{1}^{2} \cdot l \cdot \left(1-\cos \alpha \right)}{\left(m_{1} + m_{2} \right)^{2}}, \]

h2 = 0,16 м.

4. Изменение потенциальной энергии груза массой m1 при движении от положения равновесия до высоты h1 (см. рис. 2):

ΔW = Wp – Wp0 = m1g⋅h1 – 0 = m1g⋅l⋅(1 – cos α),

ΔW = 100 Дж.

Примечание. Не совсем понятен вопрос «на сколько изменилась потенциальная энергия груза». Про какой груз: массой m1 или m2, — идет речь? Для какого промежутка времени: при подъеме груза на угол α, при достижении высоты h2 и т.п.? В решении была найдено изменение потенциальной энергия груза массой m1 при подъеме груза на угол α.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
253. По наклонной плоскости снизу вверх пускают тело с начальной скоростью υ0 = 2 м/с. Поднявшись на некоторую высоту, тело соскальзывает по тому же пути вниз. Какова будет скорость тела, когда оно вернется в исходную точку? Коэффициент трения между телом и плоскостью μ = 0,4. Угол наклона плоскости к горизонту α = 30°.

Решение. Найдем силу трения. Так как тело скользит по поверхности, то речь идет о силе трения скольжения Ftr, которая равна

Ftr = μ⋅N.

Сила реакции опоры найдем из проекции второго закона Ньютона на ось 0Y (рис. 1):

0Y: N = m⋅g⋅cos α.
В итоге получаем
Ftr = μ⋅m⋅g⋅cos α. (1)

Так как сила реакции опоры не зависит от того, куда тело движется (вверх или вниз), то уравнение (1) мы будем использовать для расчета силы трения при движении тела как вверх, так и вниз.

Дальше воспользуемся законом сохранения энергии. За нулевую высоту примем высоту нижней точки наклонной плоскости (рис. 2).

1 процесс: движение тела вверх до высоты h.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна
 
W0 = m⋅υ02/2.

Полная механическая энергия тела в конечном состоянии

W = m⋅g⋅h,
где h = s⋅sin α.
На тело действует внешняя сила — сила трения, которая и совершает работу Аv. Запишем закон изменения механической энергии

Аv = W – W0.

С другой стороны работа силы трения равна (с учетом уравнения (1)):

Аv = –Ftr⋅s = –μ⋅m⋅g⋅s⋅cos α. (2)
Тогда
 
\[ -\mu \cdot m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = m \cdot g \cdot s \cdot \sin \alpha -\frac{m \cdot \upsilon _{0}^{2}}{2}, \; \; \; s = \frac{\upsilon _{0}^{2}}{2g \cdot \left(\mu \cdot \cos \alpha +\sin \alpha \right)}.\;\;\; (3) \]


2 процесс: движение тела вниз с высоты h.
Полная механическая энергия тела в начальном состоянии равна

W20 = m⋅g⋅h,
где h = s⋅sin α.
Полная механическая энергия тела в конечном состоянии
 
W2 = m⋅υ2/2.

На тело действует внешняя сила — та же сила трения, которая и совершает работу Аv. Запишем закон изменения механической энергии, с учетом уравнений (2) и (3):

Аv = W2W20,

\[ -\mu \cdot m \cdot g \cdot s \cdot \cos \alpha = \frac{m \cdot \upsilon ^{2}}{2} - m \cdot g \cdot s \cdot \sin \alpha, \; \; \; \upsilon = \sqrt{2g \cdot s \cdot \left(\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha \right)} = \]

\[ =\upsilon _{0} \cdot \sqrt{\frac{2g \cdot \left(\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha \right)}{2g \cdot \left(\mu \cdot \cos \alpha + \sin \alpha \right)}} = \upsilon _{0} \cdot \sqrt{\frac{\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha }{\sin \alpha +\mu \cdot \cos \alpha }}, \]

υ = 0,9 м/с.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
254. Определить мощность, развиваемую электрической лебедкой, если она тянет груз равномерно вверх по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30°. Импульс груза p = 3⋅103 кг⋅м/с, коэффициент трения μ = 0,2.

Решение. Мощность, развиваемая электрической лебедкой при равномерном движении груза со скоростью υ, равна

P = F∙υ, (1)
где F — сила тяги лебедки.
Найдем силу тяги F. На груз действуют сила тяжести (m∙g), сила реакции опоры (N), сила трения (Ftr) и сила тяги лебедки (F). Так как груз движется равномерно, то ускорение a = 0 (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона:

\[ 0 = \vec{F} + m \cdot \vec{g} + \vec{F}_{tr} + \vec{N}, \]

0X: 0 = F – m∙g∙sin α – Ftr,

0Y: 0 = N – m∙g∙cos α,

где Ftr = μ∙N, N = m∙g∙cos α (из проекции на 0Y). Тогда

F = m∙g∙sin α + Ftr = m∙g∙(sin α + μ∙cos α). (2)

Скорость υ найдем через импульс груза

p = m∙υ,  υ = p/m. (3)

Подставим уравнения (2) и (3) в уравнение (1):

P = p∙g∙(sin α + μ∙cos α),
P = 2∙104 Вт.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24