Автор Тема: Горизонтально расположенное кольцо массой  (Прочитано 242 раз)

0 Пользователей и 2 Гостей просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2400
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
1. Горизонтально расположенное кольцо массой m, с внутренним и внешним радиусами R и 2∙R соответственно, равномерно вращается вокруг вертикальной оси, касаясь её своей внутренней стороной. Наибольшая скорость, которой обладает одна из точек кольца, равна υ. Чему равен момент импульса кольца относительно оси вращения? Сделать рисунок.

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
Момент импульса кольца относительно оси вращения – это произведение момента инерции кольца на угловую скорость вращения относительно оси вращения. Запишем формулу для определения момента импульса и угловой скорости вращения кольца
\[ L=J\cdot \omega (1),\omega =\frac{{{\upsilon }_{\max }}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(2),L=J\cdot \frac{{{\upsilon }_{\max }}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(3). \]
Определим момент инерции кольца.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.
J = J0 + m∙R12   (4).
Определим момент инерции кольца J0 относительно оси, проходящей через центр масс.
Разобьем это кольцо на тонкие кольца. Момент инерции этого кольца относительно оси ОО' равен:
\[ \begin{align}
  & d{{J}_{0}}={{r}^{2}}dm,dm=\rho dV=2\cdot \pi \cdot \rho \cdot hdr,d{{J}_{0}}=\rho \cdot {{r}^{3}}\cdot 2\cdot \pi \cdot hdr. \\
 & {{J}_{0}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\rho \cdot {{r}^{3}}\cdot 2\cdot \pi \cdot hdr}=\rho \cdot 2\cdot \pi \cdot h\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{{{r}^{3}}dr}=\left. \frac{1}{4}\cdot \rho \cdot 2\cdot \pi \cdot h\cdot {{r}^{4}} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{1}{2}\cdot \rho \cdot \pi \cdot h\cdot (R_{2}^{4}-R_{1}^{4}), \\
 & m=\rho \cdot V=\rho \cdot \pi \cdot h\cdot (R_{2}^{2}-R_{1}^{2}), \\
 & {{J}_{0}}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot (R_{2}^{2}+R_{1}^{2})(5). \\
 & J=\frac{1}{2}\cdot m\cdot (R_{2}^{2}+R_{1}^{2})+m\cdot R_{1}^{2}, \\
 & L=(\frac{1}{2}\cdot m\cdot (R_{2}^{2}+R_{1}^{2})+m\cdot R_{1}^{2})\cdot \frac{{{\upsilon }_{\max }}}{{{R}_{1}}+{{R}_{2}}}(6). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
  & L=(\frac{1}{2}\cdot m\cdot (4\cdot {{R}^{2}}+{{R}^{2}})+m\cdot {{R}^{2}})\cdot \frac{{{\upsilon }_{\max }}}{3\cdot R}, \\
 & L=\frac{7}{6}\cdot R\cdot m\cdot {{\upsilon }_{\max }}. \\\end{align}  \]


Оплатите 3,0 руб.

« Последнее редактирование: 14 Октября 2019, 20:50 от Сергей »

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2400
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
Серёжа спасибо огромное за грамотные и исчерпывающие решения я оплатил эту задачку)

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24