Автор Тема: Две концентрические проводящие сферы несут одинаковый заряд  (Прочитано 277 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Антон Огурцевич

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2400
  • Рейтинг: +5/-0
  • Пространство переходит во время, как тело в душу.
9. Две концентрические проводящие сферы несут одинаковый заряд q = 5∙10-6 Кл. Сферы находятся в вакууме, а пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью ε = 5. Радиусы сфер R1 = 1 м и R2 = 2 м. Найти энергию электрического поля, созданного сферами во всём пространстве. Сделать рисунок.

« Последнее редактирование: 08 Сентября 2019, 14:04 от Антон Огурцевич »

Оффлайн Сергей

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 2256
  • Рейтинг: +0/-0
Решение.
1). Напряженность внутри первой сферы равна нулю, энергия внутри первой сферы равна нулю.
W1 = 0.
2). Определим энергию электростатического поля, заключённого между сферами
Объемную плотность энергии можно определить по формулам:
\[ w=\frac{dW}{dV}(1),w=\frac{1}{2}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}(2). \]
ε – диэлектрическая проницаемость рассматриваемой области, ε0 = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
dV – элемент объема, элемент объема выразим через радиус элементарного сферического слоя.
dV = 4∙π∙r2∙dr      (3).
По теореме Гаусса поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду:
\[ \begin{align}
  & \oint{E\cdot dS}=\frac{q}{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}.dS=4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}},E=\frac{q}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}(4). \\
 & dW=wdV,dW=\frac{\varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{E}^{2}}}{2}dV,dW=\frac{{{q}^{2}}}{32\cdot {{\pi }^{2}}\cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{4}}}\cdot 4\cdot \pi \cdot {{r}^{2}}dr, \\
 & dW=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}\cdot {{r}^{2}}}\cdot dr(5). \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
  & {{W}_{2}}=\int\limits_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{1}}}^{{{R}_{2}}}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot (\frac{1}{{{R}_{1}}}-\frac{1}{{{R}_{2}}}). \\
 & {{W}_{2}}=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 5\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot (\frac{2-1}{2\cdot 1})=0,01125. \\
\end{align} \]
3). Определим энергию электростатического поля, заключённую в окружающем сферы пространстве
\[ \begin{align}
  & {{W}_{3}}=\int\limits_{{{R}_{2}}}^{\infty }{\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{r}^{2}}}dr}=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\left. \cdot \frac{{{r}^{-2+1}}}{-2+1} \right|_{{{R}_{2}}}^{\infty }=\frac{{{q}^{2}}}{8\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \frac{1}{{{R}_{2}}}. \\
 & {{W}_{3}}=\frac{{{(5\cdot {{10}^{-6}})}^{2}}}{8\cdot 3,14\cdot 1\cdot 8,85\cdot {{10}^{-12}}}\cdot \frac{1}{2}=0,05623. \\
\end{align} \]
Определим энергию электрического поля, созданного сферами во всём пространстве
W = W1 + W2 + W3. W = 0 + 0,01125 + 0,05623 = 0,06748.
Ответ: 0,06748 Дж.
« Последнее редактирование: 15 Сентября 2019, 06:21 от alsak »

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24