Автор Тема: Вступительный экзамен июнь 2009 года  (Прочитано 14033 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Здесь будут разобраны задачи вступительного экзамена во все лицеи Могилевской области (республика Беларусь), который проходил 16 июня 2009 года.
Условия контрольной работы можно посмотреть здесь.
« Последнее редактирование: 25 Апреля 2010, 08:24 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Вступительный экзамен июнь 2009 года
« Ответ #1 : 25 Апреля 2010, 09:31 »
1. (1,5 балла). Вместимость цистерны 60 м3. Сколько тонн бензина можно в нее налить? Плотность бензина 700 кг/м3.
А) 700 т. Б) 60 т. В) 42 т. Г) 420 т.
Решение. Масса бензина равна
m = ρ⋅V, m = 700 ⋅ 60 = 42000 (кг) = 42 (т).
Ответ. В) 42 т.

2. (2,5 балла). Автобус первые 4 км пути проехал за 12 мин, а следующие 12 км — за 18 мин. Определите среднюю скорость автобуса на всем пути.
А) 53 м/с. Б) 0,5 м/с. В) 91 м/с. Г) 9 м/с.
Решение. Средняя скорость автомобиля равна

\[
\upsilon = \frac{s}{t} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}, \]

где 4 км = 4000 м, 12 км = 12000 м, 12 мин = 720 с, 18 мин = 1080 с. Тогда

\[
\upsilon = \frac{4000 + 12000}{720 + 1080} \approx 9, \]

Ответ. Г) 9 м/с.

3. (5 баллов). Аквариум необходимо наполнить водой. Сколько ведер воды потребуется, если в ведро входит 10 кг воды, а размеры аквариума таковы: длина 1 м, ширина 0,5 м, а уровень воды в нем должен быть 70 см? Плотность воды 1000 кг/м3.
А) 50. Б) 35. В) 70. Г) 100.
Решение. Найдем массу воды в аквариуме
m0 = ρ⋅V = ρ⋅a⋅b⋅c, m = 1000 ⋅ 1 ⋅ 0,5 ⋅ 0,7 = 350 (кг).
Число ведер будет равно N = m0/m1, где m1 = 10 кг — масса одного ведра. N = 350/10 = 35.
Ответ. Б) 35.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Вступительный экзамен июнь 2009 года
« Ответ #2 : 25 Апреля 2010, 12:59 »
4. (7 баллов). На теплоходе установлен дизельный двигатель мощностью 80 кВт с КПД 30 %. На сколько километров пути ему хватит 1 т дизельного топлива при скорости движения 20 км/ч? Удельная теплота сгорания дизельного топлива 43 МДж/кг.
А) 322,5 км. Б) 900 км. В) 358 км. Г) 645 км.

Решение. КПД двигателя равен

\[
\eta = \frac{A_p}{A_z} \cdot 100 %, \]

где Ap = Pp⋅t — полезная работа, Pp = 80 кВт = 80⋅103 Вт — полезная мощность, равная мощности двигателя, Az = Q = m⋅q — затраченная работа, m = 1 т = 1000 кг — масса топлива, q = 43 МДж/кг = 43⋅106 Дж/кг— удельная теплота сгорания дизельного топлива. Время движения t найдем через скорость υ и пройденное расстояние s: t = s/υ, где υ = 20 км/ч ≈ 5,6 м/с. Тогда

\[
\eta = \frac{P_p \cdot t}{m \cdot q} \cdot 100 % =
\frac{P_p \cdot s}{m \cdot q \cdot \upsilon } \cdot 100 %, \quad
s = \frac{m \cdot q \cdot \upsilon \cdot \eta }{ P_p \cdot 100 %}, \]

s = 896 км ≈ 900 км.
Ответ. Б) 900 км.

5. (9 баллов). На обледеневшем участке шоссе коэффициент трения между колесами и дорогой в 10 раз меньше, чем на не обледеневшем. Во сколько раз нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледеневшем участке шоссе остался прежним?
А) 10. Б) 0,1. В) √10. Г. ≈4.

Решение. Найдем формулу зависимости тормозного (пройденного до остановки) пути s от начальной скорости автомобиля υ0. Здесь можно решать несколькими способами. Например, 1) найти из второго закона Ньютона ускорение автомобиля, а затем из формул кинематики выразить искомую формулу; 2) воспользоваться законами сохранения энергии. Решим вторым способом.
За нулевую высоту примем высоту дороги, по которой едет автомобиль. Начальная энергия автомобиля массы m равна

\[
E_0 = \frac{m \cdot \upsilon_0^2}{2}. \]

Конечная энергия E = 0, т.к. автомобиль останавливается. На автомобиль действует сила трения, равная F = μ⋅N = μ⋅m⋅g (тело движется по горизонтальной поверхности). Работа силы трения
A = –F⋅s = ΔW = –W0,

В итоге получаем

\[
- \mu \cdot m \cdot g \cdot s =
- \frac{m \cdot \upsilon_0^2}{2}, \quad
s = \frac{ \upsilon_0^2}{2 \mu \cdot g}, \quad (1) \]

Запишем уравнение (1) для двух случаев: 1) для не обледеневшей дороги и 2) для обледеневшей.

\[
s = \frac{ \upsilon_{01}^2}{2 \mu_1 \cdot g}, \quad
s = \frac{ \upsilon_{02}^2}{2 \mu_2 \cdot g}, \]

где μ1 = 10μ2. Решим систему полученных уравнений. Например,

\[
\frac{ \upsilon_{01}^2}{2 \mu_1 \cdot g} =
\frac{ \upsilon_{02}^2}{2 \mu_2 \cdot g}, \quad
\frac{ \upsilon_{01}^2}{ \upsilon_{02}^2} =
\frac{2 \mu_1 \cdot g}{2 \mu_2 \cdot g} = \frac{ \mu_1}{ \mu_2}, \quad
\frac{ \upsilon_{01}}{ \upsilon_{02}} =
\sqrt {\frac{ \mu_1}{ \mu_2}}, \quad
\frac{ \upsilon_{01}}{ \upsilon_{02}} = \sqrt {10}. \]

Ответ. В) √10.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Вступительный экзамен июнь 2009 года
« Ответ #3 : 28 Апреля 2010, 18:01 »
6. (1,5 балла). Проводники сопротивлением 15 Ом и 30 Ом соединены параллельно. Вычислите общее сопротивление соединения.

Решение. Так как проводники соединены параллельно, то их общее сопротивление находится следующим образом:

\[
\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} =
\frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2}, \quad
R = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}, \quad
R = \frac{15 \cdot 30}{30 + 15} = 10. \]

Ответ: R = 10 Ом.

7. (2,5 балла). На сколько градусов остыл кипяток в питьевом баке емкостью 27 л, если он отдал в окружающую среду 1500 кДж теплоты? Плотность воды 1000 кг/м3, удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅°С).

Решение. При остывании тела применяем следующую формулу:
Q = c⋅m⋅Δt,
где c — удельная теплоемкость воды, Q = 1500 кДж = 1,5⋅106 Дж, m = ρ⋅V — масса воды, ρ — плотность воды, V = 27 л = 27⋅10–3 м3. Тогда

\[
\Delta t = \frac{Q}{c \cdot m} = \frac{Q}{c \cdot \rho \cdot V}, \quad
\Delta t = \frac{1,5 \cdot 10^6}{4200 \cdot 1000 \cdot 27 \cdot 10^{-3}} =
13\;(^\circ C). \]

Ответ: Δt = 13 ºС.

Примечание. На экзамене ученики часто писали формулу
Q = c⋅m⋅t,
т.е. не совсем понимают разницы между температурой t и изменением температуры Δt.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Вступительный экзамен июнь 2009 года
« Ответ #4 : 29 Апреля 2010, 07:34 »
8. (5 баллов). Материальная точка массой 1 кг движется по окружности со скоростью 10 м/с. Найдите изменение импульса за одну четверть периода.

Решение. За период тело совершит полный оборот, следовательно, за четверть периода — четверть оборота, т.е. если тело было в точке A, то через четверть оборота окажется в точке C (рис. 1). Изменение импульса тела равно
\[
\Delta \vec p = m \cdot \vec \upsilon - m \cdot \vec \upsilon_0, \quad (1) \]
где υ = υ0, т.к. скорость точки не меняется.
Задачу можно решить координатным методом или векторным.
Координатный метод. Направим ось 0X по направлению начальной скорости, ось 0Y — вверх. Проекции уравнения (1) на эти оси
Δpx = m⋅υxm⋅υ0x, Δpy = m⋅υym⋅υ0y.
Проекции υx = 0, υ0x = υ0, υy = υ, υ0y = 0 (см. рис. 1). Тогда
Δpx = 0 – m⋅υ0 = – m⋅υ0, Δpy = m⋅υ,

\[
\Delta p = \sqrt{ \Delta p_x^2 + \Delta p_y^2} =
\sqrt{(-m \cdot \upsilon_0)^2 + (m \cdot \upsilon)^2} =
\sqrt{2 \cdot (m \cdot \upsilon)^2} = m \cdot \upsilon \cdot \sqrt{2}. \]
Векторный метод. Построим треугольник импульсов для уравнения (1) (рис. 2). Из рисунка видно, что
\[
\Delta p = \sqrt{(-m \cdot \upsilon_0)^2 + (m \cdot \upsilon)^2} =
m \cdot \upsilon \cdot \sqrt{2}, \]
Δp = 14 кг⋅м/с.       
Ответ: Δp = 14 кг⋅м/с.
« Последнее редактирование: 07 Июня 2018, 09:12 от alsak »

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Вступительный экзамен июнь 2009 года
« Ответ #5 : 03 Мая 2010, 18:20 »
9. (7 баллов). Чтобы переправить грузовик через реку, водитель решил построить плот. В его распоряжении 20 бревен длиной l = 10 м с площадью поперечного сечения S = 300 см2. Возможна ли переправа, если масса грузовика M = 4 т, а плотность бревен ρ = 600 кг/м3. Плотность воды ρв = 1000 кг/м3.

Решение. Один из способов решения — найти грузоподъемность плота, т.е. определить вес груза, при котором плот полностью погрузится в воду. В этом случае на плот будут действовать сила тяжести плота (m⋅g), архимедова сила (FA) и вес груза (m2g). Плот неподвижен, поэтому из проекции на вертикальную ось уравнения второго закона Ньютона получаем:
FAm⋅gm2g = 0,
где FA = ρвg⋅Vпогр, Vпогр = V = N⋅S⋅l (полное погружение плота), N = 20 — число бревен; m = ρ⋅V. Тогда
ρвg⋅V – ρ⋅V⋅gm2g = 0,
m2 = (ρв — ρ)⋅V = (ρв — ρ)⋅N⋅S⋅l,
m2 = 2400 кг. Эта масса груза, которую может выдержать плот. Так как она меньше массы грузовика (M = 4000 кг), то переправа не возможна.
Ответ: Переправа не возможна.

Оффлайн alsak

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 1976
  • Рейтинг: +8/-0
  • Не делает ошибок тот, кто ничего не делает
Re: Вступительный экзамен июнь 2009 года
« Ответ #6 : 07 Мая 2010, 19:28 »
10. (9 баллов). Поперек дороги лежала гигантская змея длиной L и массой m. Чтобы освободить дорогу, змею пришлось перетащить на траву, двигая вдоль ее туловища. Какую работу при этом совершили? Коэффициент трения змеи о дорогу μ1, о траву — μ2.

Решение. Формулу для механической работы A = F⋅Δr⋅cos α (1) в данном случае применять нельзя, так как у нас меняется сила, которую мы должны прикладывать к змее.
На змею, которую нужно переместить по горизонтальной (по умолчанию) дороге, действуют сила тяжести (m⋅g), сила реакции опоры (N), сила трения (Fтр) и ваша сила (F) (рис. 1). Будем искать наименьшую работу, при которой ускорение змеи a = 0.
Запишем проекции уравнения второго закона Ньютона
на ось 0Х: 0 = FFтр или F = Fтр;
на ось 0Y: 0 = N – m⋅g или N = m⋅g.
Так как Fтр = μ⋅N, то F = μ⋅N = μ⋅m⋅g (2).
Запишем уравнение (2) для первого положения змеи, когда она полностью лежала на дороге и перемещение змеи еще равно Δr1 = 0, и для второго — когда она полностью окажется на траве, перемещение змеи Δr2 = L:
F1 = μ1m⋅g и F2 = μ2m⋅g.
Для решения нам понадобится такая величина, как линейная плотность змеи, равная ρ = m/L. Пусть змею переместили на траву на расстояние x (рис. 2). В этом момент времени
F = μ1m1g + μ2m2g,
где m2 = ρ⋅x = m⋅x/L, m1 = ρ⋅(L – x) = m⋅(L – x)/L. Тогда
F = μ1m⋅(L – x)/L⋅g + μ2m⋅x/L∙g = μ1m⋅g + (μ2 – μ1)⋅m⋅x/L⋅g (3).
1 способ (графический). Построим график зависимости силы F от перемещения змеи (рис. 3). При построении считали, что μ1 > μ2.
Работа равна площади заштрихованной части графика, т.е.

\[
A = \frac{F_1 + F_2}{2} \cdot L =
\frac{ \mu_1 \cdot m \cdot g + \mu_2 \cdot m \cdot g}{2} \cdot L =
\frac{ \mu_1 + \mu_2}{2} \cdot m \cdot g \cdot L. \]

2 способ. Из уравнения (3) следует, что зависимость силы F от перемещения змеи линейная, поэтому можно найти среднюю силу
Fср = (F1 + F2)/2
и подставить в уравнение (1), где α = 0°, Δr = L. Ответ получится такой же.

 

Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24